Probabilités et Statistiques

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Année universitaire 2019-2020

UNIVERSITÉ DE LORRAINE

Olivier GARET

Probabilités et Statistiques

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Introduction

Le cours contenu dans le présent polycopié reproduit pour l’essentiel (dans les sept premiers chapitres) le contenu de divers enseignements de Licence que j’ai donnés à Orléans, puis à Nancy. Le chapitre 8 reproduit le cours de statistique donné par Aline Kurtzmann dans le cadre de la prépa- ration à l’agrégation de mathématiques.

Le cours de ce polycopié a été un des ingrédients de base de l’ouvrage

« De l’Intégration aux Probabilités » [3], que j’ai écrit avec Aline Kurtzmann et que nous avons publié aux éditions Ellipses. Vous êtes invités à vous y reporter pour compléter votre culture.

À la fin de chaque chapitre, le présent polycopié contient des exercices qui serviront de base aux travaux dirigés du cours. À la fin du polycopié, on trouve des indications pour chaque exercice. Il est recommandé de ne s’y reporter qu’après avoir un peu cherché.

Les exercices de la première série sont, pour la plupart, ceux dont une correction est proposée dans Garet-Kurtzmann. Cela ne veut pas dire que les autres exercices ne méritent pas votre attention !

i

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Table des matières

Table des matières iii

Notations vii

1 Calcul de lois 1

1.1 Prologue : les mathématiques, la modélisation . . . 1

Les erreurs courantes . . . 1

1.2 Qu’est-ce qu’une loi ? . . . 3

1.2.1 Rappels . . . 3

1.2.2 Importance de la notion de mesure image . . . 4

Une loi image : la loi hypergéométrique . . . 4

1.2.3 Douce loi des couples et indépendance . . . 5

1.3 Identifier une loi . . . 5

1.3.1 Un outil universel : la fonction test . . . 5

1.3.2 Le cas discret . . . 6

1.3.3 Le cas continu . . . 7

1.4 Transformations . . . 8

1.4.1 Le cas discret . . . 8

1.4.2 Le cas continu . . . 8

Changement de variablesC¹ . . . 8

Application : calcul de l’intégrale de Gauss . . . 8

Application : mesure image par unC¹-difféomorphisme 9 1.5 Les lois uniformes . . . 11

1.5.1 Loi uniforme sur un ensemble fini . . . 11

Produit . . . 11

Conditionnement . . . 11

1.5.2 Loi uniforme sur un compact deR^d . . . 12

Produit . . . 12

Conditionnement . . . 12

1.5.3 Application . . . 12

1.5.4 Exercices de la série 1 . . . 13

2 EspacesL^p etL^p 17 2.1 DeL^p àL^p . . . 17

2.1.1 Inégalité de Hölder . . . 17

2.1.2 Inégalité triangulaire (ou inégalité de Minkowski) . . 18

2.2 Complétude deL^p . . . 20

2.3 Théorèmes d’approximation . . . 24

2.4 Exercices sur les espacesL^p . . . 24

2.4.2 Exercices de la série 2 . . . 26 iii

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TABLE DES MATIÈRES

3 Convolution et Fourier 29

3.1 Produit de convolution . . . 29

3.1.1 Convolution dansL¹ . . . 30

3.1.2 Autres produits . . . 31

3.1.3 Approximations de l’unité . . . 32

3.1.4 Régularisation . . . 33

3.2 Transformée de Fourier . . . 34

3.2.1 Propriétés élémentaires . . . 34

3.2.2 Théorème d’inversion . . . 35

3.3 Exercices sur la transformation de Fourier . . . 36

4 Fonction caractéristique 39 4.1 Fonction génératrice d’une variable entière . . . 39

4.1.1 Fonction génératrice et indépendance . . . 39

4.1.2 Calculs de fonctions génératrices . . . 40

Loi de Bernoulli . . . 40

Loi binomiale . . . 40

Loi géométrique de paramètrep∈]0,1[ . . . 40

Loi de Poisson . . . 40

4.1.3 Fonction génératrice et loi . . . 40

4.1.4 Application : convolution de lois de Poisson . . . 41

4.1.5 Fonction génératrice et espérance . . . 41

4.2 Fonctions caractéristiques . . . 42

4.2.1 Motivations . . . 42

4.2.2 Propriétés des fonctions caractéristiques . . . 44

4.2.3 Fonction caractéristique et indépendance . . . 45

4.2.4 Fonction caractéristique et moments . . . 46

4.2.5 Fonctions caractéristiques des variables aléatoires à valeurs dansN . . . 47

4.2.6 Quelques fonctions caractéristiques de mesures à den- sité . . . 47

Loi uniforme sur[a, b] . . . 48

Loi exponentielle de paramètreλ . . . 48

Variable aléatoire gaussienne . . . 48

Loi de Cauchy . . . 50

4.3 Transformée de Laplace . . . 51

4.4 Exercices sur les fonctions caractéristiques . . . 52

5 Lois des grands nombres 57 5.1 Convergence presque sûre . . . 57

5.1.1 Rappels d’analyse . . . 57

5.1.2 Limites supérieures, inférieures d’ensembles . . . 58

5.2 Convergence en probabilité . . . 59

5.2.1 Comparaison avec les autres modes de convergence . . 59

Convergence dansL^p et convergence en probabilité . . 59

Convergence presque sûre et convergence en probabilité 60 5.2.2 Loi faible des grands nombres . . . 60

5.3 Lemmes de Borel-Cantelli . . . 61

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TABLE DES MATIÈRES

5.3.1 Premier lemme de Borel–Cantelli . . . 61

5.3.2 Deuxième lemme de Borel-Cantelli . . . 62

5.4 Lois fortes des grands nombres . . . 64

5.4.1 Deux lois fortes des grands nombres . . . 64

5.4.2 Probabilités et fréquences asymptotiques . . . 66

5.4.3 Exercice : une preuve de la loi forte des grands nombres 66 5.5 Exercices sur la convergence presque sûre . . . 70

6 Convergence en loi 77 6.1 Convergence en loi . . . 77

6.1.1 Définition . . . 77

6.1.2 Premiers exemples . . . 78

Un critère de convergence en loi . . . 78

Convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson 79 Convergence de la loi hypergéométrique vers la loi binomiale . . . 79

6.1.3 Théorème de Portmanteau . . . 80

6.1.4 Lien avec les autres modes de convergence . . . 84

6.2 Convergence et fonctions caractéristiques . . . 86

6.2.1 Critère de convergence . . . 86

6.2.2 Théorème de continuité de Lévy . . . 86

6.2.3 Une application du théorème de Lévy . . . 87

6.3 Théorème central limite en dimension 1 . . . 87

6.4 Exercices sur la convergence en loi . . . 89

7 Statistique 95 7.1 Estimateurs . . . 96

7.1.1 Lois empiriques . . . 97

7.1.2 Théorème de Glivenko–Cantelli . . . 98

7.1.3 Choix d’un estimateur . . . 100

7.2 Intervalle de confiance . . . 103

7.3 Tests d’hypothèses . . . 104

7.4 Exercices de statistiques . . . 105

A Rappels de dénombrement 107 A.1 Rappels de vocabulaire ensembliste . . . 107

A.2 Applications et cardinaux : définitions et notations . . . 107

A.3 Principes de base du dénombrement . . . 108

A.3.1 Principe de bijection . . . 108

A.3.2 Principe d’indépendance . . . 108

A.3.3 Principe de partition . . . 109

A.3.4 Lemme des bergers . . . 109

A.4 Quelques résultats incontournables . . . 110

A.4.1 Nombre d’applications deDdansA . . . 110

A.4.2 Nombre de permutations deΩ . . . 110

A.4.3 Nombre d’injections deDdansA . . . 110

A.4.4 Nombre de parties deΩpossédantpéléments . . . 111 v

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TABLE DES MATIÈRES

A.4.5 Nombre total de parties deΩ . . . 111

A.5 Équations et inéquations en entiers . . . 112

A.6 Formule de Poincaré (aussi appelée formule du crible) . . . . 113

A.7 Développement d’un produit de sommes . . . 113

A.7.1 Développement d’un produit dans un anneau . . . 113

A.7.2 Formule du multinôme . . . 114

Calcul des coefficients du multinôme . . . 114

A.8 Exercices . . . 114

B Rappels et compléments d’analyse 115 B.1 Analyse réelle . . . 115

B.1.1 Le théorème de Dini-Polyà . . . 115

B.1.2 Théorème de Helly . . . 115

B.2 Intégration . . . 116

B.2.1 Holomorphie d’une intégrale dépendant d’un paramètre116 B.2.2 Intégration des fonctions radiales . . . 117

B.3 Régularité des mesures . . . 119

C Indications des exercices 123 C.1 Exercices sur les calculs de loi . . . 123

C.2 Exercices sur les espacesL^p . . . 125

C.3 Exercices sur la convolution et Fourier . . . 126

C.4 Exercices sur les fonctions caractéristiques . . . 127

C.5 Exercices sur la convergence presque sûre . . . 129

C.6 Exercices sur la convergence en loi . . . 131

C.7 Exercices sur les statistiques . . . 133

D Tables 135

Bibliographie 137

Index 138

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Notations

Card(A)ou|A|: cardinal de l’ensembleA S(A): ensemble des permutations deA S_n: ensemble des permutations de{1, . . . , n}

B_p(A): ensembles des parties deAavecpéléments P(A): ensemble des parties deA

M^∗: matrice transconjuguée deM

Mn(K): ensemble des matricesn×nsur le corpsK bxc: partie entière inférieure dex(bπc=b3c= 3) dxe: partie entière supérieure dex(dπe=d4e= 4) {x}: partie fractionnaire dex:{x}=x− bxc

n∧p: plus grand commun diviseur (p.g.c.d.) des entiersnetp x∧y : minimum des réelsxety

x∨y : maximum des réelsxety h·,·i: produit scalaire

B(X): tribu borélienne deX

V(A,A): les applications mesurables de(A,A)dans(R,B(R)) V(A,A): les applications mesurables de(A,A)dans(R,B(R)) V₊(A,A): les applications mesurables de(A,A)dans(R+,B(R+)) δ_x : mesure de Dirac au pointx

Ber(p): loi de Bernoulli de paramètrep B(n, p): loi binomiale de paramètresnetp P(λ): loi de Poisson de paramètreλ E(λ): loi exponentielle de paramètreλ

N(m, σ²): loi normale de moyennemet de varianceσ² G(p): loi géométrique de paramètrep

Γ(a, γ): loi Gamma de paramètre de formea, de paramètre d’échelleγ U([a, b]): loi uniforme sur le segment[a, b]

U({a, . . . , b}): loi uniforme sur l’ensemble fini{a, . . . , b}

C(a, b): loi de Cauchy de paramètresaetb Xn=⇒X :(Xn)converge en loi versX

Xn−−P→X :(Xn)converge en probabilité versX X_n−−−→^p.s. X:(X_n)converge presque sûrement versX i.s. : infiniment souvent ; pour une infinité de valeurs p.s. : presque sûrement (avec probabilité 1)

p.p. : presque partout (sauf sur un ensemble de mesure nulle)

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NOTATIONS

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Chapitre 1

Calcul de lois

Ce premier chapitre introduit peu de notions théoriques nouvelles. Il vise essentiellement à voir comment pratiquer efficacement les techniques de calcul de loi introduites au premier semestre.

1.1 Prologue : les mathématiques, la modélisation

La théorie des probabilités, comme une grande partie des mathéma- tiques, a pour origine des questionnements sur des problèmes issus de la vie réelle. Il convient aujourd’hui de bien faire la différence entre la modélisa- tion, qui est la construction d’une représentation du monde réel par des objets mathématiques, et le calcul des probabilités proprement dit. On trouve encore de nombreux textes mathématiques qui entretiennent la confusion entre ces deux étapes. Cette confusion induit souvent les étudiants en erreur et est source de déconvenues pour les usagers des probabilités qui en attendent des miracles.

La modélisation, ce n’est pas des mathématiques Tout d’abord, enten- dons nous bien : le jardinage, ce n’est pas non plus des mathématiques, et le dire n’est pas dénigrer le jardinage. La phrase est à entendre dans un contexte de mathématiciens, pour lesquels faire des mathématiques, c’est faire des démonstrations. Ainsi la phase de modélisation est caractérisée par le fait que

— On fait des hypothèses. Ces hypothèses sont souvent guidées par le bon sens et l’expérience empirique. Cette expérience peut excéder (et parfois de beaucoup) la culture générale d’un mathématicien.

— On ne fait pas de preuves.

Ainsi, on ne peut pas démontrer que les observations d’une suite de lancers d’une pièce non truquée sont des variables aléatoires indépendantes valant

“pile” ou “face” avec une même probabilité. Cependant, l’expérience nous a appris que “tout ce passe comme si” et que des choix basés sur cette hypo- thèse n’avaient pas eu de conséquence fâcheuse.

Les erreurs courantes

Usage inapproprié de la loi uniforme L’erreur la plus courante consiste à faire trop d’hypothèses, qui ne sont pas basées sur l’expérience. Un exemple classique est l’étude de la loi de la somme de deux dés à six faces. Une erreur courante consiste à remarquer que les valeurs possibles vont de2à12, et en

1

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CHAPITRE 1 :Calcul de lois induire que la loi de la somme est la loi uniforme sur l’ensemble{2, . . . ,12}.

Essayons d’analyser cette erreur.

D’abord, notons que l’emploi de la loi uniforme est naturel, et semble plein de bon sens dès lors que le phénomène que l’on étudie présente d’im- portantes symétries. Par exemple, il est tout à fait raisonnable de penser que si on lance une pièce, les deux côtés ont même probabilité de tomber. De même si on lance un dé qui à la forme d’un tétraèdre régulier ou d’un cube, l’hypothèse d’équiprobabilité est raisonnable.

En revanche, la somme de deux dés est un phénomène qui manque de symétrie, par exemple parce que 2 ne peut s’obtenir que comme somme de deux 1 et que 7 peut s’obtenir de 6 manières différentes.

S’écarter de la réalité Cet exemple est également typique du danger qu’il y a à s’écarter de la réalité physique directement observée pour courir à l’aspect particulier de l’aspect que l’on veut étudier. Ici, la réalité physique est l’observation de deux nombres indiqués sur les dés. Si l’on s’en tient à cette observation, on peut postuler que les6×6 = 36observations possibles ont la même probabilité. Ce postulat conduira à des calculs qui donneront le résultat raisonnable pour la loi de la somme, le même que l’on obtient si l’on suppose que les résultats des deux dés sont indépendants et suivent la loi uniforme sur{1, . . . ,6}.

Toujours dans le cadre de l’expérience aléatoire d’un lancer de deux dés, une autre erreur classique est d’oublier que les deux dés sont des objets que l’on peut observer séparément, d’identifier les résultats symétriques (1–

5 et 5–1 par exemple) et de postuler que les 21 résultats possibles sont équiprobables. Dans ce genre de problème, il ne faut jamais perdre de vue que, si on veut construire une modélisation probabiliste qui puisse rendre compte (autant que faire se peut) de la réalité observée, il faut choisir une représentation qui puisse tirer parti de ce que la vie nous a appris. Si on représente le lancer comme un couple non ordonné, l’expérience (la vie) ne nous a rien appris du tout, c’est d’ailleurs ce qui justifie que l’on confie le soin au probabiliste de nous éclairer sur les chances des différentes issues.

Le choix des mots À la décharge des élèves et des étudiants qui font ce genre d’erreur, il faut reconnaître qu’un certain nombre de formulations co- difiées que l’on trouve dans les manuels sont assez pousse-au-crime : ainsi de nombreux textes parlent de dés indiscernables, ce qui incite à une modé- lisation qui ne fait pas la différence entre les deux dés. Or, s’il est bien vrai que je ne peux pas faire la différence entre les deux dés lorsque je les sors de la boîte, il n’en demeure pas moins que ce sont bien deux objets distincts, ce dont une modélisation efficace tiendra compte.

Notons aussi qu’il y a, dans le cadre des problèmes discrets, un très ancien cousinage entre les problèmes de probabilités et les problèmes de dénombrement. Dans le cas où la probabilité mise sur l’espace est une loi uniforme, le calcul des probabilités peut se réduire à un problème de dé- nombrement. Encore faut-il que l’espace Ω des possibles ait été choisi de telle sorte que la probabilité uniforme rende compte de la réalité. Encore une fois, l’observation de la réalité pèse sur le choix du modèle.

Dans le cadre de la description du problème et du modèle, une source d’erreur assez fréquente est l’utilisation de termes mathématiques, qui ont un sens précis, dans le cadre informel de la description de l’expérience. On lit par exemple dans le sujet du capes externe 2014 :

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1.2 Qu’est-ce qu’une loi ?

« Soient n ∈ N^∗ etN ∈ N^∗. On dispose de N urnes U1,. . .,U_N contenant des boules rouges et des boules blanches et telles que, pour tout j ∈ {1, . . . , N}, la proportion de boules rouges dansUj estj/N. On choisit une urne au hasard et on effectue dans cette urnentirages indépendants d’une boule avec remise. »

Une erreur relativement fréquente est de prendre l’énoncé au pied de la lettre est de penser que les variables aléatoiresX1, . . . , Xn représentant lesntirages sont des variables indépendantes. Elles ne le sont évidemment pas : si je tire successivement999boules rouges, il y a fort à parier que je suis en train de piocher une urne contenant beaucoup de boules rouges, et donc que j’en tirerai encore une la millième fois.

Ici, l’énoncé, en même temps qu’il décrit l’expérience physique, donne une petite indication sur la modélisation. En réalité, les tirages sont indé- pendants conditionnellement au tirage de l’urne : si on note 0 les boules blanches et1les boules rouges, on a pour tout(x₁, . . . , x_n)∈ {0,1}ⁿet tout j∈ {1, . . . , N}:

P(X1 =x1, . . . , Xn=n|U =j) = (j/N)^P^xⁱ(1−j/N)ⁿ⁻^P^xⁱ =

n

Y

i=1

P(Xi =xi|U =j).

Pour terminer ces remarques sur la modélisation, enfonçons le clou : il n’est pas possible de “montrer que” des lancers de dés sont indépendants, même si on trouve encore parfois des énoncés qui perpétuent cet abus de langage. Il faut donc les interpréter comme “donner des arguments heu- ristiques qui permettent de penser que”, même s’il n’existe le plus souvent d’autre réponse possible qu ’“il est raisonnable de faire l’hypothèse que”.

Le calcul des probabilités : des mathématiques Une fois qu’est défini le modèle, les lois des variables aléatoires, le lien à la vie réelle devient plus ténu, on peut même l’oublier puisqu’on travaille avec des objets mathéma- tiques idéaux parfaitement définis. Cependant, ce lien avec le réel pourra tout de même guider l’intuition vers la formation de conjectures.

1.2 Qu’est-ce qu’une loi ?

1.2.1 Rappels

Définition. Soit (Ω,F) un espace mesurable. On appelle variable aléatoire toute application mesurable de (Ω,F) dans (R,B(R)), où B(R) est la tribu borélienne deR. De même, on appelle vecteur aléatoire toute application me- surable de(Ω,F)dans(R^d,B(R^d)), oùB(R^d)est la tribu borélienne deR^d.

On appelle loi d’une variable aléatoire (ou d’un vecteur aléatoire)Xdéfinie sur (Ω,F,P) la mesure image de P par X. Cette loi est notée PX. Dans ce contexte, oùPest une mesure de probabilité, rappelons que cette loi image est une mesure de probabilité sur(R,B(R))définie par

∀A∈ B(R) PX(A) =P(X⁻¹(A)).

Par définition,X⁻¹(A) ={ω∈Ω;X(ω)∈A}.

Afin de simplifier les notations, on écrit toujours{X ∈A}à la place de X⁻¹(A). Ainsi, on écrit le plus souvent P({X ∈ A}) et même P(X ∈ A) pour désigner PX(A). Dans le cas d’une variable aléatoire réelle, on utilise

3

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CHAPITRE 1 :Calcul de lois souventA = {x} ouA =]− ∞, x], etc. De plus, l’événementX⁻¹({x}) est noté{X =x}, l’événementX⁻¹(]− ∞, x])est noté{X ≤x}, etc.

Le but de ce chapitre est de permettre à l’apprenti probabiliste de ré- pondre à l’angoissante question : commentcalculer la loi deX?

1.2.2 Importance de la notion de mesure image

Une nouveauté du cours de L3 par rapport à un cours de lycée où de L2, c’est que la loi d’une variable aléatoire apparaît maintenant comme une loi image, ou une mesure image. De fait, le calcul d’une loi est toujours, d’une manière où d’une autre un calcul de loi image.

Théorème 1.1. Soitµune mesure de probabilité surRⁿ,νune mesure de pro- babilité surR^p,φune application mesurable deRⁿdansR^p. On a équivalence entre :

— ν est la mesure image deµparφ

— Si X et Y sont des variables aléatoires sur(Ω,F,P) avec PX = µ et Y =φ(X), alorsPY =ν.

Démonstration. SoitAborélien deR^p :

PY(A) =P(Y⁻¹(A)) =P((φ◦X)⁻¹(A))

=P(X⁻¹(φ⁻¹(A)) =PX(φ⁻¹(A)) =µ(φ⁻¹(A)) =µφ(A)

Ainsi, un calcul de loi est toujours d’une manière ou d’une autre un calcul de mesure image.

Il faut noter qu’un certain nombre de lois sont, par définition, des lois images. Par exemple, la loi binomialeB(n, p) est la loi image de Ber(p)^⊗n par(x1, . . . , xn)7→x1+· · ·+xn. Une autre loi, un peu moins classique, est la loi hypergéométrique

Une loi image : la loi hypergéométrique

La loi hypergéométriqueH(N, n, k)modélise le phénomène suivant. Soit une population deNindividus, composée de deux types distincts (par exemple on anindividus de taille supérieure ou égale à 1,80 m, etN −nindividus mesurant moins de 1,80 m). On tire au hasardkindividus dans cette population. On compte ensuite le nombre d’individus possédant un certain type (par exemple mesurant plus de 1,80 m).

De manière théorique, cela s’énonce comme suit.

Proposition 1.2. On note B(N, k) est l’ensemble des parties de {1, . . . , N}

de cardinalk. La loi hypergéométrique est la loi image de la loi uniforme sur Ω =B(N, k)par l’application

X:B(N, k) → N

ω 7→ X(ω) =|{1, . . . , n} ∩ω|.

Ainsi, pouri∈ {0, . . . ,min(n, k)}, on a P(X =i) =H(N, n, k)(i) =

n i

_N−n k−i

N k

.

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1.3 Identifier une loi

Démonstration. NotonsPla loi uniforme surΩ. On a H(N, n, k)(i) =P(ω∈S),

oùS={ω∈ B(N, k);|{1, . . . , n} ∩ω|=i}. L’application B({1, . . . , n}, i)× B({n+ 1, . . . , N}, k−i) → S

(A, B) 7→ A∪B est une bijection, donc

|S|=|B({1, . . . , n}, i)× B({n+ 1, . . . , N}, k−i)|= n

i

N −n k−i

. CommePest la loi uniforme surΩ, et|Ω|= ^N_k

, le résultat s’ensuit.

Il faut retenir qu’une méthode très efficace pour montrer que deux variables aléatoires ont la même loi est de les représenter comme la loi image de deux vecteurs de même loi par une même application.

Exemple : soientX, Y, Ztrois variables aléatoires indépendantes suivant la loi exponentielle de paramètre1. AlorsX/Y etY /Z ont même loi.

En effet la loi de (X/Y) est la loi image de P(X,Y) par (x, y) 7→ x/y la loi de (Y /Z) est la loi image de P(Y,Z) par (x, y) 7→ x/y. Or P(X,Y) = E(1)⊗ E(1) =P(Y,Z), d’où le résultat.

1.2.3 Douce loi des couples et indépendance

On sait queX etY sont indépendants sousPsi et seulement siP(X,Y)= PX ⊗PY.

L’égalité est utile dans les deux sens : dans l’exemple précédent, l’hypo- thèse d’indépendance jointe à la connaissance des marginales nous a permis d’obtenir la loi d’un couple. C’est également utile dans l’autre sens : il est parfois plus facile de calculer la loi du couple(X, Y)que de chercher sépa- rément les lois deXetY.

Exemple : soient (A_n)n≥1 des variables aléatoires suivant la loi de Ber- noulli de paramètrep. On pose

X= inf{n≥1;A_n= 1}etY = inf{n≥1;A_X+n= 1}.

La loi deXest immédiate : c’est la loi géométrique de paramètrep. Le calcul direct de la loi deY ne semble pas facile, mais le calcul de la loi du couple (X, Y)est assez simple : sinet`sont des entiers naturels non nuls, on a

P(X=n, Y =`)

=P(A₁ = 0, . . . , An−1 = 0, A_n= 1, A_n+1= 0, . . . , An+`−1 = 0, A_n+` = 1)

= (1−p)ⁿ⁻¹p(1−p)^`−1p= (G(p)⊗ G(p))(n, `),

donc X et Y sont indépendantes et suivent la loi géométrique de para- mètrep.

1.3 Identifier une loi

1.3.1 Un outil universel : la fonction test

On se souvient que les intégrales caractérisent les mesures.

5

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CHAPITRE 1 :Calcul de lois Théorème 1.3. Soit µ et ν deux mesures sur (R^d,B(R^d)) qui donnent cha- cune une masse finie aux compacts deR^d. On suppose que pour toute fonction continue à support compactf, on aR

R^df dµ=R

R^df dν. Alorsµ=ν.

Démonstration. Les compacts de R^dforment unπ-système qui engendre la tribu borélienne deR^d(par exemple car les pavés ouverts s’écrivent comme réunion dénombrable de pavés compacts), donc il suffit de montrer que µ et ν coïncident sur les compacts. Soit fn la fonction de R+ dans R+ dé- finie par f_n(x) = (1 −nx)⁺. f est continue, vaut 1 en 0 et est nulle sur [1/n,+∞[. Soit K un compact de R^d, et posons g_n(x) = f_n(d(x, K)), où d(x, K) = inf{d(x, y); y ∈ K}.gn est continue, comme composition d’application continues, et converge simplement vers l’indicatrice deK. Comme

|g_n| ≤ 1_K+B(0,1) qui est intégrable par rapport à µ et ν, le théorème de convergence dominée dit queR

R^dg_n dµconverge versR

R^d1_K dµ=µ(K)et R

R^dgndνversR

R^d1K dν=ν(K). Vu l’hypothèse faite,R

R^dgndµ=R

R^dgndν pour toutn, doncµ(K) =ν(K). Commeµetν coïncident sur les compacts, on a donc bienµ=ν.

Corollaire 1.4. Un vecteur aléatoire (une variable aléatoire)X suit la loiµ surR^d (R) si et seulement si toute fonction continue à support compactφ, on aE[φ(X)] =R

R^dφ dµ.

Démonstration. D’après le théorème de transfert, Eφ(X) = R

φ(x) dPX(x) et on applique le théorème précédent.

L’usage du corollaire précédent est souvent appelé technique de la fonction test. C’est un outil commode d’identification d’une loi qui est universel, mais qui n’est pas toujours le plus rapide. Il est très efficace dans le cas de loi “hybrides”, ayant à la fois une composante discrète est une composante continue.

Exemple : soitXune variable suivant la loi uniforme sur[−1,1]. Calculer la loi deY = max(0, X).

On aφ(Y) =φ(0)1_{X<0}+φ(X)1_{X≥0}, donc Eφ(Y) =E(φ(0)1_{X<0}) +E(φ(X)1_{X≥0})

=φ(0)P(X <0) + 1 2

Z

[−1,1]

φ(x)1_{x≥0})dλ(x)

= 1

2φ(0) + 1 2

Z

[0,1]

φ(x)dλ(x)

On reconnait là l’intégrale deφpar rapport à la mesure ¹₂δ₀+ ¹₂λ_[0,1]. 1.3.2 Le cas discret

Rappelons qu’une variable (un vecteur) aléatoireXest discret si il existe Ddénombrable avecP(X∈D) = 1.

Dans le cas d’une variable aléatoire discrète (ou d’un vecteur discret), identifier la loi revient basiquement à

— identifier les valeurs possibles

— calculer les probabilités des différentes valeurs.

En effet, une loi discrète est complètement caractérisée dès lors que l’on connaît les masses des singletons.

Cette méthode est universelle, toutefois elle n’est pas toujours la plus rapide, en particulier lorsque la loi à identifier est une loi classique.

(17)

1.3 Identifier une loi

1.3.3 Le cas continu

La fonction de répartition de la variable aléatoire réelleX, définie par F_X(t) =PX(]∞, t]) =P(X≤t)

ractérise sa loi. C’est une conséquence du théorème suivant :

Théorème 1.5(Critère d’identification d’une mesureσ-finie). SoientPetQ deux mesures sur(Ω,F). On suppose qu’il existe unπ-systèmeCqui engendre F (σ(C) =F) et sur lequelPetQcoïncident, c’est-à-dire que

∀A∈ C P(A) =Q(A),

et qu’il existe une famille croissante Ω_n d’éléments deC avec Ω =

+∞∪

n=1 Ω_n et P(Ω_n)<+∞pour toutn. AlorsP=Q.

Démonstration. Voir Garet–Kurtzmann.

On va voir comment la fonction de répartition permet parfois de retrou- ver la loi d’une variable aléatoire réelle.

Théorème 1.6. SoitF la fonction de répartition associée à la loiµ. On suppose queFest de classeC¹par morceaux, avec les points de discontinuitéa1, . . . , an. Alors µse décompose en la somme d’une partie à densité,f qui est la dérivée deF là oùF est dérivable, et d’une partie discrète qui estν =

n

P

i=1

µ(a_i)δ_a_i. Démonstration. On doit montrer que pour toutt∈R,

F(t) = Z

]−∞,t]

f(x)dλ(x) +ν(]− ∞, t]).

SoientT < t < a1. D’après le théorème fondamental de l’analyse, F(t)−F(T) =

Z t T

f(x)dx= Z

]T ,t]

f(x)dλ(x).

En faisant tendreT vers−∞, on obtient à gaucheF(t)et à droite R

]−∞,t]f(x) dλ(x) avec le théorème de convergence monotone. (H₀) est donc vraie, où l’on note

(Hi) ∀t < a_i, F(t) = Z

]−∞,t]

f(x)dλ(x)+X

j<i

µ(aj).

Il suffit alors de montrer que(Hi) =⇒(Hi+1)pour conclure. On a F(a_i) =µ(a_i) + lim

t→a⁻_i

F(t) = Z

]−∞,a_i]

f(x)dλ(x) +X

j<i

µ(a_j) +µ(a_i) Soientai < T < t < ai+1. D’après le théorème fondamental de l’analyse,

F(t)−F(T) = Z t

T

f(x)dx= Z

]T,t]

f(x)dλ(x).

En faisant tendreT versa_i, on obtient à gaucheF(t)−F(a_i)et à droite R

]ai,t]f(x) dλ(x) avec le théorème de convergence monotone. En ajoutant les deux égalités on a

F(t) = Z

]−∞,t]

f(x)dλ(x)+ X

j<i+1

µ(aj).

7

(18)

CHAPITRE 1 :Calcul de lois Remarque : dans le cours de deuxième partie de semestre, vous verrez les fonctions génératrices et les fonctions caractéristiques, qui sont des outils plus élaborés d’identification des lois.

1.4 Transformations

On a bien compris que le travail sur les lois revenait à trouver des lois images par des transformations. Voyons concrètement comment on procède.

1.4.1 Le cas discret

Si X est une variable aléatoire discrète à valeurs dans D, la variable aléatoire Y = φ(X) est encore une variable aléatoire discrète, à valeurs dansF =φ(D), caractérisée par la valeur, poura∈F de

P(Y =a) =P(φ(X) =a) =P(X∈φ⁻¹(a)) = X

x∈φ⁻¹(a)

P(X =x).

Exemple : soitXsuivant la loi binomialeB(2n,¹₂). On poseY =|X−n|.

Ici X est à valeurs dans D = {0, . . . ,2n}, f(x) = |x−n| etF = f(D) = {0, . . . , n}. Pour toutk ∈ {1, . . . , n}, on a f⁻¹(k) = {n−k;n+k}, tandis que f⁻¹(0) = {n}. Ainsi P(Y = 0) = P(X = n) = ₂¹2n

2n n

= ₂2n¹

(2n)!

n!² et pour k ∈ {1, . . . , n}, on a P(Y = k) = P(X = n−k) +P(X = n+k) =

1 2²ⁿ

2n n−k

+₂¹2n

2n n+k

= ₂2n−1¹

(2n)!

(n+k)!(n−k)!. 1.4.2 Le cas continu

Changement de variablesC¹

Théorème 1.7. Soient U, U⁰ deux ouverts de R^d, φ un C¹-difféomorphisme de U dans U⁰. Soit f une application mesurable définie sur U⁰. Alors f est intégrable surU⁰ si et seulement sif◦φ(.)× |detD. φ|est intégrable surU et dans ce cas

Z

U⁰

f(y)dλ(y) = Z

U

f(φ(x))× |detD_x φ|dλ(x).

Remarque 1.8. La quantité detD_x φ est appelée déterminant jacobien (ou plus simplement Jacobien) deφau pointx.

Application : calcul de l’intégrale de Gauss

On prendU =]0,+∞[×]0,2π[,U⁰=R²\(R₊×{0})etf(x, y) = exp(−^x²^+y₂ ²).

On fait le changement de variable polaire :φ(r, θ) = (rcosθ, rsinθ). D’un côté, on a

Z

U⁰

f(x, y)d(λ⊗λ)(x, y) = Z

R²

f(x, y)d(λ⊗λ)(x, y) =I², avec I = R

Rexp(−^x₂²) dλ(x), où la dernière égalité vient du théorème de Tonelli. De l’autre, on a

|detD_r,θφ|=

cosθ −rsinθ sinθ rcosθ

=r,

(19)

1.4 Transformations

d’où Z

]0,+∞[×]0,2π[

e⁻^r

2

2 r d(λ⊗λ)(r, θ) = Z

]0,+∞[

(2π)re⁻^r

2

2 dλ(r) = 2π.

Pour la dernière égalité, on a remarqué que −e^−r²^/2 est une primitive de re⁻^r

2

2 . On a doncI²= 2π, soit I =

Z

R

exp(−x²

2 )dλ(x) =√ 2π.

Application : mesure image par unC¹-difféomorphisme

Corollaire 1.9. Soient O1 et O2 deux ouverts de R^d, d ≥ 1. On suppose que T est un C¹-difféomorphisme de O₁ dans O₂. Soit maintenant µ₁ une me- sure positive surR^dtelle queµ1(R^d\O₁) = 0et admettant une densitéf1 par rapport à la mesure de Lebesgue sur R^d. Alors, la mesure image de µ1 parT admet comme densité par rapport à la mesure de Lebesgue surR^d la fonction f2 définie par

f2(y) =

f₁(T⁻¹(y))|detDT_y⁻¹|siy∈O₂ 0siy /∈O2

Démonstration. Soitgune fonction mesurable positive surO₂. Notonsµ₂ la mesure image deµ1 parT. D’après le théorème de transfert,

Z

O2

g dµ₂ = Z

O1

(g◦T)dµ₁ = Z

O1

(g◦T)f₁ dλ

= Z

O1

(g◦T)(x)f₁(x)|detD_T_(x)T⁻¹||detD_xT|dλ(x)

= Z

O1

((g×(f1◦T⁻¹)× |detD.T⁻¹|)◦T)(x)|detDxT|dλ(x)

= Z

O2

g×(f1◦T⁻¹)× |detD.T⁻¹|dλ ce qui donne le résultat voulu.

Exemple : loi Beta, loi Gamma, et loi de Dirichlet Quelques rappels :

— Soienta, bdes réels strictement positifs. La densité de probabilité de la loi Beta de paramètresaetbest :

x7→ 1

β(a, b)x^a−1(1−x)^b−11_[0,1](x),

où β(a, b) est la fonction Beta, fonction d’Euler de première espèce qui peut s’exprimer comme

β(a, b) = Z 1

0

x^a−1(1−x)^b−1 dx.

— Soient a et γ des réels strictement positifs. On appelle loi Gamma Γ(a, γ)la loi dont la densité par rapport à la mesure de Lebesgue est

x7→ γ^a

Γ(a)x^a−1e^−γx 1_]0,+∞[(x), 9

(20)

CHAPITRE 1 :Calcul de lois oùΓ(a)est la valeur au pointade la fonctionΓ, fonction d’Euler de seconde espèce, définie par

Γ(a) = Z

R+

x^a−1e^−x dx.

Théorème 1.10. Soienta1, a2, λ >0. SoitX1etX2indépendantes avecX1∼ Γ(a₁, λ)etX₂∼Γ(a₁, λ). On pose

Y1 =X1/(X1+X2)etY2 =X2/(X1+X2).

On dit que(Y₁, Y₂)suit la loi de Dirichlet de paramètres(a₁, a₂).

AlorsY1suit la loi Bêta de paramètres(a1, a2),X1+X2 suit la loiΓ(a1+ a₂, λ), etY₁ etX₁+X₂ sont indépendantes.

De plusβ(a1, a2) = ^Γ(a_Γ(a¹^)Γ(a²⁾

1+a2) .

Démonstration. L’applicationT : (x, y)7→(_x+y^x , x+y)réalise unC¹-difféomorphisme de (R^∗+)² dans ]0,1[×R^∗+, dont la réciproque est T⁻¹(θ, s) = (θs,(1−θ)s).

On a|DT_(θ,s)⁻¹ |=

s θ

−s 1−θ

=s. Comme la densité de(X₁, X₂)est (x, y)7→ λ^a¹^+a²

Γ(a1)Γ(a2)x^a¹⁻¹y^a²e^−λ(x+y)1_R^∗₊(x)1_R^∗₊(y), on obtient alors la densité de(Y₁, X₁+X₂):

(θ, s) 7→ λ^a¹^+a²

Γ(a₁)Γ(a₂)s(θs)^a¹⁻¹((1−θ)s)^a²⁻¹e^−λs1_]0,1[(θ)1_R^∗

+(s)

=Kθ^a¹⁻¹(1−θ)^a²⁻¹1_]0,1[(θ) β(a1, a2)

λ^a¹^+a²

Γ(a1+a2)s^a¹^+a²⁻¹e^−λs1_R^∗₊(s), où l’on a poséK = ^Γ(a¹_Γ(a^+a²^)β(a¹^,a²⁾

1)Γ(a2) . On reconnait ainsi P(Y1,X1+X2) =K(Bêta(a1, a2)⊗Γ(a1+a2, λ)) En évaluant cette égalité de mesures enΩ, on obtient1 =K.1, d’où

PB(a1,a2)=Bêta(a₁, a₂)⊗Γ(a₁+a₂, λ),

ce qui nous dit queY1 etS1+S2 sont indépendantes et suivent respectivement les lois Bêta(a1, a2)etΓ(a1+a2, λ).

Lorsque φ est une application de classe C¹ de Rⁿ dans R^p avec p <

n, une technique classique est de construire ψ;Rⁿ → R^n−p telle quex 7→

(φ(x), ψ(x))réalise unC¹-difféomorphisme. On applique alors le théorème de changement de variable pour trouver la densité de (φ(X), ψ(X))et en réintégrant, on obtient la densité deφ(X).

Exemple : soient X, Y indépendantes suivant la loi uniforme sur [0,1].

On veut calculer la loi de XY. Il suffit de compléter XY en (XY, X) Si T(x, y) = (xy, x),T est unC¹-difféomorphisme de]0,1[²dansO={(u, v)∈ R²; 0< u < v <1}. Si(u, v) =T(x, y)On a alors

|detDT_(x,y)|=

det y x

1 0

=x=v,

ce qui nous donne|detDT_(u,v)⁻¹ |=v⁻¹. Avec le théorème de C¹ difféomor- phisme, le couple (U, V) = (XY, X) a la densité (u, v) 7→ ¹_v1O(u, v). La densité de U = XY est donc u 7→ R

R 1

v1_O(u, v) dλ(v). Sur ]0,1[, elle vaut R1

0 1

v1_{u<v} dv=R1 u

dv

v =−logu.

(21)

1.5 Les lois uniformes

Les lois uniformes ont une place particulière dans la littérature des exercices de probabilités. D’abord elles sont souvent mal nommées, ou plutôt pas nommées : quand un énoncé dire qu’une variable aléatoire est tirée “au hasard”, il veut souvent dire qu’elle suit la loi uniforme sur un ensemble que le contexte permet de préciser. Cependant, elles ont des propriétés très intéressantes.

1.5.1 Loi uniforme sur un ensemble fini

La loi uniformeU_C sur l’ensemble finiCétant définie par

∀A∈ P(C) U_C(A) = |A|

|C|,

lorsque une variable suit une loi uniforme, le calcul des probabilités est ramené à un dénombrement.

Par ailleurs, on a quelques propriétés très simples, mais bien utiles : Produit

SiCetDsont finis, alorsUC×D =UC⊗UD.

Démonstration. Il suffit de vérifier l’égalité des mesures sur des ensembles produits

UC×D(A×B) = |A×B|

|C×D| = |A|.|B|

|C|.|D|

= |A|

|C|

|B|

|D| =UC(A)UD(B) = (UC⊗UD)(A×B)

Par exemple, si X1, . . . , Xn suivent la loi uniforme sur C, le vecteur (X1, . . . , Xn)suit la loi uniforme surCⁿ.

Conditionnement

Rappelons que si (Ω,F, µ) est un espace probabilisé et D ∈ F avec µ(D)>0, l’application

µ(·|D) :A7→µ(A|D) = µ(A∩D) µ(D)

est une mesure de probabilité sur (Ω,F). Il est aisé de constater que la loi uniforme sur C conditionnée par D ⊂ C (ou de manière équivalente D∈ P(C)) est la loi uniforme surD.

Démonstration.

UC(A|D) = UC(A∩D)

UC(D) = |A∩D|/|C|

|D|/|C| = |A∩D|

|D| =UD(A).

Par exemple, si(X1, . . . , Xn)sont des variables indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre1/2, la loi de(X1, . . . , Xn)sachantX1+· · ·+ X_n=kest la loi uniforme sur{(x₁, . . . , x_n)∈ {0,1}ⁿ:x₁+· · ·+x_n=k}: c’est la loi de la suite des tirages sans remise dans une urne.

11

(22)

CHAPITRE 1 :Calcul de lois 1.5.2 Loi uniforme sur un compact deR^d

Rappelons qu’une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur un com- pactKdeR^dsi elle admet la densité

x7→ 1

λ(K) 1_K(x).

Par voie de conséquence, la loi uniformeU_K sur le compactK deR^dvérifie pourAborélien deR^d:

U_K(A) = λ(K∩A) λ(K) .

Ainsi, lorsque une variable suit une loi uniforme, le calcul des probabilités est ramené à un calcul d’aire.

Cette remarque est très importante car de nombreuses aires classiques se calculent à l’aide de formules de géométrie mémorisées par tous, alors que les calculs intégraux correspondants sont plus délicats. Par Exemple siµ est la loi uniforme sur le carré[0,1], la mesure du disque unité est l’aire d’un quart de disque, classiquement égale àπ/4, alors que le théorème de Fubini amène à calculerR1

0

√

1−x² dx, ce qui peut être un peu plus délicat. . . Produit

SiCetDsont finis, alorsU_C×D =U_C⊗ U_D.

Démonstration. Là encore, il suffit de vérifier l’égalité des mesures sur des ensembles produits. La preuve est laissée au lecteur.

Par exemple, si X etY sont des variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur[0,1], le vecteur aléatoire(X, Y)suit la loi uniforme sur le carré[0,1]².

Conditionnement

La loi uniforme sur C conditionnée par le borélien D (ou de manièle équivalenteD∈ P(C)) est la loi uniforme surC∩D.

Par exemple, si X etY sont des variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur [0,1], le vecteur aléatoire (X, Y) conditionné par {X+Y ≤1}suit la loi uniforme sur le triangleT ={(x, y)∈R²₊;x+y≤1}.

1.5.3 Application

Théorème 1.11. Soit F une fonction de R dans R, croissante, continue à droite, dont la limite est nulle en−∞ et vaut1 en +∞. On suppose que sur (Ω,F,P), U est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0,1]. On pose

∀u∈]0,1[ Q^∗(u) = min{x∈R: 1−F(x)≤u}.

et

∀u∈]0,1[ F^∗(u) = inf{s∈R: F(s)> u}.

Alors F^∗(U) et Q^∗(u) sont des variables aléatoires réelles dont la fonction de répartition estF.

(23)

Démonstration. On fait seulement la preuve pourF^∗; celle pourQ^∗est ana- logue. Notons que pour tout u ∈]0,1[,F^∗(u) < +∞ car F a une limite 1 en l’infini etF^∗(u) >−∞carF a une limite 0en l’infini. CommeU prend presque sûrement ses valeurs dans]0,1[, la variableF^∗(U)est bien définie.

On va calculer la fonction de répartition deF^∗(U), et on doit donc travailler sur l’événement {F^∗(U) ≤ t}. SiF(t) > U, alors F^∗(U) ≤ tpar définition de l’inf. D’autre part, siF^∗(U)≤t, alors, commeF est croissante, pour tout t⁰ > t,F(t⁰)> U. Donc pour toutt⁰ > t, on a

{F(t)> U} ⊂ {F^∗(U)≤t} ⊂ {F(t⁰)> U}

et donc P(U < F(t)) ≤ P(F^∗(U) ≤ t) ≤ P(U < F(t⁰)). On obtient ainsi F(t) ≤P(F^∗(U) ≤t) ≤ F(t⁰).Cela est vrai pour toutt⁰ > t. CommeF est continue à droite, on obtient ainsi le résultat en faisant tendret⁰ verst.

En particulier, si F est la fonction de répartition de la loiµ,F^∗(U) suit la loi µ. Cela signifie que si on sait simuler une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur[0,1], on sait simuler n’importe quelle variable aléatoire réelle : c’est la simulation par méthode d’inversion. Mais ce résultat a aussi une conséquence théorique importante.

Corollaire 1.12. Soit F une fonction de R dans R, croissante, continue à droite, dont la limite est nulle en −∞ et vaut 1 en +∞. Alors il existe une mesure de probabilité surRdontF est la fonction de répartition.

Démonstration. Il suffit de prendre la loi deF^∗(U)dans le théorème précé- dent.

Remarque 1.13. — Sia, b∈Rsont tels que

x→alim⁺F(a) = 0et lim

x→b⁻F(b) = 1

et queF est strictement croissante sur]a, b[(ce qui arrive par exemple si la loi admet une densité de la forme1_]a,b[gavecgstrictement positive sur]a, b[), alors l’applicationF^∗ du théorème 1.11 est tout simplement la réciproque de l’application strictement croissante F. Si on sait la calculer explicitement, cela permet une simulation facile.

— En revanche, si on cherche à simuler une loi discrèteµavecµ({x_i}) =pi

pour touti≥ 1, il suffit de poserX =x_f_(U), où f(x) = inf{n:s_n >

x}, avecs0 = 0etsn=p1+· · ·+pn.

En effet, on a alors{X = xn} ={f(U) = i} = {s_n−1 ≤U < sn} et P(X = x_n) = P(U ∈ [sn−1, s_n[) = λ([sn−1, s_n[) = s_n−sn−1 = p_n. Noter que lesxi n’ont pas besoin d’être ordonnés.

1.5.4 Exercices de la série 1

Exercice 1. On rappelle que pourxréel,{x}désigne la partie fractionnaire dex:x=bxc+{x}.

Soitα ∈RetX une variable aléatoire sur(Ω,F,P)suivant la loi uniforme sur[0,1]. Montrer queY ={X+α}a la même loi queX.

Exercice 2. SoientX1etX2 deux variables aléatoires indépendantes telles que

P(Xi = 1) =P(Xi =−1) = 1 2.

PosonsX₃ =X₁X₂. Montrer que les variablesX₂etX₃sont indépendantes, ainsi queX₁ etX₃. En revanche, montrer queX₁, X₂, X₃ne le sont pas.

13

(24)

CHAPITRE 1 :Calcul de lois Exercice 3. Les pointsX etY sont répartis uniformément et indépendam- ment respectivement sur les côtés AB et BC d’un triangle ABC. Soient SABC l’aire du triangleABC etSXBY celle du triangleXBY.

TrouverP(SABC >2SXBY).

Exercice 4. SoitXune variable aléatoire de densitéf(x) = (1+x) log 2¹^[0,1]^(x) . Mon- trer que{_X¹}= _X¹ − b_X¹ca même loi queX.

Exercice 5. 1. On suppose queX1, . . . Xnsont des variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur[0,1].

CalculerE(max{X₁, . . . , X_n}).

2. On suppose queY₁, . . . Y_nsont des variables aléatoires indépendantes suivant la loi exponentielle de paramètre 1.

CalculerE(min{Y₁, . . . , Y_n}).

Exercice 6. volume de la boule unité de (Rⁿ,k.k_p) On rappelle que pour x∈Rⁿ, on notekxk_p = (Pn

k=1|x_k|^p)^1/p.

1. Soient Y₁, . . . , Y_n des variables aléatoires indépendantes suivant la loiΓ(¹_p,1). On poseXk =Y_k^1/petS = X₁^p +· · ·+Xn^p. Montrer que X1admet la densitéx7→ ^e

−xp1_R+(x)

Γ(¹_p+1) et queS∼Γ(n/p,1).

2. Soitφ:R+→R+une fonction mesurable positive. Montrer que Z

Rⁿ+

φ(kxk^p_p)dλ^⊗n(x) =E[ψ(S)], oùψ(x) = Γ 1

p + 1 n

φ(x)e^x. En déduire que

Z

Rⁿ

φ(kxk^p_p)dλ^⊗n(x) = 2ⁿΓ(¹_p + 1)ⁿ Γ(n/p)

Z

R+

uⁿ^p⁻¹φ(u)du.

3. Montrer que le volume de la boule unité de(Rⁿ,k.k_p)est ²

nΓ(¹_p+1)ⁿ Γ(ⁿ_p+1) . 4. Soitn≥2. On poseT_n={(x₁, . . . , x_n)∈Rⁿ+;x₁+· · ·+x_n≤1}.

Calculer Z

Tn

dλ^⊗n(x) x₁+· · ·+x_n.

Exercice 7. 1. SoientX1, . . . , Xndes variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées suivant la loi exponentielleE(1). Calcu- ler la loi du vecteur(U₁, . . . , Un−1, S_n)défini par

Sn=

n

X

i=1

Xi et Ui =Xi/Sn.

En déduire la loi deU = (U1, . . . , Un−1)puis celle du vecteur V = (U₁, . . . , U_n)oùU_n=X_n/S_n.

2. SoitT un triangle équilatéral de sommetsa, b, c. On choisit un point v au hasard dans T. Déterminer la loi de la surface du triangle de sommetsa, b, v.

Exercice 8. 1. Montrer que deux probabilités sur(N^∗,P(N^∗))qui coïn- cident sur les ensembles de la forme(nN^∗)n∈N^∗ sont égales.

(25)

2. Soits >1. On dit queX suit une loi Zêta de paramètressi l’on a

∀n∈N^∗ P(X =n) = 1 ζ(s)

1 n^s, où ζ(s) =

+∞

P

n=1 1

n^s. Soient X, X⁰ deux variables aléatoires indépen- dantes suivant les lois Zêta de paramètres respectifss > 1ett > 1.

Montrer que X∧X⁰ (p.g.c.d. de X etX⁰) suit la loi Zêta de para- mètres+t.

En déduire queP(X∧X⁰ = 1) = _ζ(s+t)¹ . 1.5.5 Exercices de la série 2

Exercice 9. Application de HénonSoientaetbdes réels. On suppose que le vecteur(X, Y)suit la loi uniforme sur le compactK. On poseU = 1 +Y − aX² etV =bX. Montrer que(U, V)suit la loi uniforme sur un compact.

Exercice 10. Soit(X_n)n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées telles que P(X_n = 1) = P(X_n = −1) = 1/2.

Pour tout n ≥ 1, on pose Zn = Qn

i=1Xi. Montrer que les (Zn)n≥1 sont indépendantes.

Exercice 11. 1. SoientX, Y des variables aléatoires suivant la loi uniforme sur {0,1}. On pose Z = {X +Y}, où {·} désigne la partie fractionnaire. Montrer queZ suit la loi uniforme sur {0,1}, qu’elle est indépendante deX, et également deY. Les variablesX, Y, Zsont elles globalement indépendantes ?

2. Soit(Un)n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur [0,1]. Pour n ≥ 1, on pose S_n = U₁ +. . . U_n et W_n={S_n}. Montrer que les(W_n)n≥1 forment une suite de variables indépendantes. En déduire que

P(Sn<1) =P(W1≤W2 ≤ · · · ≤Wn) =P(W1< W2 <· · ·< Wn) = 1 n!. 3. CalculerE[T], oùT = inf{n≥0 S_n≥1}.

Exercice 12. Soit s >1. On dit queX suit une loi Zêta de paramètre ssi

∀n ∈ N^∗ P(X = n) = _ζ(s)¹ _n¹s, où l’on a posé ζ(s) =

+∞

X

n=1

1

n^s. Soit doncX suivant une loi Zêta de paramètres. On tireY au hasard – c’est-à-dire avec équiprobabilité – entre1etX :PY|X=x =U({1, . . . , x})la loi uniforme sur {1, . . . , x}.

1. Pourn, k∈N^∗, calculerP(Y =k|X =n).

2. On poseZ = ^Y_X. Montrer que la fonction de répartitionF_Z est strictement croissante sur[0,1].

3. Soientp, q deux entiers positifs premiers entre eux, avecp ≤q. Cal- culerP(Z = ^p_q).

4. On rappelle queφ(n) désigne le nombre d’entiers compris entre1et n qui sont premiers avec n. Déduire de ce qui précède une preuve probabiliste de l’identité

ζ(s+ 1)

+∞

X

n=1

φ(n)

n^s+1 =ζ(s).

15

(26)

CHAPITRE 1 :Calcul de lois Exercice 13. SoitP l’ensemble des nombres premiers. Pourp∈ P, on note ν_p(n)le plus grand entierktel quep^kdivisen. SoitXune variable aléatoire suivant la loi Zêta de paramètres(voir exercice précédent). Montrer que les variables aléatoires(1 +νp(X))p∈P sont des variables indépendantes, avec 1 +ν_p(X)∼ G(1−_p¹_s).

Exercice 14. Dans le segment[AB]de longueur 1, on choisit au hasard un pointM. Quelle est la probabilité pour que l’on aitAM.M B≥ ²₉?

Exercice 15. SoientX₁, . . . , X_ndes variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur[0,1].

On pose Mn = max(X1, . . . , Xn). Déterminer la fonction de répartition de M_n. Montrer queM_nadmet une densité que l’on déterminera.

Exercice 16. SoientX1, . . . , Xndes variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur[0,1]. On pose

Mn= max(X1, . . . , Xn)etmn= min(X1, . . . , Xn).

Montrer queM_net1−m_nont même loi.

Exercice 17. La tradition veut que l’Épiphanie soit l’occasion de « tirer les rois » : une fève est cachée dans une galette, découpée entre les convives et la personne qui obtient cette fève devient le roi de la journée. Lorsque le premier coup de couteau est porté sur la fève, c’est la consternation ! Quelle est la probabilité de cette malheureuse issue ?

Hypothèses et simplifications : on admet que la galette est circulaire, de rayon unité, et que la fève est aussi circulaire, de rayonr. Enfin, on suppose que

— la position du centre de la fève suit la loi uniforme sur le disque de rayon1−r ayant le même centre que la galette

— le coup de couteau est un rayon du disque représentant la galette Application numérique avec une fève de 2,7 centimètres de diamètre dans une galette de 23 centimètres de diamètre achetée ce matin.

Exercice 18. SoientX1, . . . , Xndes variables aléatoires indépendantes telles que pour tout1≤i≤n,Xi suit la loi exponentielleE(λ_i).

On noteT = inf(X₁, . . . , X_n)etN = inf{i≥1;X_i =T}.

1. Montrer queP(∃(i, j)∈N² 1≤i < j ≤n;X_i =X_j) = 0.

2. Pourientre1etN, on poseY_i = inf(X_j;j∈ {1, . . . , n}\{i}). Montrer queY_i est indépendant deX_i, puis déterminer sa loi.

3. Soitt >0. Montrer que pour touticompris entre1etn, P(T > t, N =i) =P(Yi > Xi> t) 4. On poseλ=

n

P

j=1

λ_j. Montrer queP(T > t, N =i) = ^λ_λⁱexp(−λt).

5. Montrer queT etN sont indépendantes et préciser leurs lois.

Exercice 19. Soitnun entier naturel. On considèreXune variable aléatoire exponentielle de paramètre 1 et Y une binomialeB(n,¹₂). On suppose que XetY sont indépendantes.

Montrer queZ = _Y^X₊₁ est une variable à densité et déterminer sa den- sité.