1 I Courbes représentant une fonction
Dans le diagramme ci-dessous, chaque point représente une température ou une quantité de pluie relevée mois après mois.
Les points successifs sont reliés par un segment pour exprimer que les variations d’un mois à l’autre sont régulières.
A chaque date correspond une valeur unique de la température ainsi qu’une valeur unique de la quantité de précipitations. La température et les précipitations sont des fonctions de la date.
II Courbes ne représentant pas une fonction
Dans le diagramme ci-dessous, chaque point représente un mois de l’année. Les coordonnées du point représentent la température et la quantité de
précipitations de ce mois. Les points sont reliés selon l’ordre chronologique.
2 La droite horizontale d’équation y = 30, correspondant à 30 mm de pluie, coupe la courbe en deux points qui représentent deux températures différentes.
La température n’est pas une fonction de la quantité de précipitations.
De même, la quantité de précipitations n’est pas une fonction de la température.
III Lectures de valeurs
La courbe ci-dessous représente l’enregistrement du taux d’alcoolémie d’une personne au cours d’un repas et dans les minutes qui ont suivi.
La courbe est celle d’une fonction car à chaque instant correspond un taux et un seul.
Pour chaque point de la courbe, l’ordonnée est l’image de l’abscisse par cette fonction.
Par exemple, à la minute 120, le taux d’alcoolémie était de 0,6 g/l environ.
L’image du nombre a par la fonction f, est l’ordonnée du point d’abscisse a de la courbe représentative de la fonction f.
Ici f(120) ≈0,6
3 IV Résolutions graphiques
a) Résolution d’équations
Chercher à quel instant le taux d’alcoolémie était de 0,3 g/l revient à résoudre l’équation f(x) = 0,3.
Les solutions de l’équation f(x) = 0,3 sont les abscisses des points d’ordonnée 0,3 de la courbe représentative de f.
On lit ici les abscisses 35 et 185.
Le taux d’alcoolémie était de 0,3 g/l au bout de 35 minutes et de 3h05 minutes après le début des mesures.
b) Inéquations
Chercher à quels moments la personne aurait pu conduire un véhicule avec un taux d’alcoolémie inférieur ou égal à 0,5.
Cela revient à résoudre l’inéquation : f(x) ≤ 0,5.
4 Les solutions de l’inéquation f(x) ≤ 0,5 sont les abscisses des points de la courbe situés en-dessous de la droite d’équation y = 0,5.
On lit les intervalles [0 ;52] et [137 ;360].
La personne aurait pu légalement conduire jusqu’à la 52e minute après le début des mesures. Il aurait du alors s’arrêter pour reprendre 2 h 17 minutes après le début des mesures.
Remarques :
Une lecture graphique est toujours une lecture locale et approchée. La précision dépend des échelles choisies sur les axes
Le nombre de solutions visibles dépend de la fenêtre de tracé choisie.
V Variation absolue, variation relative
a) Variation absolue
Dans l’évolution d’une grandeur en fonction du temps, la variation absolue Va est la différence Valeur finale(F) – Valeur initiale (I).
Va = F – I
Exemple :
La température moyenne de la Terre était de 14,6 °C en 1860 et 15,2 °C en 2000.
La variation absolue de température entre ces deux dates est de 15,2 – 14,6 = 0,6 °C.
5 Plus généralement soit f une fonction de la variable x.
La variation absolue de f quand x varie de a à b est le nombre f(b) – f(a).
b) Variation moyenne
Dans l’évolution d’une grandeur en fonction du temps, la variation moyenne par unité de temps est égale au quotient de la variation absolue par la durée
correspondante.
Exemple :
Avec les mêmes données que ci-dessus, la variation moyenne annuelle de température du globe entre les années 1860 et 2000 était de :
Vm = 15,2 - 14,6
2000 - 1860 = 0,6
140 ≈0,004 °C par année.
Plus généralement on obtient la variation moyenne d’une fonction entre deux valeurs a et b de la variable en divisant la variation absolue de l’image par la variation absolue de la variable :
Vm = f(b) - f(a) b - a Cas particulier :
Pour une grandeur qui évolue comme une fonction affine du temps, la variation moyenne est constante et égale au coefficient directeur de la droite qui représente la fonction affine.
6 c) Variation relative
La variation relative est obtenue en divisant la variation absolue par la valeur initiale.
Vr = Va
I = F - I I Exemple :
La variation relative des émissions de CO2 dues au transport routier entre 1960 (5 millions de tonnes) et 2000 (35 millions de tonnes) était de 35 - 5
5 = 6, soit 500% d’augmentation.
VI L’interpolation linéaire : une estimation graphique Benoît mesurait 49 cm à la naissance, 78 cm à 1 an et 1 m à 3 ans.
Peut-on estimer sa taille à 6 mois, à deux ans.
A quel âge a-t-il atteint la taille de 75 cm ?
Evolution de la taille de Benoît
0 20 40 60 80 100 120
0 6 12 18 24 30 36 42
Age en m ois
Taille en cm
Sur chacun des intervalles [0 ;12] et [12 ;36], on peut assimiler la taille à une fonction affine de l’âge. Graphiquement, cela revient à relier deux points successifs par un segment de droite.
7 a) Estimation graphique de la taille à un âge donné
Pour estimer la taille de Benoît à 6 mois, il suffit de lire graphiquement l’image de 6 par la fonction affine tracée sur l’intervalle [0 ;12].
On lit approximativement 63 cm.
De même pour 2 ans (24 mois) on estime la taille à 88 cm.
Evolution de la taille de Benoît
0 20 40 60 80 100 120
0 6 12 18 24 30 36 42
Age en mois
Taille en cm
63 88
8 b) Estimation graphique de l’âge auquel une taille donnée est atteinte
Pour estimer l’âge auquel Benoît a atteint la taille de 75 cm, il suffit de résoudre graphiquement une équation.
On lit approximativement 10,5 mois.
c) Estimation numérique
On suppose que, entre 12 mois et 36 mois, la taille est une fonction affine de l’âge. Pour estimer la taille de Benoît à 29 mois, on complète le tableau suivant en utilisant la proportionnalité des variations pour les fonctions affInes.
Age (mois) 12 36 29
Taille (cm) 78 100 y
On a : y - 100
29 - 36 = 100 - 78 36 - 12 Soit : y - 100
-7 = 22 24 Soit y – 100 = -7 × 11
12 Soit y = 100 - 77
12 D’où y ≈93,6 cm
La taille estimée de Benoît à 29 mois est d’environ 93,6 cm.
Evolution de la taille de Benoît
0 20 40 60 80 100 120
0 6 12 18 24 30 36 42
Age en mois
Taille en cm 75
10,5
