Quelle place pour le calcul mental dans nos pratiques en classe?
Les programmes:
Dans la continuité des programmes de l’école primaire, les nouveaux programmes du collège recommandent d’entretenir et de développer les compétences des élèves en calcul mental:
" … le calcul mental sous toutes ses formes (résultats mémorisés, calcul réfléchi) occupe la place principale et accompagne l’usage intelligent d’une calculatrice ordinaire".
Calcul mental - calcul posé – calcul instrumenté:
Ils ne sont pas à opposer. C’est par une pratique conjointe de ces trois modes de calcul que la notion de nombres se construit tout au long de la scolarité, de l’école (nombres entiers et décimaux), au collège (nombres relatifs, nombres rationnels et irrationnels, calcul algébrique) puis au lycée. Le calcul mental est indispensable dans le calcul posé, les techniques écrites s’appuient sur le calcul mental: effectuer une division avec la technique de la potence par exemple requière de nombreux traitements mentaux. Il est également nécessaire pour le calcul instrumenté afin de vérifier les ordres de grandeurs des résultats affichés.
Parmi les différentes fonctions du calcul mental est privilégiée celle de lier calcul et
raisonnement. On voit apparaître dans ces nouveaux programmes de 6ème la distinction entre:
Calcul mental automatisé et calcul mental réfléchi:
Le calcul mental automatisé est tout ce qui nécessite des connaissances ou des procédures mémorisées, directement disponibles: par exemple en fin de cycle trois, les tables d’additions et de multiplications, quelques doubles et moitiés…(connaissances encore à stabiliser en 6ème) Le calcul mental réfléchi:
Il ne s’agit plus de récupérer en mémoire un résultat ou une procédure directement applicable, mais d’élaborer une stratégie car dans ce type de calcul, plusieurs méthodes sont possibles, les élèves choisissent celles qui de leur point de vue, est la mieux adaptée, ce choix dépend de leurs connaissances disponibles sur les contenus mis en jeu:
Ex : pour calculer 25x12 plusieurs méthodes sont possibles:( 25x4x3 ou 25x10 + 25x2 ou (12x100)/2/2)
La correction permettra d’expliquer et de confronter les différentes procédures. Tous les calculs sur les ordres de grandeurs par exemple sont de ce type ainsi que ceux qui concernent la résolution de problèmes.
La frontière entre ces deux types de calcul n’est pas toujours facile à préciser, à un même moment elle peut varier d’un élève à un autre, avant d’être automatisée , une connaissance a besoin d’être réfléchie," l’automatisation est le résultat d’un travail qui allie
compréhension, raisonnement , explications et entraînement."(1)
Mise en œuvre
On trouve très peu d’informations dans les programmes de l’école primaire sur la mise en oeuvre de ce type de séances. Le document d’accompagnement relatif au calcul mental (1) précise surtout les contenus. Il recommande des séances courtes et journalières. Qu’en est-il dans la pratique des professeurs des écoles depuis le début de la réforme des programmes? Nous n’avons pas d’information à ce sujet.
Les échanges qui ont eu lieu lors du stage on fait apparaître que très peu d’enseignants
pratiquaient des séances régulières de calcul mental au collège, la raison la plus souvent avancée est le manque de temps, l’horaire consacré aux mathématiques étant jugé déjà insuffisant.
Ceux qui en organisent régulièrement en semblent satisfaits, que ce soit sous la forme de courtes séances en travail collectif ou en travail autonome comme le propose l’académie
d’Orléans Tours (6).La plupart des nouveaux manuels de 6ème proposent également dans tous les chapitres des exercices à résoudre mentalement.
Le travail réalisé à l’IREM de Limoges a été présenté afin d’apporter une aide à la construction et à la gestion de ce type de séances dans chaque thème de travail proposé lors de ce stage.
Les points suivants ont été abordés:
Progression:
Il semble nécessaire d’avoir une progression annuelle spécifique au calcul mental qui soutienne l’apprentissage en cours, pour préparer, entretenir et consolider les connaissances. Ainsi qu’un répertoire sur les contenus incontournables à chaque niveau de classe du collège. Le document d’accompagnement sur le calcul au collège qui doit paraître d’ici l’application des nouveaux programmes abordera peut-être le sujet.
Types de taches:
Si les plus courantes concernent un travail sur la technique à travers des questions fermées sur du calcul numérique, on peut envisager également des QCM ou des taches de jugement (Vrai/ Faux) en calcul réfléchi.
Le calcul numérique n’est pas le seul support possible, le calcul algébrique, la géométrie, les changements de cadre (numérique, algébrique ou graphique) s’y prêtent aussi bien. On peut trouver en fait dans tous les thèmes d’étude abordés dans un programme des occasions de pratiquer du "calcul" mental. Il serait peut-être plus judicieux de parler alors de "traitement"
mental.
Déroulement:
Les travaux de D Butlen (5) et F Boule(4) nous ont amené à organiser les séances de calcul mental en trois temps:
La phase d ’ échauffement , très brève, pour mettre les élèves en condition d’écoute et de
concentration, ne présentant aucune difficulté technique pour permettre un démarrage de tous les élèves.
La phase d ’ automatisation , avec des calculs simples, en jouant sur les différentes variables en jeu, elle fait appel à des connaissances ou des procédures qui doivent être directement disponibles et rappelées éventuellement pendant la correction.
La phase de calcul réfléchi , plus complexe, où plusieurs procédures sont possibles , la correction permettra de les confronter et de faire apparaître éventuellement la plus adaptée.
Exemple de séance en 6ème:
Echauffement: le jeu du furet avec la table de 5,on interroge un élève au hasard pour chaque produit demandé oralement (dans l’ordre ou non) .
Automatisation: 2x25 ; 4x24; 5x25
Décomposer 32 en un produit de deux nombres…
Calcul réfléchi: 12x25
Modalités
Il est important de savoir varier la gestion de la séquence pour choisir à chaque fois la plus adaptée.
L’énoncé peut être oral ou écrit, écrit persistant ou temporaire.
On peut aussi envisager l’utilisation d’un rétro projecteur, d’ un vidéo projecteur ou d’une salle multi média.
Les réponses également peuvent être écrites ou orales, avec la possibilité d’un écrit intermédiaire pour soulager la mémoire de travail.
Enfin la correction et l’institutionnalisation éventuelles des procédures doivent être pensées.
Exemples de séances en classe de 6
ème.
Calcul mental
Multiplication des décimaux : exemple de séance de préparation
Niveau : 6ème Durée : pas plus de 10min (non testé)
Texte :
échauffement automatisation Calcul réfléchi
Réciter la table de 5 2×25
4×25 2×50 4×50
8×25 6×50 4×7×25 2×19×50
Objectifs :
↔se familiariser avec les tables de 25 , 50, …
↔ utiliser la commutativité et l’associativité de la multiplication d’entiers
Modalités Pour l ’ échauffement
tout se fait
oralement .plusieurs modalités sont envisageables ex: jeu du furet.
Pour l ’ automatisation , les questions sont posées oralement et les réponses sont écrites.
Pour le calcul réfléchi, un énoncé temporaire est prévu pour les deux premiers produits et un énoncé
subsistant pour les deux produit de trois facteurs.
Les réponses sont écrites.
Commentaires :
↔ce type de séance est proposée en préparation de l’introduction de la multiplication des décimaux.
↔la gestion de la correction est à voir: la séance est à tester.
Calcul mental
Multiplication des décimaux: 2ème séquence :travail de la technique
: 6ème : pas plus de 10 min (non testé)
échauffement automatisation calcul réfléchi
Réciter la table de 2 ou de 10
50 2.1×10 25 4.6×100
×8 5.21×10 50
×2.5
×25
×50
Objectifs :
utiliser la commutativité et l’associativité de la
multiplication sur des décimaux. Modalités
les parties échauffement et automatisation sont envisagée uniquement oralement
La partie calcul réfléchi avec des énoncés temporaires et une réponse écrite.
Commentaires :
Ce type de séance est envisagé pendant l’apprentissage de la multiplication des décimaux en classe.
la gestion de la correction est à voir, surtout pour la troisième partie, se fait -elle oralement en confrontant les différentes stratégies utilisées par les élèves? ou quelles traces écrites envisager pour rester dans le temps prévu?
Calcul mental
Multiplication des décimaux : troisième séquence, travail de la technique
Niveau :6ème Durée : pas plus de 10min (non testé)
Texte :
échauffement automatisation Calcul réfléchi
Répondre par VRAI ou FAUX aux questions
suivantes:
5.8×10 = 50.8 32×100 = 0.32 2.3×10 = 23.0 1.25×100 = 125
calculer 0.4×2.5 0.7×8 8×0.5 0.7×0.8
On sait que : 23×451 = 10373 Calculer:
2.3×451 23×4.51 2.3×45.1 0.23×0.451 Objectifs
↔apprendre à placer rapidement la virgule dans des multiplications de décimaux.
Modalités
Conclusion :
Des raisons pour organiser des séances de
calcul mental dans nos classes. Les difficultés rencontrées et les questions qui se posent.
Aide à la concentration, à la mémorisation, à l’acquisition de nouvelles connaissances.
Indispensable pour le calcul posé.
Moyen privilégié de contrôle.
Moyen pour lier raisonnement et calcul.
Aide à la résolution de problèmes.
L’évaluation des effets à long terme.
Les exigences de rédaction dans d’autres situations demandent à être explicitées.
La durée des séances: ne pas dépasser 5 à 10 min n’est pas toujours possible.
Jusqu’où prendre en charge la mémorisation en classe avec des élèves plus âgés ?
Textes ou sites à consulter:
(1) Programme d’enseignement de l’école primaire, en particulier les documents d’accompagnement:Le calcul mental et Articulation Ecole \ Collège.
(2) Texte de la commission Kahane sur l’enseignement du calcul (3) Texte de l’inspection générale " Le calcul au collège"
(4) Boule F Le calcul mental à l’école, IREM de Bougogne,1997/98 (5) Butlen, D Calcul mental, calcul rapide, IREM de Paris VII, 1987 (6) Le site de l’académie d’Orléans Tours
http://www.ac-orleans-tours.fr/math-2/college/calcul-mental/
(7) Les logiciels SMAO.
