www.etude-generale.com 2 BAC PC–SVT Matière : Mathématiques
Professeur : Yahya MATIOUI
Correction de la série N2
Exercice 1 On considère la fonctionF dé…nie sur 0;2 par:F (x) = 4x( x) sin2x:
1. La fonctionF est deux fois dérivale sur 0;2 comme la somme de deux fonctions deux fois dérivables sur 0; 2 . x7 !4x( x) et x7 ! sin2x :
Soit x2 0; 2 :
F0(x) = 4 ( x) 4x 2 sinx:cosx
= 4 ( 2x) sin (2x) et
F00(x) = 8 2 cos (2x)
= 8 2 cos (2x)
= 2 (4 + cos (2x)) Donc
8x2h 0;2
i
; F00(x) = 2 (4 + cos (2x)) 2. Soit x2 0;2 :
jcos (2x)j 1
() 1 cos (2x) 1
() cos (2x)
() 4 4 + cos (2x) 4 +
() 2 (4 + ) 2 (4 + cos (2x)) 2 (4 ) () 2 (4 + ) F00(x) 2 (4 )
Donc
8x2h 0; 2
i
; F00(x)<0:
Ceci signi…e que la fonctionF0 est strictement décroissante sur 0;2 : Soit x2 0;2 :
0 x
2 | {z }=)
F0 est strictement décroissante
F0
2 F0(x) F0(0) =) 0 F0(x) 4 Donc
8x2h 0; 2
i
; F0(x) 0 Ceci signi…e que F0 est positive sur 0; 2 :
3. On déduit que : 8x2 0;2 ; sin2x 4x( x):
Comme la fonction F’ est positive sur 0;2 et puisque elle ne s’annule qu’en un nombre …ni de points alors la fonction F est strictement croissante sur 0;2 :
Soit x2 0; 2 :
0 x
2
=) F(0) F(x) F 2
=) 0 F (x) 2 Donc
F(x) 0:
Par suite
F(x) 0 () 4x( x) sin2x 0 () sin2x 4x( x)
() sin2x 4
x( x) Donc
8x2h 0; 2
i
;sin2x 4
x( x):
Exercice 2 Soit f la fonction numérique dé…nie sur R par : f(x) =p x
x2+1 si x 0
f(x) =p
x2+ 1 1 si x 0 1. a) Calculons : lim
x !+1f(x) et lim
x ! 1f(x):
x lim!+1f(x) = lim
x !+1
r x
x2+ 1 = lim
x !+1
r x x2 1 + x12
= lim
x !+1
s 1 x 1 + x12
= 0
x lim! 1f(x) = lim
x ! 1
px2+ 1 1 = +1 b) La dérivabilité de f au point 0:
lim
x !0+
f(x) f(0)
x 0 = lim
x !0+
p x x2+1
x
= lim
x !0+
r x x2(x2+ 1)
= lim
x !0+
r x x2(x2+ 1)
= lim
x !0+
s 1
x(x2+ 1) = +1
f n’est pas dérivable à droite de 0:La courbe (Cf) admet une demi-tangente verticale vers le haut à droite en point d’abscisse 0:
lim
x !0
f(x) f(0)
x 0 = lim
x !0
px2+ 1 1 x
= lim
x !0
x2 x p
x2+ 1 + 1
= lim
x !0
p x
x2+ 1 + 1 = 0 =fg0 (0)
f est dérivable à gauche de 0: La courbe (Cf) admet une demi-tangente hor- izontale à gauche en point d’abscisse 0: d’équation
y= 0 x 0 2. Les branches in…nies de la courbe (Cf):
Au voisinage de+1: On a: lim
x !+1f(x) = 0:
La courbe (Cf) admet une asymptote horizontale d’équation y = 0 au voisinage de +1:
Au voisinage de 1: On a: lim
x ! 1f(x) = +1: Calculons lim
x ! 1 f(x)
x :
x lim! 1
f(x)
x = lim
x ! 1
px2+ 1 1 x
= lim
x ! 1
px2+ 1 1 p
x2+ 1 + 1 x p
x2+ 1 + 1
= lim
x ! 1
x2+ 1 1 x p
x2+ 1 + 1
= lim
x ! 1
p x
x2+ 1 + 1
= lim
x ! 1
x x
q
1 + x12 +1x
= lim
x ! 1
q 1
1 + x12 +x1
= 1
Calculons : lim
x ! 1f(x) +x:
x lim! 1f(x) +x = lim
x ! 1
px2+ 1 1 +x
= lim
x ! 1 x
r 1 + 1
x2 1 +x
= lim
x ! 1x r
1 + 1 x2
1 x + 1
!
= lim
x ! 1x 1 r
1 + 1 x2
1 x
!
= lim
x ! 1x 0
@1 1 + x12 1 +
q 1 + x12
1 x
1 A
= lim
x ! 1x 0
@ x21 1 +
q 1 + x12
1 x
1 A
= lim
x ! 1x 1 x
0
@ x1 1 +q
1 + x12
1 1 A
= lim
x ! 1
1 x
1 +q 1 + x12
1 = 1
La courbe(Cf) admet une asymptote oblique d’équationy= x 1 au voisinage de 1:
3. La fonction f est dérivable sur ]0;+1[: Soit x2]0;+1[:
f0(x) =
x x2+1
0
2p x
x2+1
=
(x2+1) 2x2
(x2+1)2
2p x
x2+1
= 1 x2
2p x
x2+1(x2+ 1)2 Comme 2p x
x2+1(x2+ 1)2 0 pour tout x de ]0;+1[ alors le signe de f0(x) sur ]0;+1[ est celui de 1 x2:
1 x2 = 0 () x= 1 ou x= 1
Donc
La fonction f est dérivable sur ] 1;0]: Soit x2] 1;0]:
f0(x) = (x2+ 1)0 2p
x2+ 1
= x
px2+ 1 comme x 0 pour tout x2] 1;0], alors
(8x2] 1;0]); f0(x) 0
4. La courbe (Cf) dans un repère orthonormé O;!i ;!j :
2 3 4 5 6 7 8
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
2 3 4 5
-1 -2 -3 -4 -5 -6
0 1
1
x y
FIN
Pr : Yahya MATIOUI
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