MATHS 1

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SUITES NUMERIQUES CORRIGES

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1. GENERALITES

Exercice 1.1

Calculer les cinq premiers termes des suites

( )

uⁿ n

∈ℕ définies ci-dessous :

a. ₂ 1

n 1 u n

n

= +

+ b. ⁰

1

1

n 2 n

u u ₊ u

=



 = c. ¹

1

2

2 1

n n

u u ₊ u

= −



= +

 d. un = n²+1 e. un =2ⁿ

a. _{0 1 2} 3 ₃ 2 ₄ 5

1 ; 1 ; ; ;

5 5 17

u = u = u = u = u =

b. u₀ =1 ; u₁=2 ; u₂ =4 ; u₃=8 ; u₄=16

c. ₀ 3 _{1 2 3 4}

; 2 ; 3 ; 5 ; 9

2

u =− u = − u = − u = − u = −

d. u₀ =1 ; u₁= 2 ; u₂= 5 ; u₃= 10 ; u₄= 17 e. u₀=1 ; u₁=2 ; u₂=4 ; u₃=8 ; u₄=16

Exercice 1.2

On considère la suite

( )

uⁿ n

∈ℕ définie par un = − +3n 5. Donner les expressions de : a. u_n+1 b. u_n+1 c. u_2n+1 d. un2

a. un₊1= −3

(

n+ + = − +1

)

5 3n 2 b. un+ = − + + = − +1 3n 5 1 3n 6 c. u2n₊1= −3 2

(

n+ + = − +1

)

5 6n 2 d. 2

3 2 5 un = − n +

Exercice 1.3

On considère la suite

( )

uⁿ n

∈ℕ définie par un = +n² 2n.

1) Calculer ses cinq premiers termes. Que pensez-vous du sens de variation de cette suite ?

0 0 ; 1 3 ; 2 8 ; 3 15 ; 4 24

u = u = u = u = u = . Il semble que cette suite soit croissante.

2) Déterminer un₊₁−un en fonction de n, puis justifier le sens de variation de cette suite.

( )

²

( ) (

²

)

²

(

²

)

1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 3

n n

u u n n n n n n n n n n

+ − = + + + − + = + + + + − + = + . Cette différence étant

strictement positive pour tout entier naturel n, la suite est donc strictement croissante.

2. SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES

Exercice 2.1

Le 01/01/2018, un journal compte 12000 abonnés. Le service des abonnements a noté que, chaque mois, 1000 abonnements arrivent à échéance, dont 750 sont renouvelés ; de plus, 320 nouveaux abonnements sont souscrits. On note u_n le nombre d’abonnés n mois après le 01/01/2018 (donc

0 12000

u = ).

1) Donner les valeurs de u₁, u₂, u₃ et u₄. Décrire la suite u. Chaque mois, le nombre d’abonnés augmente de 320 – 250 = 70.

1 12070, 2 12140, 3 12210 et 4 12280

u = u = u = u = .

La suite est arithmétique, de raison 70.

2) Calculer directement le nombre d’abonnés prévisible au 01/01/2020.

Il s’est écoulé 24 mois depuis le 01/01/2018. u₂₄ =u₀+24 70× =13680.

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SUITES NUMERIQUES CORRIGES

2 Exercice 2.2

Un village comptait 3123 habitants en 2000. Ce nombre a diminué de 12% tous les ans. On note hn le nombre d’habitants de l’année 2000+n.

1) Donner les valeurs de h₀ et h₁ (arrondie à l’entier).

0 3123

h = et %

1 3123 12 3123 2748

h = − × ≈ .

2) Justifier que la suite

( )

^hn est géométrique et donner sa raison.

Diminuer une valeur de 12%, c’est la multiplier par 0,88. La suite

( )

^hn est géométrique de raison0,88.

3) Calculer h₆.

6

6 3123 0,88 1450

h = × ≈

4) En quelle année le nombre d’habitants a-t-il diminué des deux tiers par rapport à 2000 ? Cela s’est produit lorsqu’il est resté moins d’un tiers des 3123 habitants, soit moins de 1041.

Grâce à la formule employée en question précédente, on s’aperçoit que h₈=3123 0,88× ⁸ ≈1123 et

9 9 3123 0,88 988

h = × ≈ . C’est dans la 9^ème année que cela s’est produit, donc en 2009.

Exercice 2.3

On considère la suite

( )

uⁿ n

∈ℕ définie par ⁰

1

1

n 1 2 n

u

u ₊ u

=



 = + .

1) Donner les valeurs de u₁, u₂, u₃ et u₄.

1 3, 2 7, 3 15 et 4 31 u = u = u = u =

2) La suite

( )

^un est-elle arithmétique ? géométrique ?

La différence u_n+1−u_n n’est pas constante, donc la suite n’est pas arithmétique.

Le rapport ^{n 1}

n

u u

+ n’est pas constant, donc la suite n’est pas géométrique.

3) On considère la suite

( )

vⁿ n

∈ℕ définie par v_n=u_n+1. Montrer que la suite

( )

^vn est géométrique et donner sa raison.

1 1 1 1 2 1 2 2

1 1 1 2

n n n n

n n n n

v u u u

v u u u

+ = + + = + + = + =

+ + + . Cette suite est géométrique de raison 2.