BTS1-Chapitre 5 - Exercices : La fonction logarithme népérien
Ex1 : Ecrire en fonction de ln 2 et/ou ln 3 ln 12 ; ln 18 ; ln 27 ; ln ; ln 48 Ex2 : On considère la fonction définie sur 1 ; 50 par = 0,5 − 40 + ln
Calculer sa dérivée, étudier son signe, puis dresser le tableau de variation de la fonction
A l’aide de la calculatrice, déterminer le plus grand intervalle [ ; ] avec et entiers tel que > 0. Ex3 : On considère la fonction définie sur 1 ; 10 par = 4 + 1 − 16ln
Calculer sa dérivée, étudier son signe, puis dresser le tableau de variation de la fonction
En observant le tableau de variations, on sait que l’équation = 0 admet deux solutions, on les note et
!. Donner un encadrement de , puis de ! par deux entiers consécutifs.
Ex4 : Le tableau ci-dessous indique l’évolution de l’épargne nationale en France, en pourcentage du PIB.
Avec un tableur, on a affiché une courbe de tendance logarithmique.
On admet que l’évolution est modélisable par la fonction définie sur [1 ; 10] par
= −0,54 ln + 18,99 où désigne le rang de l’année ; 2004 étant l’année de rang 1.
1° Quelle sera l’épargne en 2013 ?
2° Calculer ′ , étudier son signe. En déduire le tableau de variation de la fonction .
3° A l’aide la calculatrice, déterminer le plus petit entier solution de l’inéquation ≤ 17,9. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
Ex5 : On considère la fonction C définie sur l’intervalle [2 ; 30] par : % = 12 + 22 − 25&' . Une usine de composants électroniques fabrique des haut-parleurs.
Le coût de production, en milliers d’euros, de x centaines de haut-parleurs est égal à C(x) ; x est compris entre 2 et 30.
1. Sachant qu’une centaine de haut-parleurs est vendue 10 milliers d’euros, donner (en milliers d’euros) le prix de vente de x centaines de haut-parleurs.
On considère la fonction B définie sur l’intervalle [2 ; 30] par ) = −2 − 22 + 25&' .
2. Montrer que le bénéfice, en milliers d’euros, réalisé sur la production et vente de x centaines de haut- parleurs est égal à B(x).
3. a. Calculer )′
b. Étudier le signe de )* .
c. En déduire le tableau de variation de la fonction B.
d. Pour quelle quantité de haut-parleurs vendue le bénéfice est-il maximal ?
4. A l’aide de la calculatrice, déterminer le nombre de dizaines de composants à fabriquer pour avoir un bénéfice supérieur à 10 000 €.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A B C D E F G H
année rang epargne (en
% du PIB)
2004 1 19
2005 2 18,6
2006 3 18,4
2007 4 18,3
2008 5 18,1
y = -0,536ln(x) + 18,993
17 17,5 18 18,5 19
0 1 2 3 4 5
epargne (en % du PIB)
Ex6 : a) Déterminer le plus petit entier ' tel que : 12500 + 1,04, - 21875 b) Déterminer le plus petit entier ' tel que : 10000 + 0,95, $ 5000
Ex7 : Une entreprise fabrique des pièces pour véhicules. On note . le nombre de centaines de pièces fabriquées par mois de 100 à 1200 pièces.
Chaque mois les coûts de production sont donnés par : % . 1,6 ln . 2 ; 1 $ . $ 12 1°a) Calculer %′ . , puis étudier le signe de %′ .
b) Dresser le tableau de variation de la fonction %.
c) Compléter le tableau de valeurs (arrondi au dixième), puis tracer la courbe de la fonction %
. 1 2 4 6 8 10 12
% .
2° Le prix de vente de 100 pièces est de 0,8 milliers d’euros.
Exprimer la recette / . obtenue pour la vente de . centaines de pièces.
Tracer la droite dans le repère ci-dessous.
3° a) Vérifier que le bénéfice mensuel est ) . 0,8. 1,6 ln . 2 sur 1 ; 12 b) Calculer )′ . , puis étudier le signe de )′ .
c) Dresser le tableau de variation de la fonction )
d) Calculer ) 3 et ) 10 , puis préciser dans chaque cas si l’entreprise est bénéficiaire.
e) A l’aide de la calculatrice, déterminer le nombre minimum de pièces à fabriquer pour que l’entreprise soit bénéficiaire.
Ex2 : = 0,5 − 40 + ln Dérivée : pour tout de [1 ; 50]
* = 0,5 × 2 + 0 +1
= 1 +1
Signe de 0′ 1 :
∈ [1 ; 50] 34'5 > 0 34'5 1
> 0 34'5 1 +1
> 0 34'5 * > 0 Tableau de variation :
1 8 9 50 ′ +
1213,9
0 2,69 −5,29
−39,5
2° d’après le tableau de variations, On a > 0 pour ≥ 9
[9 ; 50] est le plus grand intervalle [ ; ] avec et entiers tel que > 0.
Ex3 : On considère la fonction définie sur 1 ; 10 par = 4 + 1 − 16ln
Dérivée : pour tout de [1 ; 10]
* = 4 + 0 − 16 ×1
= 4 − 16 ×1
= 4 −16
=4 − 16 Signe de 0′ 1 :
1 1 4 67 81 − 69
1
− 7 + +
Racine : 4 7 ∉ [6 ; 67]
0 ′ 1 − 7 +
Tableau de variation :
1 2 4 8 ! 9 10 ′ − 7 +
5 4,16
1,8 0 0 −2,1 −0,27
−5,18 2° Du tableau de variations, on déduit :
1 ≤ ≤ 2 8 ≤ ! ≤ 9
Ex4On admet que l’évolution est modélisable par la fonction définie sur 1 ; 10] par = −0,54 ln + 18,99
1° Quelle sera l’épargne en 2013 ? 2004 correspond à = 1
2013 correspond à = 10
10 = −0,54 ln 10 + 18,99 ≈ 17,75
L’épargne salariale représentera 17,75% du PIB en 2013
2° Calculer 0′ 1 , étudier son signe. En déduire le tableau de variation de la fonction 0. Pour ∈ [1 ; 10]
* = −0,54 ×1
+ 0 =−0,54 Signe de 0′ 1
1 ∈ [6 ; 67] donc 1 > 7 donc =7,>8
1 < 7 donc 0* 1 < 7 Tableau de variation :
1 7 8 10
′ −
18,99
17,94
17,9
17,87
17,75
3° A l’aide la calculatrice, déterminer le plus petit entier solution de l’équation ≤ 17,9. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
Le plus petit entier est 8, c’est à partir de l’année de rang 8, en 2011 que l’épargne salariale sera inférieure à 17,9% du PIB
Ex5
1° Prix de vente – Recette
1 centaine d’objets est vendu 10 milliers d’euros centaines d’objets sont vendus 10 milliers d’euros / = 10 en milliers d’euros
2° Bénéfice = Recette – Coût
/ − %
= 10 − 12 + 22 − 25 ln
= 10 − 12 − 22 + 25 ln
= −2 − 22 + 25 ln
On obtient ) = −2 − 22 + 25 ln
3° pour ∈ [2 ; 30]
)* 2 − 0 + 25 ×1
= −2 +25
=−2
+25
=−2 + 25
3b ) Signe de )′
1 2 12,5 @7
−A1 + A>
1
+ 7 − +
−A1 + A> = 7 1 =A>A = 6A, >
7 ∉ [A; @7]
B′ 1 + 7 −
3c) Tableau de variation :
2 5,6 5,7 12,5 23,4 23,5 30 )′ + 7 −
) 16,14
10,11 10,02 10 10
9,87 9,92
−8,67 3,03 3d)
On en déduit qu’il faut produire et vendre 1250 haut-parleurs pour réaliser un bénéfice maximal qui s’élèvera à 16140€.
4°on veut ) > 10
A l’aide du tableau de variations, : ) > 10 pour ∈ [5,7 ; 23,4]
l’entreprise doit produire et vendre de 5,7 centaines à 23,4 centaines, donc de 570 à 2340 haut-parleurs pour réaliser un bénéfice supérieur à 10000€
Ex6 : a) Déterminer le plus petit entier ' tel que : 12500 × 1,04, ≥ 21875 b) Déterminer le plus petit entier ' tel que : 10000 × 0,95, ≤ 5000
a) on résout
12500 × 1,04,≥ 21875 1,04,≥21875
12500 6, 78C≥ 6, D>
EF 6, 78C ≥ EF 6, D>
C × EF 6, 78 ≥ EF 6, D>
' ≥ln 1,75 ln 1,04 Or GH ,IJ
GH ,KL ≈ 14,3
Le plus petit entier solution est 15
b) on résout
10000 × 0,95,≤ 5000 0,95,≤ 500
10000 7, M>C≤ 7, >
EF 7, M>C ≤ EF 7, >
C × EF 7, M> ≤ EF 7, >
' ≥ ln 0,5
ln 0,95 5 N ln 0,95 'éP QR Or GH ,IJ
GH ,KL ≈ 13,5
Le plus petit entier solution est 14
Ex7 :
1° a) Dérivée Pour . ∈ [1 ; 12]
%* . = 1,6 ×1
.+ 0 =1,6 . Signe de %′ .
Pour . ∈ [1 ; 12] : . > 0 donc ,S
T > 0 donc %* . > 0
b) tableau de variation
. 1 12
%* . +
% .
5,98
2
c) Compléter le tableau de valeurs (arrondi au dixième), puis tracer la courbe de la fonction %
. 1 2 4 6 8 10 12
% . 2 3,1 4,2 4,8 5,3 5,7 6,0
2° Le prix de vente de 100 pièces est de 0,8 milliers d’euros.
Exprimer la recette / . obtenue pour la vente de . centaines de pièces.
Tracer la droite
1 centaine de pièces : 0,8 milliers d’euros . centaines de pièces : 0,8. milliers d’euros D’où R(q)=0,8q en milliers d’euros
Tracé : / 0 0 / 10 0,8 + 10 8 3° a) Bénéfice mensuel
/ . % . 0,8. 1,6 ln . 2 0,8. 1,6 ln . 2 D’où : ) . 0,8. 1,6 ln . 2 sur 1 ; 12
b) Dérivée
)* . 0,8 1,6 +1
. 0 ⋯ 0,8. 1,6
. Signe de B′ V
Valeur annulation : 0,8. 1,6 0 . 1,5
0,8 2
V 1 2 6A 7, WV − 6, 9
V
− 7 +
+ + 7 ∉ [6; 6A]
B′ V − 7 +
c) Dresser le tableau de variation de la fonction )
V 1 2 6,12 6,13 6A
B′ V − 7 +
B V
-1,2 3,62
0,00289 -0,0025
-1,51
d) ) 3 ≈ −1,36 < 0 l’entreprise n’est pas bénéficiaire pour 300 pièces ) 10 ≈ 2,32 < 0 l’entreprise est bénéficiaire pour 1000 pièces
e) A l’aide de la calculatrice, déterminer le nombre minimum de pièces à fabriquer pour que l’entreprise soit bénéficiaire.
) 6,12 ≈ −0,0025 < 0 ) 6,13 ≈ 0,00289 > 0
D’après le tableau de variations, l’entreprise est bénéficiaire à partir de 613 pièces
