Electronique numérique
- Travaux Dirigés -
Sujet n°1 : "Fonctions logiques, tables de vérité, algèbre booléenne, simplification des fonctions logiques"
Exercice 1 (propositions logiques)
Exprimer par une proposition logique que 1) Les variables A, B, C, D sont toutes égales à 1 2) Toutes les variables A, B, C, D sont nulles
3) Au moins l’une des variables A, B, C, D est égale à 1 4) Au moins l’une des variables A, B, C, D est égale à 0 Solution
1) A.B.C.D=1 2) A+B+C+D=0 3) A+B+C+D=1 4) A.B.C.D=0
Exercice 2 (valeurs d’une fonction logique)
Soit la fonction logique suivante, de 4 variables A, B, C et D :
) D C B A ).(
D C B A ).(
D C B A ( ) D , C , B , A (
f = + + + + + + + + +
Indiquer pour quelles valeurs des variables d’entrée la fonction vaut 0 Réponses
1) La fonction vaut 0 si un seul des termes du produit vaut 0. Chacun des termes du produit vaut 0 si tous les termes de sa somme valent 0. Donc f vaut 0 pour l’une des 3 combinaisons suivantes :
0 D
; 0 C
; 0 B
; 0 .
A = = = =
0 D
; 1 C
; 1 B
; 0 .
A = = = =
1 D
; 1 C
; 1 B
; 1 .
A = = = =
Exercice 3 (valeurs d’une fonction logique, table de vérité et simplification de fonction)
1) Soit F(A,B,C)=A.B+A.B.C+A.C Que valent F(0,1,1), F(1,1,0) et F(1,0,0) ?
2) Vérifier la propriété d’absorption du complément, à l’aide des tables de vérités des 2 fonctions à gauche et à droite du signe = de la relation :
B A B B .
A + = +
3) Soit F(A,B,C)=A.B+A.B+A.C
En précisant à chaque fois les propriétés utilisées, montrer que F(A,B,C)=A 4) Soit F(A,B,C)=A.B.C+A.B.C+A.B.C+A.B.C+A.B.C
En précisant à chaque fois les propriétés utilisées, montrer que F(A,B,C)=A+B.C
Solutions
1) F(0,1,1)=0 ; F(1,1,0)=1 ; F(1,0,0)=1 2)
A B A.B+B A+B 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1
3) F(A,B,C)=A.B+A.B+A.C=A.(B+B)+A.C=A+A.C=A.(1+C)=A
4) F(A,B,C)=A.B.C+A.B.C+A.B.C+A.B.C+A.B.C=A.B.C+A.B.(C+C)+A.B.(C+C) A
.C B A .C B . A ) B B .(
A .C B . A B . A B A.
.C B .
A + + = + + = + = +
= Exercice
Déterminer la forme somme-de-produit (ou disjonctive) standard (ou canonique) suivante :
D . C . B . A . B .
A +
Solution
Il faut faire apparaître les variables C et D dans le 1er terme. On le multiplie d’abord par C
C+ :
C ..
B ..
A C . B ..
A ) C C (.
B ..
A B ..
A = + = +
Puis on multiplie chacun des 2 termes résultants par D+D :
) D D ( C . B ..
A ) D D ( C . B ..
A C ..
B ..
A C . B ..
A + = + + +
D . C . B ..
A D . C . B ..
A D . C . B ..
A D . C . B ..
A + + +
Finalement : =
D . C . B . A D . C . B ..
A D . C . B ..
A D . C . B ..
A D . C . B ..
A D . C . B . A . B .
A + = + + + +
Exercice 4 (table de vérité)
Déterminez les valeurs binaires des variables A, B et C pour lesquelles la somme de produits standard suivante est égale à 1 :
. C . B . A . C . B . A
ABC+ +
En déduire la table de vérité de cette fonction.
Solution
Le 1er terme de la somme est égal à 1 si
A=1, B=1 et C=1 Le 2e terme est égal à 1 si
A=1, B=0 et C=0 Le 3e terme est égal à 1 si
A=0, B=0 et C=0
La somme est égale à 1 si au moins 1 des 3 termes est à 1. La table de vérité comporte donc en sortie trois 1 (aux combinaisons des entrées décrites ci-dessus), des 0 partout ailleurs.
Exercice 5 (simplification de fonctions logiques)
En utilisant l’algèbre booléenne, simplifier les expressions suivantes (en les mettant sous forme somme-de-produits) :
C ] B . A BD) (C B [A.
F1= + + F5 =A.BC+(A+B+C)+A.B.C.D BC
A .C B A.
C . B . A C . B A .BC A
F2 = + + + + F6 =ABCD+AB(CD)+(AB)CD .C
B . A + C A AB
F3= + F7 =ABC(AB+C(BC+AC))
F) (D D E) B(D BD
F4 = + + + + F8 =(B+BC)(B+B.C)(B+D)
Solution
C ] B . A BD) (C B [A.
F1= + + =[A.BC+A.BBD+A.B]C=[A.BC+A.0.D+A.B]C C
] B . A 0 C B [A. + +
= =[A.BC+A.B]C =A.BCC+A.BC =A.BC+A.BC C
B .).
A A ( +
= =.B.C BC
A .C B A.
C . B . A C . B A .BC A
F2 = + + + + =A.BC+(A+A)B.C+A.B.C+ABC BC
A .C B A.
C . B .BC
A + + +
= =(A+A).BC+B.C+A.B.C =BC+B.C+A.B.C A.C)
C .(
B BC+ +
= =BC+B.(C+A) =.B.C+A.B+B.C .C
B . A + C A AB
F3= + =AB.AC+A.B.C=(A+B).(A+C )+A.B.C .C
B . A + C . B C . A . A . B A .
A + + +
= =A.+B.A+.A.C+B.C+A.B.C .C
B . A + C . B C . A . .
A+ +
= =A.+B.C+A.B.C=A.+B.C F)
(D D E) B(D BD
F4= + + + + =BD+BD+BE+DD+DF=BD+BE+DD+DF F
D E B BD+ +
= D . C . B . A ) C B A ( C B . A
F5 = + + + + =A.BC+A.B.C+A.B.C.D =A.BC+A.B.C+A.B.C.D D
. C . B . A C B .
A +
= =A.B.(C+C.D) =A.B.(C+D) =A.B.C+A.B.D CD
) AB ( ) CD ( AB BCD A
F6 = + + =AB(CD+CD)+(AB)CD =AB+(AB)CD =AB+CD ))
AC BC ( C AB ( BC A
F7 = + + =ABC(AB+C.C(B+A))=ABC(AB) =ABC )
D B )(
C . B B )(
BC B (
F8 = + + + =B(B+C)(B+D)=(BB+BC)(B+D)=(B+BC)(B+D) )
D B ( B +
= =BB+BD=B+BD=B
BCD BC+
= =BC
Exercice 6 (table de vérité, forme somme-de-produits et produit-de-sommes) Soit F(x,y,z) définie par sa table de vérité :
x y z F(x,y,z)
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
Donner la forme canonique (ou standard) conjonctive et disjonctive de F.
Solution
1) Forme disjonctive : on regarde les lignes où F vaut 1 ; chacune de ces lignes se traduira par un produit des 3 variables x, y, et z ou de leur complément. S’il y a un 1 dans la colonne de la variable correspondante, on écrit la variable telle quelle dans le produit. S’il y a un 0 on la complémente.
z . y z ..
x z . y . x z . y . x z . y . x z . y . x z) y,
F(x, = + + + = +
2) Forme conjonctive : on considère les 0 de la sortie de la table de vérité et non plus les 1. Il y a donc 4 termes :
) z y x ).(
z y x ).(
z y x ).(
z y . x ( z) y,
F(x, = + + + + + + + +
On peut simplifier la fonction par utilisation de la règle de distributivité de la somme par rapport au produit. Rappel :
) C . A ).(
B . A ( BC .
A + = + +
D’où
) z y x ).(
z y x ).(
z y x ).(
z y . x ( z) y,
F(x, = + + + + + + + +
) z y x )(
y z yy . xy x . z x y x x ( ) z y x ).(
y x ).(
z y . x
( + + + + + = + + + + + + +
=
yz y . x . z x y x . z yz z x . z y . x . z x y x . z ) z y x )(
y x . z
( + + + = + + + + = + + +
=
yz x . z yz x y x .
z + + = +
=
La dernière égalité utilise le théorème du consensus.
Exercice
Simplifier les équations logiques suivantes par la méthode algébrique : )
B A )(
B A )(
B A (
S1= + + +
D . B ) D C D . C . B ( A A
S2 = + + + +
AC D . C . B CD A C . B . A C AB
S3 = + + + +
Solutions
) B A ).(
0 B . A A . B 0 ( ) B A ).(
B . B B . A A . B A . A ( ) B A )(
B A )(
B A (
S1= + + + = + + + + = + + + +
0 . A B . B . A B . A . A 0 . B B . B . A B . A . B A . B . A A . A . B ) B A ).(
B . A A . B
( + + = + + + = + + +
=
B . A B . A B . 0 B . A B . A .
A + = + =
=
D B ) D C . B ( A A D B ) D C D . B ( A A D B ) D C D . C . B ( A A
S2= + + + + = + + + + = + + + +
D B D C . B A D B D . A C . A . B A D B D . A C . A . B . A
A+ + + + = + + + + = + + + +
=
D C A B D C . B
A+ + + + = + + S3 est déjà simplifiée. =
Exercice 7 (simplification de fonctions)
Calculer les compléments des fonctions suivantes : )
b a )(
b a (
F1= + +
) d c b )(
c a ( ) d c ( a
F2 = + + + + +
) c b bc ( a c b a c b a
F3 = + + +
Solutions
b . a b . a b . a b . a b a b a ) b a )(
b a (
F1= + + = + + + = + = +
) d c b )(
c a (.
) d c ( a ) d c b )(
c a ( ) d c ( a
F2 = + + + + + = + + + +
) d c b c a ).(
d c a ( ) d c b )(
c a ( ).
d c a ( ) d c b )(
c a (.
ad
ac+ + + + = + + + + + = + + + + + +
=
d . c . b . d . c d . c . b . a c . a . d . c c . a . a ) d . c . b c ..
a ).(
d . c a ( ) d . c . b c . a ).(
d . c a
( + + = + + = + + +
=
d . c . b c . a . d d . c . b d . c . b . a c . a .
d + + = +
=
Exercice 8 (simplification de fonctions)
Mettre les fonctions logiques suivantes sous forme disjonctive simplifiée.
0 2 5 0 2 4 1 2 4 0 2 5 1 2 4 5 4 2 5
1 xx x x x x x x x x x x x x x x x x x
y = + + + + +
) ) x x ( x ).(
x x (
y2= 3 2 3 2+ 1
(
3 1) (
2 1) (
3 2 1)
3 2 13 x x x x x x x xx x
y = + + + + +
Solution
Le principe est de réduire la longueur des barres, en partant par les plus grandes.
0 2 5 0 2 4 1 2 4 0 2 5 1 2 4 5 2 4 5
1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
y = + + + + +
0 2 4 1 2 4 0 2 5 5 1 2 4 5 2 4
5 x).x x x x x (x x)x x x x x x x x
x
( + + + + + +
=
1 2 4 4 0 2 1 5 2 4 2 5 0 2 4 1 2 4 0 2 1 2 4 5 2 4 2
5.x x.x x xx x x x x xx x x x x.x x.x.(1 x.x) x x(1 x) x xx
x + + + + + = + + + + +
=
0 2 2 4 2 5 0 2 1 2 4 2 5 1 2 4 0 2 2 4 2
5.x x.x x x xx x x.x x.x (1 x) x x x.x x.x xx
x + + + = + + + = + +
=
1 3 2 3 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 2 3
2 (xx ).(x (x x)) x x x(x x) x x x(x x) x x x x xx
y = + = + + = + + = + +
(
3 1) (
2 1) (
3 2 1)
3 2 1(
3 2 1 2 3 1 1 1)(
3 2 1)
3 2 13 x x x x x x x xxx xx xx xx xx x x x xxx
y = + + + + + = + + + + + +
(
x3x2+x1x2+x3x1+x1x1)(
x3+x2+x1)
..x3x2x1=(
x3x2+x1x2+x3x1+x1x1)(
x3+x2+x1)
.( )
x3x2x1=
( (
x3x2+x1x2+x3x1+x1x1)
+(
x3+x2+x1) )( )
.x3x2x1 =( (
x3x2+x1x2+x3x1+x1x1) (
+ x3x2.x1) )(
x3+x2+x1)
=
(
x3x2+x1x2+x3x1+x1x1+x3x2.x1)(
x3+x2+x1)
=
(
x3x2+x1x2+x3x1+x3x2.x1)(
x3+x2+x1)
=
1 1 2 3 1 1 3 1 2 1 1 2 3 2 1 2 3 2 1 3 2 2 1 2 2 3 3 1 2 3 3 1 3 3 2 1 3 2
3xx xx x xxx xx.x.x xxx xxx xxx xx.xx xxx xxx xxx xx.x.x
x + + + + + + + + + + +
=
1 2 3 2
1 1 2 3 2
1 3 2 1 2 3 3
2
1x x 0 0 x x xx xxx 0 xx x xx 0 x x.x
x
0+ + + + + + + + + + +
=
1 2 3 2 1 1 2 3 2 1 3 2 1 2 3 3 2
1x x xx xx xxx xx x xx xx.x
x + + + + + +
=
2 1 2 3x xx
x +
=
Exercice 9 : Principe de dualité
Vérifier l’application du principe de dualité aux propositions logiques suivantes : 1) A+1=1
2) A+A.B=A+B
3) A+B=1 est vrai si A=1 ou B=1