CPGE 1 ; contrôle du 4 novembre 2013
Exercice 1 :
Etude de la fonction définie par 𝑓 𝑥 = 𝑥²𝑒−𝑥
(Ensemble de définition, branches infinies, continuité, dérivabilité, variation, tableau des variations)
Justifier que l’équation 𝑓 𝑥 = 1 admet une unique solution 𝛼 et que cette solution est dans ] −∞ ; 0 [
Exercice 2 :
On note 𝐼2 = 𝑥²𝑒02 −𝑥𝑑𝑥 ; 𝐼1 = 𝑥 𝑒02 −𝑥𝑑𝑥 𝑒𝑡 𝐼0 = 𝑒02 −𝑥𝑑𝑥 1. Calculer 𝐼0
2. Prouver, à l’aide d’une intégration par parties, que 𝐼1 = −3𝑒−2 + 1 3. Prouver, à l’aide d’une intégration par parties, que 𝐼2 = −4 𝑒−2+ 2 𝐼1 4. Déduire la valeur de 𝐼2
5. Que représente graphiquement 𝐼2 ? Exercice 3 :
Etudier la continuité et la dérivabilité de la fonction définie par : 𝑓 𝑥 = −𝑥² 𝑠𝑖 𝑥 < 0 𝑥²− 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 0
