Exemple.
Joueur 2
D G
Joueur 1 H 1, -1 -1, 1
M -1, 1 1, -1
B -2, 5 -5, 2
Si je suppose que J2 joue D : je joue H Si je suppose que j2 joue G : Je joue M
Le principe
Un joueur ne jouera jamais une stratégie "perdante", offrant de piètres performances.
⇒ S’appuyer sur l’idée de dominance pour éliminer certaines stratégies en tant que choix possible.
Stratégie strictement dominée : il existe une autre stratégie qui offre un gain supérieur, quelque soit le choix des autres joueurs.
La stratégie N dans le DDP ou la stratégie B dans le jeu précédent.
Relation(s) de préférence : préférence stricte (>-) vs. indifférence (∼) et classement des stratégies ; comparaison par paire.
Une stratégie si domine une stratégie si’ dès lors que le paiement qu’obtient le joueur i en jouant si face a s-i est strictement supérieur au paiement obtenu en jouant si’ face a s-i :
Ui(si, s-i) > Ui (si’, s-i) J1 : Face à D : H > M > B (1 > -1 > -2)
Face à G : M > H > B (1 > -1 > -3)
B est toujours un mauvais choix, donc on peut l’éliminer. Face à la stratégie B, M est strictement préféré à B, même chose, M fait strictement mieux que B.
Le principe
Un joueur ne jouera jamais une stratégie "perdante", offrant de piètres performances.
⇒ S’appuyer sur l’idée de dominance pour éliminer certaines stratégies en tant que choix possible.
Stratégie strictement dominée : il existe une autre stratégie qui offre un gain supérieur, quelque soit le choix des autres joueurs.
La stratégie N dans le DDP ou la stratégie B dans le jeu précédent.
Relation(s) de préférence : préférence stricte (>-) vs. indifférence (∼) et classement des stratégies ; comparaison par paire.
Stratégie strictement dominée (SDE)
Definition
Une stratégie si ∈ Si est une stratégie strictement dominée pour le joueur i dans le jeu G = [N, {Si }, {ui }] s’il existe une autre stratégie sit ∈ Si telle que, pour tout s−i ∈ S−i ,
ui (sit, s−i ) > ui (si , s−i )
Dans ce cas, on dit que la stratégie st domine strictement si .
Un joueur rationnel ne jouera jamais ce type de stratégie.
Aucune croyance ne peut l’amener à penser que c’est une stratégie optimale.
Version "faible" de la définition
Définition
Une stratégie si ∈ Si est une stratégie faiblement dominée pour le joueur i dans le jeu G = [N, {Si }, {ui }] s’il existe une autre stratégie sit ∈ Si telle que, pour tout s−i ∈ S−i , ui (st, s−i ) ≥ ui (si , s−i ) et pour certains s−i ∈ S−i ui (st, s−i ) > ui (si , s−i )
i i
La stratégie sit
fait au moins aussi bien que si face à n’importe quel profil de stratégies des autres joueurs,
et fait strictement mieux que s−i face à certains profils.
(Faire au moins aussi bien = procurer un paiement au moins égal à.)
Commentaires
On dit que la stratégie sitdomine faiblement si .
Un joueur rationnel jouera si (stratégie faiblement dominée)si et seulement s’il est sûr que les profils face auxquels sit est meilleure ne se réaliseront jamais...
... Et ne la jouera pas s’il existe une probabilité non-nulle qu’ils se réalisent effectivement.
Exemple :
i i
i
i
i
i
i
J2
J1 D G
H 5,1 4,0
M 6,0 3,1
B 6,4 4,4
Face à D : B = M > H (6 = 6 > 5) Face à G : B = H >M
M et B, si J2 fait D, c’est pareil, mais si J2 fait G, B est meilleur. Donc M est faiblement dominée par B.
Même chose pour H, donc H est faiblement dominée par B.
De tout ça, on tire l’information que B est faiblement dominante, c.-à-d. qu’elle fait toujours aussi bien et dans certain cas mieux, que les autres stratégies.
Définition : Une stratégie ˜si est faiblement dominante pour le joueur i dans le jeu G si elle domine faiblement toutes les autres stratégies dans Si .
Exemples
Jeu de l’embauche :
Une entreprise (Es) doit décider d’embaucher définitivement ou pas un Employé (Em) à l’issue d’une période d’essai.
L’employé doit décider quelle stratégie adopter dans l’entreprise : travailler dur pour faire ses preuves ou bien en faire le moins possible.
Les joueurs : F et W.
Sf = (E, N) E = embaucher et N = ne pas embaucher Sw = (T, P) T = Travailler
Résultats : (E, T) ; (E, P) ; (N, T) ; (N, P)
Gains : (E, T) 2, 2 ; (E, P) (1, 3) ; (N, T) (0, 0) ; (N, P)
Employé
entreprise T P
E 2, 2 1,3
N 0, 0 0,0
Face à T : l’entreprise a intérêt à embaucher puisque 2 > 0 (E > N) Face à P : L’entreprise a intérêt à embaucher puisque 1 > 0 (E > N) Donc E est une stratégie strictement dominante.
Pour le salarié :
Face à E : il ferait mieux de jouer P parce que 3 > 2.
Face à N : je suis indifférent entre T et P.
Donc P est faiblement dominante.
Comme le salarié est capable de comprendre que l’entreprise est rationnelle, et qu’elle a une stratégie strictement dominante (E), elle n’a aucun intérêt de raisonner en fonction de (N), le salarié à juste a se demander quelle est la meilleure stratégie à adopter face à E, et ici cette stratégie c’est P.
Donc dans ce jeu au final, la solution sera (E, P) (1, 3).
Le principe
L’élimination des stratégies dominées : réduire l’ensemble des stratégies pouvant être jouées par des joueurs rationnels.
En général, insuffisant pour obtenir une prédiction claire de l’issue d’un jeu.
⇒ Pousser plus loin cette logique d’élimination des stratégies SDE.
Hypothèse : connaissance commune de la rationalité des joueurs.
Jeu du DDP étendu : troisième stratégie pour chaque prisonnier, s’enfuir.
J2 J1
C N F
C -3, -3 -1, -5 -3, -10
N -5, -1 -2, -2 0, -10
F -10, -3 -10, 0 -10, -10
Le jeu est symétrique, les deux joueurs ont le même type de stratégie, et des paiements transposables. Il y a 9 résultats possibles. On va se demander :
Pour le joueur 2 :
- Face à C : C > N > F - Face à N : C > N > F - Face à F : N > C > F
Raisonnement
Dans ce jeu, la stratégie N est meilleure que C seulement face à la stratégie F (−3 < 0).
Cependant, F est une stratégie SDE (strictement dominée pour le joueur 2) et ne peut être
"rationalisée" .
⇒ Aucun joueur rationnel ne peut former une croyance concernant le choix de son adversaire l’incitant à jouer F .
Si la rationalité est connaissance commune : J1 sait que J2 ne jouera jamais F , donc l’élimine de son raisonnement, idem pour J2.
Le joueur 2 est rationnel et sait que le joueur 1 est rationnel, autrement dit il sait quel est le classement des stratégies du joueur 1, il sait que le joueur 1 rationnel ne jouera jamais la stratégie F.
Reproduction de cette logique, étape après étape : Raisonnement itératif.
Si la rationalité des joueurs est connaissance commune, les seules stratégies que les joueurs seront susceptibles de jouer sont celles qui survivront à l’élimination itérative des stratégies SDE.
On reprend le jeu de départ :
J2 J1
C N F
C -3, -3 -1, -5 -3, -10
N -5, -1 -2, -2 0, -10
F -10, -3 -10, 0 -10, -10
Le joueur 1 :
- Face à C : C > N > F - Face à N : C > N > F - Face à F : N > C > F
Si J1 est rationnel, il ne jouera jamais F qui est strictement dominée.
Si J2 est rationnel et sait que J1 est rationnel (hypothèse de connaissance commune), alors lui- même ne jouera jamais F qui est SDE par C et N.
On a alors le tableau suivant :
J2 J1
C N F
C -3, -3 -1, -5 -3, -10
N -5, -1 -2, -2 0, -10
J2 :
o
face à C : C > N > F
oFace à N : C > N > F
On voit que F est strictement dominée pour le joueur 1, autrement quelque soit ses anticipations, il a jamais intérêt à jouer F.
J1 :
Il sait que le joueur 2 est rationnel, et il sait que lui-même est rationnel. Alors J1 ne jouera jamais N qui est SDE par C. Donc au moment d’évaluer ses stratégies, il peut faire ce tableau :
J2 J1
C N
C -3, -3 -1, -5
N -5, -1 -2, -2
Et ici on a vu que C domine strictement N. Si je joue C face à C, -3 > -5, et si je joue C face à N, -1 > -2.
Si J2 sait que J1 est rationnel et sait que lui-même, J2, est rationnel et sait que J1 est rationnel alors il ne jouera pas N.
⇒ Le seul profil de stratégie qui survit est (C,C), unique solution du jeu.
Démarche :
1 Eliminer les SSDE d’un joueur.
⇒ On obtient un jeu réduit.
2 Analyser si dans le jeu réduit, un autre joueur dispose d’une SSDE.
⇒ Si oui, on va l’éliminer pour obtenir un nouveau jeu réduit etc.
3
Répétition du processus jusqu’au moment où on ne pourra plus éliminer de nouvelle stratégie.
Avantages : Méthode simple, l’ordre d’élimination des stratégies SDE des joueurs n’a aucune influence sur l’ensemble des stratégies qui « survivront ».
Limites :
Chaque étape requiert une hypothèse supplémentaire sur ce que les joueurs savent de la rationalité des autres.
Il faut supposer que :
Tous les joueurs sont rationnels,
Tous les joueurs savent que les joueurs sont rationnels,
Tous les joueurs savent que tous les joueurs savent qu’ils sont rationnels etc.
Parfois prédiction très imprécise de ce qui sera effectivement joué Exemples.
Autre exemple :
J2
D C G
J1 H 0,4 4,0 5,3
M 4,0 0,4 5,3
B 5,5 3,5 6,6 Pour le joueur 1 :
- Face à D : B > M > H - Face à C : H > B > M - Face à G : B > H = M
Pour le joueur 1, M est strictement dominée par B.
Pour le joueur 2 : Comme il sait que le joueur 1 est rationnel, il peut écarter les situations où le joueur 1 jouait M.
- Face à H : D > G > C - Face à B : G > C = D
Pour le joueur 2, C est un stratégie strictement dominée.
Pour le joueur 1 : Comme il est rationnel et il sait que le joueur 2 est rationnel, il sait que le joueur 2 (sachant que l’autre sait que je suis rationnel) ne jouera pas C. Ducoup il peut écarter les situation où le joueur 2 aurait choisit C.
- Face à D : B > H - Face à G : B > H
Pour le joueur 1, B est strictement dominante.
Pour le joueur 2 : Il sait que le joueur 1 est rationnel et qu’il sait que lui-même est rationnel,etc…
donc il sait qu’il va pas jouer H, donc : - Face à B : G est strictement dominante DONC la solution du jeu c’est (B, G)
Autre exemple :
J2
D C G
J1 H 0,4 4,0 5,3
M 4,0 0,4 5,3
B 3,5 3,5 6,6
Pour le joueur 1 :
Face à D : M > B > H (4 > 3 > 0)
Face à C : H > B > M (4 > 3 > 0)
Face à G : B > M = H (6 > 5 = 5)
On compare chaque pair (B et H, M et B, M et H) et on voit qu’il n’y a aucune stratégie strictement dominée.
Pour le joueur 2 :
Face à H : D > G > C
Face à M : C > G > D
Face à B : G > C = D
On voit qu’encore, il n’y a pas de stratégie strictement dominée.
Donc le simple fait d’avoir changé une valeur dans le tableau, implique que je ne peux pas mettre en œuvre cette méthode de résolution itérative, c’est un des défauts de cette méthode.
Résumé
•Le concept de stratégie SDT est trop restrictif : souvent, les joueurs ne disposent pas de telle stratégie.
Par contre, lorsqu’il existe un ESDT, il constitue l’unique solution.
• Le processus d’EISSDE opère dans un plus grand nombre de situations.
Mais ne permet pas toujours d’avoir une idée précise de la solution.
Autres concepts de solution :
Min-max et stratégies prudentes pour jeux à somme nulle, Equilibre de Nash pour une classe plus large de jeux.
