Electronique numérique - Travaux Dirigés - Sujet n°1 : "

Electronique numérique

- Travaux Dirigés -

Sujet n°1 : "Fonctions logiques, tables de vérité, algèbre booléenne, simplification des fonctions logiques"

Exercice 1 (propositions logiques)

Exprimer par une proposition logique que 1) Les variables A, B, C, D sont toutes égales à 1 2) Toutes les variables A, B, C, D sont nulles

3) Au moins l’une des variables A, B, C, D est égale à 1 4) Au moins l’une des variables A, B, C, D est égale à 0 Solution

1) A.B.C.D=1 2) A+B+C+D=0 3) A+B+C+D=1 4) A.B.C.D=0

Exercice 2 (valeurs d’une fonction logique)

Soit la fonction logique suivante, de 4 variables A, B, C et D :

) D C B A ).(

D C B A ).(

D C B A ( ) D , C , B , A (

f = + + + + + + + + +

Indiquer pour quelles valeurs des variables d’entrée la fonction vaut 0 Réponses

1) La fonction vaut 0 si un seul des termes du produit vaut 0. Chacun des termes du produit vaut 0 si tous les termes de sa somme valent 0. Donc f vaut 0 pour l’une des 3 combinaisons suivantes :

0 D

; 0 C

; 0 B

; 0 .

A = = = =

0 D

; 1 C

; 1 B

; 0 .

A = = = =

1 D

; 1 C

; 1 B

; 1 .

A = = = =

Exercice 3 (valeurs d’une fonction logique, table de vérité et simplification de fonction)

1) Soit F(A,B,C)=A.B+A.B.C+A.C Que valent F(0,1,1), F(1,1,0) et F(1,0,0) ?

2) Vérifier la propriété d’absorption du complément, à l’aide des tables de vérités des 2 fonctions à gauche et à droite du signe = de la relation :

B A B B .

A + = +

3) Soit F(A,B,C)=A.B+A.B+A.C

En précisant à chaque fois les propriétés utilisées, montrer que F(A,B,C)=A 4) Soit F(A,B,C)=A.B.C+A.B.C+A.B.C+A.B.C+A.B.C

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En précisant à chaque fois les propriétés utilisées, montrer que F(A,B,C)=A+B.C

Solutions

1) F(0,1,1)=0 ; F(1,1,0)=1 ; F(1,0,0)=1 2)

A B A.B+B A+B 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1

3) F(A,B,C)=A.B+A.B+A.C=A.(B+B)+A.C=A+A.C=A.(1+C)=A

4) F(A,B,C)=A.B.C+A.B.C+A.B.C+A.B.C+A.B.C=A.B.C+A.B.(C+C)+A.B.(C+C) A

.C B A .C B . A ) B B .(

A .C B . A B . A B A.

.C B .

A + + = + + = + = +

= Exercice

Déterminer la forme somme-de-produit (ou disjonctive) standard (ou canonique) suivante :

D . C . B . A . B .

A +

Solution

Il faut faire apparaître les variables C et D dans le 1^er terme. On le multiplie d’abord par C

C+ :

C ..

B ..

A C . B ..

A ) C C (.

B ..

A B ..

A = + = +

Puis on multiplie chacun des 2 termes résultants par D+D :

) D D ( C . B ..

A ) D D ( C . B ..

A C ..

B ..

A C . B ..

A + = + + +

D . C . B ..

A D . C . B ..

A D . C . B ..

A D . C . B ..

A + + +

Finalement : =

D . C . B . A D . C . B ..

A D . C . B ..

A D . C . B ..

A D . C . B ..

A D . C . B . A . B .

A + = + + + +

Exercice 4 (table de vérité)

Déterminez les valeurs binaires des variables A, B et C pour lesquelles la somme de produits standard suivante est égale à 1 :

. C . B . A . C . B . A

ABC+ +

En déduire la table de vérité de cette fonction.

Solution

Le 1^er terme de la somme est égal à 1 si

A=1, B=1 et C=1 Le 2^e terme est égal à 1 si

A=1, B=0 et C=0 Le 3^e terme est égal à 1 si

A=0, B=0 et C=0

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La somme est égale à 1 si au moins 1 des 3 termes est à 1. La table de vérité comporte donc en sortie trois 1 (aux combinaisons des entrées décrites ci-dessus), des 0 partout ailleurs.

Exercice 5 (simplification de fonctions logiques)

En utilisant l’algèbre booléenne, simplifier les expressions suivantes (en les mettant sous forme somme-de-produits) :

C ] B . A BD) (C B [A.

F₁= + + ^F₅ =^A.BC+^(A+^B+^C)+^A.B.C.D BC

A .C B A.

C . B . A C . B A .BC A

F₂ = + + + + F₆ =ABCD+AB(CD)+(AB)CD .C

B . A + C A AB

F₃= + F₇ =ABC(AB+C(BC+AC))

F) (D D E) B(D BD

F₄ = + + + + F₈ =(B+BC)(B+B.C)(B+D)

Solution

C ] B . A BD) (C B [A.

F₁= + + =^[A.BC+^A.BBD+^A.B]C=[A.BC+A.0.D+A.B]C C

] B . A 0 C B [A. + +

= =[A.BC+A.B]C =A.BCC+A.BC =A.BC+A.BC C

B .).

A A ( +

= =.B.C BC

A .C B A.

C . B . A C . B A .BC A

F₂ = + + + + =^A.BC+^(A+^A)B.C+^A.B.C+^ABC BC

A .C B A.

C . B .BC

A + + +

= =^(A+^A).BC+^B.C+^A.B.C =BC+B.C+A.B.C A.C)

C .(

B BC+ +

= =BC+B.(C+A) =.B.C+A.B+B.C .C

B . A + C A AB

F₃= + =AB.AC+A.B.C=^(A+^B).(A+^{C )+A.B.C} .C

B . A + C . B C . A . A . B A .

A + + +

= =A.+B.A+.A.C+B.C+A.B.C .C

B . A + C . B C . A . .

A+ +

= =A.+B.C+A.B.C=A.+B.C F)

(D D E) B(D BD

F₄= + + + + =^BD+^BD+^BE+^DD+^DF=BD+BE+DD+DF F

D E B BD+ +

= D . C . B . A ) C B A ( C B . A

F₅ = + + + + =A.BC+A.B.C+A.B.C.D =A.BC+A.B.C+A.B.C.D D

. C . B . A C B .

A +

= =^A.B.(C+^C.D) =A.B.(C+D) =A.B.C+A.B.D CD

) AB ( ) CD ( AB BCD A

F₆ = + + =AB(CD+CD)+(AB)CD =AB+(AB)CD =AB+CD ))

AC BC ( C AB ( BC A

F₇ = + + =^ABC(AB+^C.C(B+^A))=ABC(AB) =ABC )

D B )(

C . B B )(

BC B (

F₈ = + + + =^B(B+^C)(B+^D)=(BB+BC)(B+D)=(B+BC)(B+D) )

D B ( B +

= =BB+BD=B+BD=B

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BCD BC+

= =BC

Exercice 6 (table de vérité, forme somme-de-produits et produit-de-sommes) Soit F(x,y,z) définie par sa table de vérité :

x y z F(x,y,z)

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

Donner la forme canonique (ou standard) conjonctive et disjonctive de F.

Solution

1) Forme disjonctive : on regarde les lignes où F vaut 1 ; chacune de ces lignes se traduira par un produit des 3 variables x, y, et z ou de leur complément. S’il y a un 1 dans la colonne de la variable correspondante, on écrit la variable telle quelle dans le produit. S’il y a un 0 on la complémente.

z . y z ..

x z . y . x z . y . x z . y . x z . y . x z) y,

F(x, = + + + = +

2) Forme conjonctive : on considère les 0 de la sortie de la table de vérité et non plus les 1. Il y a donc 4 termes :

) z y x ).(

z y x ).(

z y x ).(

z y . x ( z) y,

F(x, = + + + + + + + +

On peut simplifier la fonction par utilisation de la règle de distributivité de la somme par rapport au produit. Rappel :

) C . A ).(

B . A ( BC .

A + = + +

D’où

) z y x ).(

z y x ).(

z y x ).(

z y . x ( z) y,

F(x, = + + + + + + + +

) z y x )(

y z yy . xy x . z x y x x ( ) z y x ).(

y x ).(

z y . x

( + + + + + = + + + + + + +

=

yz y . x . z x y x . z yz z x . z y . x . z x y x . z ) z y x )(

y x . z

( + + + = + + + + = + + +

=

yz x . z yz x y x .

z + + = +

=

La dernière égalité utilise le théorème du consensus.

Exercice

Simplifier les équations logiques suivantes par la méthode algébrique : )

B A )(

B A )(

B A (

S₁= + + +

D . B ) D C D . C . B ( A A

S₂ = + + + +

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AC D . C . B CD A C . B . A C AB

S₃ = + + + +

Solutions

) B A ).(

0 B . A A . B 0 ( ) B A ).(

B . B B . A A . B A . A ( ) B A )(

B A )(

B A (

S₁= + + + = + + + + = + + + +

0 . A B . B . A B . A . A 0 . B B . B . A B . A . B A . B . A A . A . B ) B A ).(

B . A A . B

( + + = + + + = + + +

=

B . A B . A B . 0 B . A B . A .

A + = + =

=

D B ) D C . B ( A A D B ) D C D . B ( A A D B ) D C D . C . B ( A A

S₂= + + + + = + + + + = + + + +

D B D C . B A D B D . A C . A . B A D B D . A C . A . B . A

A+ + + + = + + + + = + + + +

=

D C A B D C . B

A+ + + + = + + S3 est déjà simplifiée. =

Exercice 7 (simplification de fonctions)

Calculer les compléments des fonctions suivantes : )

b a )(

b a (

F₁= + +

) d c b )(

c a ( ) d c ( a

F₂ = + + + + +

) c b bc ( a c b a c b a

F₃ = + + +

Solutions

b . a b . a b . a b . a b a b a ) b a )(

b a (

F₁= + + = + + + = + = +

) d c b )(

c a (.

) d c ( a ) d c b )(

c a ( ) d c ( a

F₂ = + + + + + = + + + +

) d c b c a ).(

d c a ( ) d c b )(

c a ( ).

d c a ( ) d c b )(

c a (.

ad

ac+ + + + = + + + + + = + + + + + +

=

d . c . b . d . c d . c . b . a c . a . d . c c . a . a ) d . c . b c ..

a ).(

d . c a ( ) d . c . b c . a ).(

d . c a

( + + = + + = + + +

=

d . c . b c . a . d d . c . b d . c . b . a c . a .

d + + = +

=

Exercice 8 (simplification de fonctions)

Mettre les fonctions logiques suivantes sous forme disjonctive simplifiée.

0 2 5 0 2 4 1 2 4 0 2 5 1 2 4 5 4 2 5

1 xx x x x x x x x x x x x x x x x x x

y = + + + + +

) ) x x ( x ).(

x x (

y₂= _{3 2 3 2}+ ₁

(

) ⁽

⁾ (

)

3 x x x x x x x xx x

y = + + + + +

Solution

Le principe est de réduire la longueur des barres, en partant par les plus grandes.

0 2 5 0 2 4 1 2 4 0 2 5 1 2 4 5 2 4 5

1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

y = + + + + +

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0 2 4 1 2 4 0 2 5 5 1 2 4 5 2 4

5 x).x x x x x (x x)x x x x x x x x

x

( + + + + + +

=

1 2 4 4 0 2 1 5 2 4 2 5 0 2 4 1 2 4 0 2 1 2 4 5 2 4 2

5.x x.x x xx x x x x xx x x x x.x x.x.(1 x.x) x x(1 x) x xx

x + + + + + = + + + + +

=

0 2 2 4 2 5 0 2 1 2 4 2 5 1 2 4 0 2 2 4 2

5.x x.x x x xx x x.x x.x (1 x) x x x.x x.x xx

x + + + = + + + = + +

=

1 3 2 3 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 2 3

2 (xx ).(x (x x)) x x x(x x) x x x(x x) x x xx xx

y = + = + + = + + = + +

(

) ⁽

⁾ (

)

(

)(

)

3 x x x x x x x xxx xx xx xx xx x x x xxx

y = + + + + + = + + + + + +

(

)(

)

(

)(

)

( )

=

( (

)

(

) )( )

^{( (}

^{) (}

^{) )(}

⁾

=

(

)(

)

=

(

)(

)

=

1 1 2 3 1 1 3 1 2 1 1 2 3 2 1 2 3 2 1 3 2 2 1 2 2 3 3 1 2 3 3 1 3 3 2 1 3 2

3xx xx x xxx xx.x.x xxx xxx xxx xx.xx xxx xxx xxx xx.x.x

x + + + + + + + + + + +

=

1 2 3 2

1 1 2 3 2

1 3 2 1 2 3 3

2

1x x 0 0 x x xx xxx 0 xx x xx 0 x x.x

x

0+ + + + + + + + + + +

=

1 2 3 2 1 1 2 3 2 1 3 2 1 2 3 3 2

1x x xx xx xxx xx x xx xx.x

x + + + + + +

=

2 1 2 3x xx

x +

=

Exercice 9 : Principe de dualité

Vérifier l’application du principe de dualité aux propositions logiques suivantes : 1) A+1=1

2) A+A.B=A+B

3) A+B=1 est vrai si A=1 ou B=1

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