Transformateurs triphasés Cours et exercices

Transformateurs triphasés Cours et exercices

I. Présentation 1. Constitution

• Un transformateur triphasé peut être constitué de trois   transformateurs   monophasés.   La   figure   ci contre   représente   les   enroulements   primaires couplés en étoile. 

Cette solution entraîne un encombrement important et une sous utilisation du  fer mais elle est parfois utilisée.

• Il   est   possible   de   réaliser   le   circuit   magnétique   ci­contre   (les enroulements   primaire   et   secondaire   sont   placés   sur   les   colonnes verticales périphériques) :

Chaque enroulement primaire comporte n1 spires, le secondaire n2 spires.

Le circuit magnétique de chaque enroulement se referme dans la colonne centrale, les flux sont indépendants.

V1 = jn1ωΦ1, V2 = jn1ωΦ2 et V3 = jn1ωΦ3

D’où le flux dans la colonne centrale :

_t=₁₂₃= 1

j n₁V₁V₂V₃

Si V1V2V3=0 , il est possible de supprimer la colonne centrale. Ce type de transformateur se rencontre très rarement à cause de la complexité de la construction par rapport au bénéfice obtenu.

• Pour   simplifier   la   construction,   on   réalise   des   circuits magnétiques coplanaires (un seul enroulement par colonne est représenté sur le schéma ci­contre) : la somme des flux dans chacune des colonnes verticales est nulle (₁₂₃=0 ) si les fuites de flux sont négligées.

Le   circuit   magnétique   est   à   flux   liés :   les   différents   flux   ne peuvent pas s’établir indépendamment les uns des autres. 

• La liaison des flux (₁₂₃=0 ) peut entraîner des  inconvénients pour certaines utilisations : pour atténuer la dépendance entre les flux, des colonnes latérales sont ajoutées (ci­dessous à gauche) ou le circuit magnétique est cuirassé (ci­dessous à droite).

Colonnes latérales Circuit magnétique cuirassé

Transformateurs triphasés Page 1 TS1 ET 2013­2014

2. Représentation symbolique

Les enroulements bobinés sur une même colonne du circuit magnétique sont représentés sur le même axe (horizontal ou vertical).

Les extrémités des enroulements sont repérées par des   lettres  majuscules  pour   la   haute   tension   et minuscules pour la basse tension.

Le   schéma   ci­contre   représente   une   colonne   d’un transformateur   triphasé   (les   deux   autres   sont identiques). Cette colonne comporte un enroulement haute tension et deux enroulements basse tension.

A

A X

x₁

x₁

x₂

x₂

a₂ a₁

X a₁ a₂

Les  enroulements  primaires (pas nécessairement haute tension) sont orientés avec la convention récepteur alors   que   les   enroulements   secondaires  sont   orientés   avec   la   convention  générateur.   Les   courants   sont orientés   pour   que   les   forces   magnétomotrices   se   retranchent   (ce   qui   est   différent   du   transformateur monophasé) :

A x₁ x₂

X a₁ a₂

v_a1(t) v_a2(t) v_A(t)

i_a2(t) i_a1(t)

i_A(t)

Dans l'exemple ci­dessus, la force magnétomotrice F engendrée par les trois enroulements parcourus par les courants iA(t), ia1(t) et ia2(t) s'écrit  F=n₁i_A(t)−n₂i_a1(t)−n₂i_a2(t)

3. Couplages des enroulements

S’il y a trois enroulements (au primaire ou au secondaire), il est possible de les coupler en  étoile ou en triangle. S’il y a six enroulements (par exemple deux  enroulements  par secondaire) un troisième type de couplage appelé « zigzag » est possible.

Les transformateurs sont nommés selon les couplages au primaire et au secondaire en respectant les règles suivantes :

• lettre majuscule côté haute tension : « Y » pour le couplage étoile, « D » pour le triangle, « Z » pour le zigzag.

• lettre minuscule côté basse tension : « y » pour le couplage étoile, « d » pour le triangle, « z » pour le zigzag.

Si un neutre existe côté « haute tension », il est indiqué par la lettre « N » après la lettre figurant le couplage

« haute tension ». Si le neutre est côté « basse tension », la lettre « n » est utilisée après celle indiquant le couplage « basse tension ».

Exemples :

Yzn :   couplage   étoile   au   primaire   (haute   tension), zigzag au secondaire, neutre sorti au secondaire.

A B C

a b c n

Dy : couplage triangle au primaire (haute tension), étoile au secondaire, pas de neutre.

cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc A

B C

a b c

II. Équations électriques pour un transformateur parfait

Chaque colonne se comporte comme un transformateur monophasé parfait (on parle de « transformateur colonne »).   Le   flux   pour   chaque  enroulement  d’une   même   colonne   est   le   même   que   pour   les   autres

En notant n1 et n2 les nombres de spires au primaire et aux secondaires du transformateur (supposé parfait) pris comme exemple au paragraphe I.2, écrire les relations :

• exprimant les tensions secondaires (Va1 et Va2) en fonction de la tension primaire (VA) et du rapport des nombres de spires.

• entre les intensités dans le primaire et les secondaires et le rapport du nombre de spires.

Si le transformateur fonctionne en régime triphasé équilibré, les équations pour les deux autres colonnes sont identiques (décalage temporel d’un tiers de période).

III.Grandeurs caractéristiques 1. Plaque signalétique

On y trouve les indications suivantes :

• La puissance apparente nominale,

• Les valeurs efficaces des tensions primaires et secondaires composées (à vide),

• Les intensités efficaces des courants secondaires en ligne,

• La valeur du facteur de puissance secondaire qui permet d’obtenir le fonctionnement nominal.

2. Rapport de transformation

C’est le rapport des valeurs efficaces, relevées à vide, des tensions secondaires et primaires simples ou des tensions secondaires et primaires composées (il ne faut pas prendre une tension simple pour le primaire et une tension composée pour le secondaire et réciproquement).

Cette valeur n’est plus nécessairement égale au rapport du nombre de spires.

➢Exemple

On considère le transformateur représenté ci­contre. Les nombres de spires au primaire (haute tension) et au secondaire sont notées n1 et n2.

• Repérer les tensions aux bornes des enroulements par leur nom en fonction de la liaison au réseau (Va, UAB, …).

• Écrire   la   relation   entre   les   nombres   complexes   associés   aux tensions primaires et secondaires pour chaque colonne (une seule équation est nécessaire pour la suite).

• Les valeurs efficaces des tensions simples et composées au primaire sont notées V1 et U1 ; celles pour le secondaire sont notées V2 et U2. Déterminer à partir de l'une des équations écrite précédemment la relation entre V1, V2, n1 et n2 puis celle entre U1, U2, n1 et n2.

• Déduire l'expression du rapport de transformation.

3. Indice horaire (ou indice de couplage)

Selon les couplages primaire et secondaire il peut apparaître un déphasage entre les tensions homologues du primaire et du secondaire (VA et Va sont des tensions homologues, UBC et Ubc aussi).

Un système triphasé direct de tensions VA, VB, VC alimentant le primaire d’un transformateur donne naissance à un système triphasé direct au secondaire.

Le retard de Va sur VA est noté θ ; c’est aussi le retard de Uab sur UAB. Les valeurs de θ sont toujours des valeurs multiples de 30°. La valeur du déphasage est indiquée par le rapport de θ à 30, ce rapport est appelé indice horaire I : I= 

30  avec θ en degrés.

Un   vecteur   « haute   tension »   pointe   le   12   de   « l’horloge »,   le vecteur de la « basse tension » homologue joue le rôle de l’aiguille des heures.

Les grandeurs  I  et  θ  caractérisent  le retard d’une tension « BT » sur   une   tension   « HT »   quel   que   soit   le   rôle   (abaisseur   ou élévateur) du transformateur.

Dans l’exemple ci­contre, l’indice horaire vaut 1.

V_A

V_B V_C

V_a

V_b V_c

III

VI IX

Grande aiguille

Aiguille des heures

Transformateurs triphasés Page 3 TS1 ET 2013­2014

➢Exemple 1

On   considère   le   transformateur   représenté ci­dessous. Les nombres de spires au primaire (haute tension) et au secondaire sont notées n1 et n2.

• Repérer les tensions aux bornes des enroulements par leur nom en fonction de la liaison au réseau (Va, UAB, …).

• Écrire   la   relation   entre   les   nombres   complexes associés   aux   tensions   primaires   et   secondaires pour chaque colonne.

• Placer les tensions simples côté basse tension sur le   diagramme   ci­dessous   et   en   déduire   l'indice horaire.

➢Exemple 2

On   considère   le   transformateur   représenté ci­dessous. Les nombres de spires au primaire (haute tension) et au secondaire sont notées n1 et n2.

A B C

a b c

• Repérer les tensions aux bornes des enroulements par un nom en fonction de leur colonne : VA, Va1, et Va2 pour la colonne supérieure, …

• Repérer les tensions simples au secondaire.

• Établir à partir de la loi des mailles la relation entre  Va  et les nombres complexes associés aux tensions   aux   bornes   de   deux   enroulements secondaires.

• Pour chaque tension aux bornes des enroulements secondaires du point précédent : écrire la relation entre   cette   tension   et   la   tension   primaire   de   la même colonne.

• Exploiter   la   loi   des   mailles   et   les   relations précédentes   pour   écrire   la   relation   entre   les nombres   complexes   associés   à   une   tension primaire et à une tension secondaire.

• Placer les tensions simples côté basse tension sur le   diagramme   ci­dessous   et   en   déduire   l'indice horaire.

Exercice I

Répondre aux questions suivantes

1. La puissance active nominale est indiquée sur la plaque signalétique d’un transformateur : vrai ou faux ? 2. La   plaque   signalétique   d’un   transformateur   triphasé

indique 20 kV/ 420 V. Lorsqu’il fonctionne à vide, quelle valeur affiche un voltmètre branché entre un fil de phase et le neutre au primaire ? Au secondaire ?

3. Le transformateur ci­contre fonctionne dans les conditions nominales,   laquelle   des   indications   d’ampèremètre   doit figurer sur la plaque signalétique ?

4. Calculer les rapports de transformation des deux transformateurs décrits ci­dessous (essais à vide).

Transformateur n°1

Valeurs efficaces des tensions

­ composées primaires 20 kV

­ simples secondaires 250 V

Transformateur n°2

Valeurs efficaces des tensions

­ composées primaires 20 kV

­ composées secondaires 420 V 5. Déterminer   l’indice   horaire   correspondant   au   diagramme   de

Fresnel ci­contre :

6. Donner le nom de la tension homologue à Uca. Placer Uca et sa tension homologue sur le diagramme vectoriel.

V_A

V_B V_C

V_a

V_b V_c

Exercice II

Déterminer les rapports de transformation en fonction du rapport du nombre de spires et les indices horaires des transformateurs représentés ci­dessous (on note n1 et n2 le nombre de spires par enroulements primaires et secondaires) :

1. Triangle ­ étoile A B C

a b c

2. Étoile ­ étoile A

C B

a b c

3. Triangle ­ étoile A

C B

a b c

4. Étoile zigzag A

B C

a b c

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Exercice III

On   considère   le   transformateur   dont   le   schéma   est   donné ci­contre :

1. Déterminer   son   rapport   de   transformation   en   fonction   du nombre   de  spires  au   primaire   (noté  n1)   et   du   nombre  de spires au secondaire (noté n2).

2. Déterminer son indice horaire.

A B C

a b c 3. La   valeur   efficace   nominale   de   la   tension   aux   bornes   d’un   enroulement   primaire   est   de   11,5   kV.

Déterminer le rapport des nombres de spires secondaire et primaire si la tension composée à vide côté secondaire a une valeur efficace de 410 V.

4. Une   charge,   constituée   de   trois   résistances   de   1Ω  couplées   en   étoile,   est   branchée   au   secondaire.

Déterminer les intensités efficaces des courants primaires et secondaires.

Exercice IV

On considère le transformateur dont le schéma de câblage est indiqué ci­contre, il est supposé parfait : Plaque signalétique 

Puissance apparente : 130 kVA Primaire : 20 kV, secondaire : 380 V Secondaire 200 A

a b c A

B C

1. Indiquer les conditions pour que ce transformateur soit considéré comme parfait.

2. Déterminer son indice horaire.

3. Exprimer le rapport de transformation en fonction de n2 (nombre de spires d’un enroulement secondaire) et n1 (nombre de spires d’un enroulement primaire).

4. Ce transformateur est alimenté par un système direct de tensions triphasées de valeur efficace 20 kV et alimente une charge triphasée constituée de trois résistances de 4 Ω couplées en triangle.

a. Représenter le montage.

b. Déterminer le courant dans un élément de la charge (module et déphasage par rapport à la tension à ses bornes).

c. Déterminer le courant en ligne (module et déphasage par rapport à la tension simple qui lui est associé).

5. Ce transformateur alimente maintenant entre deux phases une charge purement résistive.

a. Écrire la loi de compensation des ampères­tours pour chaque colonne.

b. En déduire que la somme des courants primaires est nulle.

Exercice V

1. Le transformateur représenté sur la figure 1 comporte n1 spires au primaire et n2 au secondaire. Déterminer son indice horaire et son rapport de transformation en fonction de n2 et n1.

2. Le schéma de la figure 2 représente un essai dont les résultats ont donné :

• indication du voltmètre V1 : 400 V

• indication du voltmètre V2 : 400 V figure 1

a. Déduire de ces résultats le rapport  n₂ n1

 

b. Quelle est la valeur efficace des tensions composées au secondaire si les tensions composées au primaire ont une valeur efficace égale à 690 V ?

3. Une charge monophasée résistive est branchée entre les bornes a et b du secondaire couplé en triangle.

a. Représenter le schéma de câblage.

Figure 2

b. L’intensité dans la résistance (notée ir(t)) se divise en deux voies dans le transformateur. L’une des voies est parcourue par un courant égal à  2

3i_rt , l’autre est parcourue par  1

3i_rt . Placer ces courants sur le schéma (attention aux orientations).

c. En écrivant la loi de compensation des ampères tours pour chaque colonne, montrer qu’il n’y aurait pas de courant dans le neutre du primaire.

Exercice VI

Un   réseau   HTA   délivre   des   tensions   sinusoïdales   formant   un   système   triphasé   équilibré   direct   (UAB = UBC = UCA = U1 = 20 kV). Il alimente le primaire d'un transformateur couplé en triangle au primaire et en étoile avec neutre au secondaire. Le secondaire délivre un système triphasé équilibré direct de tensions de valeur efficace U2 = 400 V.

Chaque colonne porte un enroulement primaire de N1 spires et un enroulement secondaire de N2 spires. Le transformateur est supposé parfait. La figure ci­dessous précise la désignation des différents courants et les conventions adoptées.

1. Caractéristiques du transformateur

a. Déterminer le rapport de transformation mc par colonne du transformateur.

b. Déterminer, en le justifiant, l'indice horaire Ih du transformateur.

2. Premier cas :

L'ensemble des récepteurs constitue une charge linéaire triphasée équilibrée. Les courants ia(t), ib(t) et ic(t) sont alors sinusoïdaux. On a  i_at=I_a



2sint  avec Ia = 900 A et f = 50 Hz. Exprimer in(t) en fonction de ia(t), ib(t) et ic(t). En déduire la valeur de in(t).

3. Deuxième cas :

Les   récepteurs   constituent   une   charge   non­linéaire   triphasée   équilibrée.   Chaque   courant   en   ligne   au secondaire   résulte   de   la   superposition   d'un   courant   fondamental   de   fréquence   50   Hz   et   de   courants harmoniques de fréquences multiples. On ne prend en compte que les harmoniques de rang 3, les autres rangs sont négligés. Le courant  ia(t) a alors pour expression i_at=I_a1



2sintI_a3



2sin3t , avec   Ia1 = 900 A et Ia3 = 130 A (figure à la page suivante).

Transformateurs triphasés Page 7 TS1 ET 2013­2014

Le courants  ia(t),  ib(t) et  ic(t) formant toujours un système triphasé équilibré,  ib(t) et  ic(t) s'obtiennent en remplaçant respectivement  t  par  t−2

3   et par  t−4 3  .

a. Vérifier en exprimant ib(t) et ic(t) que les trois composantes de rang 3 sont en phase, comme le montre la figure ci­dessous.

b. Écrire la loi des nœuds au point n. En déduire l'expression de  in(t).  Tracer son allure sur la figure ci­dessous. Donner sa valeur efficace.

c. Établir   que   les   courants   dans   les   enroulements   primaires   ont   pour   expression  jA(t)   =   0,0115  ia(t), jB(t) = 0,0115 ib(t) et jC(t) = 0,0115 ic(t).

d. Écrire la loi des nœuds au point A. En déduire l'expression du courant i1(t).

e. En déduire l'intérêt de ce couplage pour le réseau HTA.

Évolution des courants

Corrigé transformateurs triphasés Cours et exercices

Exercice I

Répondre aux questions suivantes

1. La puissance active nominale est indiquée sur la plaque signalétique d’un transformateur : vrai ou faux ? C'est faux, c'est la puissance apparente qui est indiquée sur la plaque.

2. La   plaque   signalétique   d’un   transformateur   triphasé indique 20 kV/ 420 V. Lorsqu’il fonctionne à vide, quelle valeur affiche un voltmètre branché entre un fil de phase et le neutre au primaire ? Au secondaire ?

Les indications concernent les tensions composées et ce sont les tensions simples qui sont demandées, il faut donc diviser 20 kV par 

√

3  au primaire ce qui donne 11,5 kV et diviser 420 V par 

√

³  au secondaire ce qui donne 242 V.

3. Le transformateur ci­contre  (ci­dessus à droite)  fonctionne dans les conditions nominales, laquelle des indications d’ampèremètre doit figurer sur la plaque signalétique ?  La plaque signalétique indique la valeur efficace des courants en ligne c'est à dire 55 A ici.

4. Calculer les rapports de transformation des deux transformateurs décrits ci­dessous (essais à vide).

Le rapport de transformation est obtenu en divisant :

• la valeur efficace des tensions secondaires simples par la valeur efficace des tensions primaires simples

• la   valeur   efficace   des   tensions   secondaires   composées   par   la   valeur   efficace   des   tensions   primaires composées

Attention : pas de « mélanges » entre les tensions simples et composées.

Transformateur n°1

Valeurs efficaces des tensions

­ composées primaires 20 kV

­ simples secondaires 250 V Tensions simples :

m=

250

20000

√

³

=21,6 .10⁻³

ou tensions composées :

m=

250

√

3

20000=21,6.10⁻³

Transformateur n°2

Valeurs efficaces des tensions

­ composées primaires 20 kV

­ composées secondaires 420 V

Tensions simples :

m=

420

√

3 20000

√

³

=21,6 .10⁻³

ou tensions composées :

m=

420

20000=21,6 .10⁻³

Corrigé transformateurs triphasés Page 1 TS1 ET 2013­2014

5. Déterminer   l’indice   horaire   correspondant   au   diagramme   de Fresnel ci­contre :

Il faut comparer l'angle entre deux tensions homologues :   V_A est la grande aiguille et 

V

_a  la petite qui indique 3 heures.

6. Donner le nom de la tension homologue à Uca. Placer Uca et sa tension homologue sur le diagramme vectoriel.

La tension homologue à Uca est UCA. Pour les placer, on utilise les relations 

U

_CA=V_C−V_{A  et} 

U

_ca=V_c−V_a

V_A

V_B V_C

V_a

V_b V_c

Exercice II

Déterminer les rapports de transformation en fonction du rapport du nombre de spires et les indices horaires des transformateurs représentés ci­dessous (on note n1 et n2 le nombre de spires par enroulements primaires et secondaires) :

U_CA U_ca

1. Triangle ­ étoile

Pour la colonne supérieure, il est possible d'écrire :

V

_a=

n

₂

n

₁

U

_AB   soit pour les valeurs efficaces des tensions   composées   primaires   U_p   et   simples secondaires   V_{s  :}  

V

_s=

n

₂

n

1

U

_p . En remplaçant U_{p   par}  

U

_p=

√

3

V

_p   ou   V_{s   par}

V

_s=

U

_s

√

³ ,   on   obtient  

V

_s=

n

₂

n

₁

V

_p

√

³   ou

U

_s

√

³⁼

n

₂

n

₁

U

_p  

ce qui donne 

m= V

_s

V

_p=

U

_s

U

_p=

√

3

n

₂

n

₁ Pour   l'indice   horaire,   on   utilise   la   relation

V

_a=

n

₂

n

₁

U

_AB  : 

V

_a  est en phase avec 

U

_AB . Il faut placer ces deux vecteurs sur un diagramme de Fresnel   (

U

_AB=V_A−V_B )   pour   constater   que l'indice horaire est égal à 11

2. Étoile ­ étoile A

C B

a b c Pour la colonne supérieure, il est possible d'écrire :

V

_a=

n

₂

n

₁

V

_A   soit   pour   les   valeurs   efficaces   des tensions   simples   primaires  

V

_p   et   secondaires

V_s  : 

V

_s=

n

₂

n

1

V

_p .

ce qui donne 

m= V

_s

V

p

=

U

_s

U

p

=

n

₂

n

1

Pour   l'indice   horaire,   on   utilise   la   relation

V

_a=

n

₂

n

₁

V

_A  : 

V

_a  est en phase avec 

V

_{A  et} l'indice horaire est égal à 0.

3. Triangle ­ étoile A

C B

a b c Pour la colonne supérieure, il est possible d'écrire :

V

_a=

n

₂

n

₁

U

_AC   soit pour les valeurs efficaces des tensions   composées   primaires   U_p   et   simples secondaires   V_{s  :}  

V

_s=

n

₂

n

₁

U

_p . En remplaçant U_{p   par}  

U

_p=

√

³

^V

p   ou   V_{s   par}

V

_s=

U

_s

√

3 ,   on   obtient  

V

_s=

n

₂

n

₁

V

_p

√

3   ou

4. Étoile zigzag

On repère les tensions  

V

_{A ,}  

V

_{a1 ,}  

V

_{c2   et}

V

_a  sur le schéma :

La loi des mailles sur la portion de circuit en rouge permet   d’écrire :  Va−Va1+Vc2=0  soit

a a1 c2

V =V −V

Les enroulements dont  les tensions sont  VA  et  Va1

sont sur la même colonne, il en est de même pour ceux dont les tensions sont  VC  et  Vc2. Les relations

Corrigé transformateurs triphasés Page 3 TS1 ET 2013­2014

U

_s

√

³⁼

n

₂

n

₁

U

_p  

ce qui donne 

m= V

_s

V

p

=

U

_s

U

p

=

√

³

ⁿ

²

n

1

Pour   l'indice   horaire,   on   utilise   la   relation

V

_a=

n

₂

n

₁

U

_AC  : 

V

_a  est en phase avec 

U

_{AC .} Il faut placer ces deux vecteurs sur un diagramme de Fresnel   (

U

_AC=V_A−V_C )   pour   constater   que l'indice horaire est égal à 1.

pour les tensions s’écrivent  ^{a1 2}

A 1

V n

V = n  et  ^{c2 2}

C 1

V n

V = n En   remplaçant  Va1  et  Vc2  par   leurs   expressions  en fonction de VA et VC, on trouve :

2 2 2 2

a A C A C AC

1 1 1 1

( )

n n n n

V V V V V U

n n n n

= − = − =

D'après   cette   relation  

V

_a   est   en   phase   avec

U

_AC  et l'indice horaire est égal à 1.

Pour   les   valeurs   efficaces :   V_s=n₂

n₁U_p=U_s

√

3 donc 

m= √

³

ⁿ _n

²

1

=

U

_s

U

_p

Exercice III

On   considère   le   transformateur   dont   le   schéma   est   donné ci­contre :

1. Déterminer   son   rapport   de   transformation   en   fonction   du nombre  de   spires   au  primaire  (noté  n1)   et   du  nombre   de spires au secondaire (noté n2).

Pour la colonne supérieure, il est possible d'écrire :

U

_ab=

n

₂

n

₁

V

_A  soit pour les valeurs efficaces des tensions

composées primaires   U_p   et  simples secondaires   V_s  :  

U

_s=

n

₂

n

₁

V

_p . En remplaçant   U_p   par

U

_p=

√

³

^V

p   ou   V_s   par  

V

_s=

U

_s

√

3 ,   on   obtient  

√

3V_s=

n

₂

n

₁

V

_p   ou  

U

_s=

n

₂

n

₁

U

_p

√

^{3   donc}

m= n

₂

n

₁

1

√

3

2. Déterminer son indice horaire.

Les   vecteurs   de   l’équation  

U

_ab=

n

₂

n

₁

V

_A   sont   placés   sur   un diagramme (voir ci­contre).

Les tensions Uab et UAB sont homologues. Uab est en retard de 30° sur UAB, l’indice horaire est égal à 1.

(Les soulignements devraient apparaître sur le schéma.)

3. La   valeur   efficace   nominale   de   la   tension   aux   bornes   d’un   enroulement   primaire   est   de   11,5   kV.

Déterminer le rapport des nombres de spires secondaire et primaire si la tension composée à vide côté secondaire a une valeur efficace de 410 V.

La tension aux bornes d’un enroulement primaire correspond à une tension simple : la valeur efficace d’une tension composée au primaire est égale à 11,5 3 20≈  kV.

D’après ce qui précède  m= U_ab UAB

= 1

√

3 n₂ n1

 soit 

n

₂

n

₁=

√

³

^U

ab

U

_AB =

√

^3×410

20.10³ =35,5 .10⁻³

4. Une   charge,   constituée   de   trois   résistances   de   1Ω  couplées   en   étoile,   est   branchée   au   secondaire.

Déterminer les intensités efficaces des courants primaires et secondaires.

Le transformateur est supposé parfait (l’énoncé ne donne aucune valeur pour les « défauts »). La tension aux bornes d’une résistance est une tension simple au secondaire soit environ 238 V. La loi d’Ohm permet d’écrire que l’intensité efficace est de 238 A.

Relation entre les intensités efficaces au primaire et au secondaire :  _{1 2} 410₃

.238 4,87 20.10

I =mI = =  A

Exercice IV

On considère le transformateur dont le schéma de câblage est indiqué ci­contre, il est supposé parfait : Plaque signalétique 

Puissance apparente : 130 kVA Primaire : 20 kV, secondaire : 380 V Secondaire 200 A

1. Indiquer les conditions pour que ce transformateur soit considéré comme parfait.

Les résistances des enroulements sont nulles (pas de pertes par effet Joule). Il n’y a pas de fuites de flux, la perméabilité du circuit magnétique est infinie donc sa réluctance est nulle. Il n’y a pas de pertes dans le fer.

2. Déterminer son indice horaire.

Les enroulements dont les tensions sont VA et Va1 (voir schéma) sont sur la même colonne, il en est de même pour   ceux   dont   les   tensions   sont  VB  et  Vb2.   Les   relations   pour   les   tensions   s’écrivent  

V

_a1

V

_A=

n

₂

n

₁   ^et

V

_b2

V

_B=

n

₂

n

₁

La loi des mailles sur la portion de circuit en rouge permet d’écrire : 

V

_a−V_a1+

V

_b2=0  _soit 

V

_a=V_a1−V_b2 Va1 est en phase avec VA, Vb2 est en phase avec VB.

Le vecteur Va est placé à partir de l’équation V_a =V_a1−V_b2 Indice horaire 11 (transformateur Yz11) Autre méthode :

en remplaçant Va1 et Vb2 par leurs expressions en fonction de VA et VB, on obtient l’équation :

V

_a=

n

₂

n

1

V

_A−

n

₂

n

1

V

_B=

n

₂

n

1

(V_A−V_B)=

n

₂

n

1

U

_AB Va est en phase avec UAB, on retrouve l’indice horaire égal à 11.

3. Exprimer le rapport de transformation en fonction de n2 (nombre de spires d’un enroulement secondaire) et n1 (nombre de spires d’un enroulement primaire).

Corrigé transformateurs triphasés Page 5 TS1 ET 2013­2014

Va1  et  Vb2  sont   remplacés   par   leurs   expressions   en   fonction   de  VA  et  VB,   on   obtient   l’équation

V

_a=

n

₂

n

1

V

_A−

n

₂

n

1

V

_B=

n

₂

n

1

(V_A−V_B)=

n

₂

n

1

U

_AB .

Pour les valeurs efficaces : 

V

_a=

n

₂

n

1

U

_AB=

U

_ab

√

3  ^donc 

m= U

_ab

U

AB

=

√

³

ⁿ

²

n

1

 

4. Ce transformateur est alimenté par un système direct de tensions triphasées de valeur efficace 20 kV et alimente une charge triphasée constituée de trois résistances de 4 Ω couplées en triangle.

a. Représenter le montage.

b. Déterminer le courant dans un élément de la charge (module et déphasage par rapport à la tension à ses bornes).

Les tensions composées au secondaire ont pour valeur efficace 380 V. Une résistance est donc parcourue par un courant d’intensité : 

J

₂=380

4 =95 A . Le déphasage entre le courant et la tension pour une résistance étant nul, 

j

ac(t)  est en phase avec 

u

ac(t)  ; il en est de même pour 

j

ba(t)  et 

u

ba(t)  et pour

j

_cb(

t

)  et 

u

_cb(t) .

c. Déterminer le courant en ligne (module et déphasage par rapport à la tension simple qui lui est associé).

L’intensité jac(t) (résistance « du haut ») est en phase avec uac(t) (voir le schéma ci­dessus et le diagramme vectoriel de la page suivante).

Le vecteur associé à l’intensité ia(t) est placé sur le diagramme de Fresnel.

De même que  Jac  est en phase avec  Uac,  Jba  est en phase avec  Uba. La charge triphasée est résistive, les intensités en ligne (ia(t), ib(t) et ic(t)) sont en phase avec les tensions simples (va(t), vb(t) et vc(t)).

La puissance active reçue par les résistances peut s’écrire : 3. . 3. .

P= U J = V I  avec U la valeur efficace des tensions composées et V celle des tensions simples ; J est l’intensité efficace des courants dans les résistances (phase) alors que  I  est celle dans les secondaires du transformateur (ligne au secondaire).

Pour les valeurs efficaces I₂= 3J₂ soit I₂= 3.95 164=  A

5. Ce transformateur alimente maintenant entre deux phases une charge purement résistive.

a. Écrire la loi de compensation des ampères­tours pour chaque colonne.

Pour la colonne « A » : 

n

₁

i

_A(t)=n₂

i

_a1(t)+n₂

i

_a2(t) Pour la colonne « B » : 

n

₁

i

_B(t)=n₂

i

_b1(t)+

n

₂

i

_b2(t) Pour la colonne « C » : 

n

₁

i

_C(t)=n₂

i

_c1(

t

)+

n

₂

i

_c2(

t

)

Définition des intensités ia1(t), ia2(t), … : on affecte l’indice « 2 » à l’enroulement secondaire placé à gauche et l’indice « 1 » à celui placé à droite. Les intensités sont comptées positives si elle « sortent » par les têtes d’enroulement.

a2( ) 0

i t =  et i ta1( )=i ta( ) ; i tb2( )= −i ta( ) et i tb1( )= −i ta( ) ; i tc2( )=i ta( ) et i tc1( ) 0= On obtient finalement :

Pour la colonne « A » : 

n

₁

i

_A(t)=n₂

i

_a(t)

Pour la colonne « B » : 

n

1

i

B(t)=−n2

i

a(t)−n2

i

a(t)=−2

n

2

i

a(t) Pour la colonne « C » : 

n

₁

i

_C(t)=

n

₂

i

_a(t)

b. En déduire que la somme des courants primaires est nulle.

En faisant la somme des ampères tours primaires, on obtient l’équation :

n

1

i

A(t)+

n

1

i

B(t)+n1

i

C(t)=n2

i

a(t)−2n2

i

a(

t

)+

n

2

i

a(t)=0

Corrigé transformateurs triphasés Page 7 TS1 ET 2013­2014

Exercice V

1. Le transformateur représenté sur la figure 1 comporte n1 spires au primaire et n2 au secondaire. Déterminer son indice horaire et son rapport de transformation en fonction de n2 et n1.

Pour la colonne supérieure, on peut écrire 

U

_ab=

n

₂

n

1

V

_A

La tension

U

_ab  est en phase avec 

V

_A  : 

U

_ab  est en retard

de 30° sur 

U

_AB , l'indice horaire est donc égal à 1. figure 1

On   note  

U

_s   la   valeur   efficace   des  tensions   secondaires   et  

V

_p   la  valeur   efficace  des   tensions primaires,   l'équation   U_ab=n₂

n₁V_A   devient  

U

_s=

n

₂

n

1

V

_p   pour   les   valeurs   efficaces.   Comme

V

_p=

U

_p

√

^{3  alors} 

^U

^s=

n

₂

n

₁

U

_p

√

3  ce qui donne 

m= U

_s

U

_p=

n

₂

n

₁ 1

√

3

2. Le schéma de la figure 2 représente un essai dont les résultats ont donné :

• indication du voltmètre V1 : 400 V

• indication du voltmètre V2 : 400 V a. Déduire de ces résultats le rapport  n₂

n1

 

Pour   le   transformateur   colonne,   il   est   possible   d'écrire V2

V1

=n2

n1

 soit  n2

n1

=1

b. Quelle est la valeur efficace des tensions composées au secondaire si les tensions composées au primaire ont une valeur efficace égale à 690 V ?

Figure 2 D'après la question 1, 

m= n

₂

n

₁ 1

√

^{3  et} 

n2

n₁=1  d'après la question précédente soit 

m=

1

√

³ . On a donc

U

_s= 1

√

³

^U

^p=

1

√

^{3690=400 V}

3. Une charge monophasée résistive est branchée entre les bornes a et b du secondaire couplé en triangle.

a. Représenter le schéma de câblage.

b. L’intensité dans la résistance (notée ir(t)) se divise en deux voies dans le transformateur. L’une des voies est parcourue par un courant égal à  2

3i_rt , l’autre est parcourue par  1

3i_rt . Placer ces courants sur le schéma (attention aux orientations).

Voir le schéma ci­dessus.

c. En écrivant la loi de compensation des ampères tours pour chaque colonne, montrer qu’il n’y aurait pas de courant dans le neutre du primaire.

Les courants du primaire sont orientés pour « entrer » par les têtes d'enroulement.

Colonne du haut : 

n

₁

i

_A(t)=2

3

n

₂

i

_r(t) Colonne centrale : 

n

₁

i

_B(t)=−1

3

n

₂

i

_r(t) Colonne du bas: 

n

₁

i

_C(t)=−1

3

n

₂

i

_r(t)

La somme des  ampères tours primaire est nulle, il n'y aurait donc pas de courant dans le neutre au primaire.

Exercice VI

Un   réseau   HTA   délivre   des   tensions   sinusoïdales   formant   un   système   triphasé   équilibré   direct   (UAB = UBC = UCA = U1 = 20 kV). Il alimente le primaire d'un transformateur couplé en triangle au primaire et en étoile avec neutre au secondaire. Le secondaire délivre un système triphasé équilibré direct de tensions de valeur efficace U2 = 400 V.

Chaque colonne porte un enroulement primaire de N1 spires et un enroulement secondaire de N2 spires. Le transformateur est supposé parfait. La figure ci­dessous précise la désignation des différents courants et les conventions adoptées.

1. Caractéristiques du transformateur

a. Déterminer le rapport de transformation mc par colonne du transformateur.

Pour la colonne supérieure, on peut écrire 

V

_a=

N

₂

N

1

U

_AB  et 

m

_c=

V

_a

U

_AB=

400

√

3

20000=11,5 .10⁻³ b. Déterminer, en le justifiant, l'indice horaire Ih du transformateur.

Pour la colonne supérieure, on peut écrire 

V

_a=

N

₂

N

₁

U

_AB , la tension 

V

_a  est en phase avec la tension

U

_AB . En plaçant les vecteurs  

V

_{a   et}  

U

_AB   sur un diagramme vectoriel, on détermine un indice horaire égal à 11.

Corrigé transformateurs triphasés Page 9 TS1 ET 2013­2014

2. Premier cas :

L'ensemble des récepteurs constitue une charge linéaire triphasée équilibrée. Les courants ia(t), ib(t) et ic(t) sont alors sinusoïdaux. On a  i_at=I_a



2sint  avec Ia = 900 A et f = 50 Hz. Exprimer in(t) en fonction de ia(t), ib(t) et ic(t). En déduire la valeur de in(t).

D'après   la   loi   des   nœuds,  

i

_a(

t)+ i

_b(t)+i_c(t)+i_n(t)=0   soit  

i

_n(t)=−

i

_a(t)−

i

_b(t)−i_c(t) .   Les récepteurs constituant une charge équilibrée, le courant dans le neutre est nul : 

i

_n(t)=0

3. Deuxième cas :

Les   récepteurs   constituent   une   charge   non­linéaire   triphasée   équilibrée.   Chaque   courant   en   ligne   au secondaire   résulte   de   la   superposition   d'un   courant   fondamental   de   fréquence   50   Hz   et   de   courants harmoniques de fréquences multiples. On ne prend en compte que les harmoniques de rang 3, les autres rangs sont négligés. Le courant  ia(t) a alors pour expression i_at=I_a1



2sintI_a3



2sin3t , avec   Ia1 = 900 A et Ia3 = 130 A (figure à la page suivante).

Le courants  ia(t),  ib(t) et  ic(t) formant toujours un système triphasé équilibré,  ib(t) et  ic(t) s'obtiennent en remplaçant respectivement  t  par  t−2

3   et par  t−4 3  .

a. Vérifier en exprimant ib(t) et ic(t) que les trois composantes de rang 3 sont en phase, comme le montre la figure ci­dessous.

D'après l'énoncé  i_at=I_a1



2sintI_a3



2sin3t  et i_b(t)=I_a1

√

2sin(ωt−2π

3 )+I_a3

√

2sin(3ωt−32π

3 )=I_a1

√

2sin(ωt−2π

3 )+I_a3

√

2sin(3ωt)  et  i_c(t)=I_a1

√

2sin(ωt−4π

3 )+I_a3

√

2sin(3ωt−34π

3 )=I_a1

√

2sin(ωt−4π

3 )+I_a3

√

2sin(3ωt) car  3ωt−32π

3 =3ωt−34π 3 =3ωt

Les trois composantes de rang 3  I_a3

√

2sin(3ωt)  sont donc en phase (elles sont même identiques).

b. Écrire la loi des nœuds au point n. En déduire l'expression de  in(t).  Tracer son allure sur la figure ci­dessous. Donner sa valeur efficace.

La loi des nœuds au point n s'écrit toujours 

i

_n(t)=−

i

_a(t)−

i

_b(t)−i_c(t) . Les fondamentaux des courants s'annulent, il ne reste que les harmoniques de rang 3 ce qui donne   i_n(t)=3I_a3

√

2sin(3ωt) . C'est une sinusoïde dont la fréquence est égale à trois fois celle du réseau (période trois fois plus petite que celle du réseau) et donc la valeur efficace est égale à  3

I

_a3=3×130=390 A

c. Établir   que   les   courants   dans   les   enroulements   primaires   ont   pour   expression  jA(t)   =   0,0115  ia(t), jB(t) = 0,0115 ib(t) et jC(t) = 0,0115 ic(t).

Pour la colonne supérieure, la loi de compensation des ampères­tours s'écrit 

N

₁

j

_A(

t

)=N₂

i

_a(t)  ce qui donne 

j

_A(t)=

N

₂

N

₁

i

_a(t)=m_c

i

_a(t)  et 

m

_c=0,0115  donc 

j

_A(t)=0,0115

i

_a(t)  d'après la première question.

Le même raisonnement donne 

j

_B(t)=0,0115

i

_b(t)  pour la colonne centrale et 

j

_C(t)=0,0115i_c(t) pour la colonne inférieure.

d. Écrire la loi des nœuds au point A. En déduire l'expression du courant i1(t).

Au point A :

i

₁=

j

_A−

j

_C  soit 

i

₁=0,0115

i

_a−0,0115

i

_c

En   remplaçant  

i

_{a   par}   i_at=I_a1



2sintI_a3



2sin3t   et  

i

_{c   par} i (t)=I

√

2sin(ωt−4π

)+I

√

2sin(3ωt)  on obtient

i₁(t)=0,0115(I_a1

√

2 sinωt−I_a1

√

2sin(ωt−4π 3 )) e. En déduire l'intérêt de ce couplage pour le réseau HTA.

Les harmoniques de rang 3 des courants secondaires ne se propagent pas sur les lignes du réseau HTA.

Évolution des courants

Corrigé transformateurs triphasés Page 11 TS1 ET 2013­2014