Fiche e criture d'un re sultat
I. Détermination d'une incertitude
1°) Incertitude de type A (série de nombreuses mesures)
S’il est possible d’effectuer de nombreuses mesures qui sont indépendantes, on suppose que la valeur à mesurer suit une loi gaussienne. On peut donc estimer à partir d’une série de n mesures la valeur vraie à partir de la moyenne des mesures ainsi que son incertitude à partir de l'écart type :
Moyenne Ecart type
< 𝑋 >= 1 𝑛 ∑ 𝑥
𝑖𝑛
𝑖=1
𝜎 = √ 1
𝑛 − 1 ∑(𝑥
𝑖−< 𝑋 >)²
𝑛
𝑖=1 L'intervalle de confiance à 68% de la mesure est donnée par :
𝑋 ∈ [𝑋̅ − 𝜎
√𝑛 ; 𝑋̅ + 𝜎
√𝑛]
2°) Incertitude de type B (précision des appareils de mesures)
Lors d'une unique mesure, on suppose que la valeur obtenue est issue d'une moyenne. Ainsi, si on sait raisonnablement que les valeurs de la grandeur X sont comprises entre M – d et M + d, le choix de la loi de propagation de X entre M – d et M + d va décider de l’incertitude-type retenue. Pour la norme AFNOR d'un appareil d'incertitude fournie :
Incertitude (type B) 𝑑
⁄ √3
3°) Incertitude élargie : intervalle de confiance
Un intervalle de confiance permet d'affirmer qu'il y a une probabilité p pour que la valeur vraie que l'on désire mesurer appartienne à cet intervalle. L'incertitude élargie à l'aide d'un coefficient d'élargissement permet d'obtenir l'intervalle de confiance :
Type A Type B
[𝑋̅ − 𝑡 𝜎
√𝑛 ; 𝑋̅ + 𝑡 𝜎
√𝑛] [𝑋̅ − 𝑡 𝑑
√3 ; 𝑋̅ + 𝑡 𝑑
√3] t est le coefficient de Student, pour une dizaine de mesures au moins :
• t ≈ 1 : intervalle à 68% de probabilité
• t ≈ 2 : intervalle à 95% de probabilité
• t ≈ 3 : intervalle à 99% de probabilité Phrase de réponse dans un compte rendu :
La valeur attendue a 68% de se trouver dans l’intervalle :
[𝑋̅ −√𝑛𝜎 ; 𝑋̅ +√𝑛𝜎]La valeur attendue a 95% de se trouver dans l’intervalle :
[𝑋̅ − 2√𝑛𝜎 ; 𝑋̅ + 2√𝑛𝜎]II. Ecriture d'un résultat 1°) Chiffres significatifs
On appelle nombre de chiffres significatifs, le nombre de chiffres présent dans un résultat. Le chiffre 0 écrit à gauche ne comptant pas.
Ex : 13,36 -> 4 CS ; 12,0 -> 3 CS ; 0,0042 -> 2 CS
Le nombre de CS dépend de la précision du résultat donné par son incertitude.
2°) Chiffres significatifs sur l'incertitude
L'incertitude ne s'écrit qu'avec un unique CS .
Ex : Considérons une résistance de R=47kΩ à +/-5%, l'incertitude est de ΔR=5%.47=2,35kΩ soit : ΔR=2kΩ.
3°) Chiffre significatifs sur le résultat
Le chiffre de l'incertitude détermine le dernier chiffre significatif de la grandeur du résultat . Ex : Après calcul, une distance est donnée à X=5,333 m à 3 cm près soit 0,03 m. On obtient donc
5,333 + / - 0,03 m 4°) Ecriture normalisée
La norme est de placer un unique chiffre non nul avant la virgule et d'utiliser la notation scientifique : Ex : Pour une mesure d'une distance 12,20 m à 1 cm près : (1,220 +/- 0,001) x 101 m
Pour une lecture plus immédiate de la valeur mesurée, on préfèrera la notation ingénieure lorsque celle-ci est possible.
Ex : 12,20+/- 0,01 m
III. Propagation des incertitudes
Soit z la valeur à déterminer par les mesures de x et y.
Pour un produit dont un paramètre est constant : z=ax où a est une constante : Δz=|a|Δx
Pour un produit ou un rapport des deux mesures : z=a.x.y ou z=a.x/y :
∆𝑧
𝑧 = √(∆𝑥 𝑥)
2
+ (∆𝑦 𝑦 )
2
Cas général pour une seule mesure : z=f(x)
Δ𝑧 = |𝑓′(𝑥)|Δ𝑥
