tj il i

Leçon 33 Vecteurs dans le plan- Repèrage Activités

6

)

4

3 2

I

2 3 4 5.6 7

⁸

a.

^{Dans le}

^plan

muni d'un repère, le

point B( _;

6) est

l'image

de A(3

; 4)par

la hanslation de vecteur

i.

On constate que le point B est obtenu à partir de

A

par glissement horizontal de I unité puis vertical de 2 unités.

on écrit ;

=

[l-l

^{, on}

^dit *. _[l-l

^{sont les}

L'J L'J

coordonnées

de i.

b.

Calculer les coordonnées

de

^g

: C6

tel que

C(I ; 2) , D(3

;

l).

c. soit

les vecteurs

; ='FE= fil _{Lsl "t} i

^{= GÀ}

⁼ⁱ _L-zl il

Déterminer les coordonnées des

points

F et G.

d.

^Lire les coordonnées du

point E

et calculer les coordonnées des vecteurs

EÉ, et 7É

Le

cours

1.

Repère

du plan

Un point

origine

O et deux vecteurs non colinéaires forment un repère du plan.

Repère quelconque Repère orthogonal Repère orthonormé

+? tj

i

^et

j

non colinéaires

i

et

j

orthogonaux

t * j

ofthogonaux et de

norme

I

2.

Repère et coordonnées

-

Soit M un

point

quelconque du

plan

de repère

e ;f

^, T)

,lexiste

^{un couple}

(x

_:

y)de

nombres réels tels que

t Où :

*?

*

_1f ^.

| * _T

sont les vecteurs unitaires de coordonnées respectives

(l ;0\

^et

⁽⁰ ; l).

on note

,o=

[t 'l

", ^{l= fol}

LOJ

^LI

]

Le

couple

(x : y)

est le couple de coordonnées dh poiht

M

ou de vecteur

Où

duns le repère

e ;f

,

h.

- Dire que le

vecteur I

^apour coordonnées

(x

_;

y) signifie

qu"

I

=

rl * _1f

.

on

note alors

l(x;

_-y)

ou

bien

l= f"l

Lvl

f,héorème

- Soit A(*n; y,) et B(x, tyr)

^{dans unrepère}

@;l ,T).Uvecteur IÉ ^upou,

coordonnée

s (x, - ^xn

^,

la - !). ^{On écrit}

^nE

=1" ^{- x^1} Lyu-yn)

-

Le vecteur nur _est re vecteur de

cordonnu.ri:]. on écrit E= fol.

LOJ

^LOJ

Exemple

I

: Dans un repère

e;l

^,

Ï),

^{ondonne les}

^{points A(r;3) et} B(4 _; 2)

.

Construire les représentants _des vecteurs de coordonnées

I il

-d'origines respectifs

L- 2)

O,AetB.

Solution:

Exemple 2 : Dans un repère orthonormé, on considère les

points A(2;3) et B(l; ^_ l)

^. Calculer les coordonnées des vecteurs

iË

"t ffi.

Solution:

Mathématique _C4-154

Propriétés des

coordonnées

Soit

deux

vecteurs

de coordonnées

lal [cl

l

'

Lri

⁼

Lrl ^tt

^{et seulement}

^si

^:

la1 [cl

la+cl 2' LrJ.lol: ^rb+d)

^ ^lol {,1 lo-,f

3 Lrl-Lrl ^=Lu-o)

sont colinéaires. si et

unrepère fo;1,Ï).

ad :bc

ou ad

-bc:O.

-3

[;]"[;]

ai =3i=,[l

⁼

[[1*,i]: [;]

3. Norme

dtun vecteur

l"f ^lanf

4' "lul:l"ul' ^a

^{est un réel'}

5.

Les vecteurs

seulement si,

est

un tableau

de

proportionnalité.

On a

alors

:

Exemple 3 :

Soit

deux vecteu

,, i:[]], ^t

=

[-l " "

Calculer i*i; i-i; -i; ^oi.

Solution:

fzf .|--tl =l?*(-iI ^{_ [2-'.l}

^_

^{[t I}

*":LrJ'L

oJ L ^{3*+J =Lg.rl=LrJ}

; _; :[rl_f-'

l

=fr-(-r)'l ^_ tz+r1

^{|- g}

I

L3j

-L oj=L 3-4 )=Lr-oJ=L-'j

- ^t-tl _{[FtX-t)l I} ^t I

_ v =

(_,1

;j

⁼ _{Li_}

;î_i,l :

L_

_l

Dans un repère

Q ;l

^,

Ï),

ondonne les

points

Q(x2; yz)

p(x,

_,

_{y,\et e@, ;} !)

^:

la distance

PQ

ou la norme du vecteur

PQ

^:

PQ=llFoll=ffi

Exemple 4 : Calcuter la norme des

vecteu., i

=

[i] ^"t t:

[f]

Solution'

_ilAl

: Jr\4'

=

Jg +t6 :

J25

=5 M =.ÆI<*f

⁼

^it+rs :

J36

=6

4. ^Vecfeur unitaire Définition

-

^Un

^{vecteur unitaire}

^{est un}

^vecteur

^{de norme}

l.

t- ^"l

-

^Soit

^{le vecteur} I _=lo

^l.

LôI

l- ^"l

Le vecteur non

nul

est unitaire et a le même sens que le

vecteur I =l:

^I

Lb)

est le vecte

ur,

^E,

: I = Ll"1

U41-

'17.ç ^{lo )'}

Exemple 5 : Calculer les coordonnées du vecteur

AB

tel que

A(2; - l)

^{et B(3}

^{; l)}

puis donner le

vecteur unitaire en fonction de

i ^et _J ^q"i

^{a le} même sens que le vecteur

Æ

^.

Solution: ^'

onaÆ=[i_ê,,] :[;]

" ^{ilÆll :11'*v =6}

Donc le vecteur

unitaire

qui a le même sens que

lsvecteur

^-AB

est:

Exercices

Mathématique C4-156

['l

on écrit"u,,i

| : _l:+ti].âH :f, .fr;

L6j

l.

Déterminer les coordonnées des vecteurs

AB et BA

dans chacun des cas suivants.

a. A(-z _; \); ^Be ;2) ^b.

^{,<(o ; o;)}

; B(r

;

a)

c. A(-z;-s)); B(t;2) d. ,q(t;-zù; Be;3)

2.

Dans un repère orthonormé, on considère les points

A(2 ;3), ^B(-2

;

4) et C(-l

_;

-

^{3) .}

Calculer les coordonnées des

vecteurs AB ,7ô ,Eô ,EÀ,CÀ ^et

^{CÊ .}

-l- ^2l

3. Soit l(3 _;2) et ful _.

| . Calculer les ôoordonnées des points

R

ei

g

_{tels que} L_ ^I-J

7É:Ttt et :À:TCI

^.

l-- rl - ^l-rl

4. ^Soit a=l ^lFb:l,l.Calculer:

L 3r _L-r

a.à-st . ^.b. levecteuropposéeà-si

lal - lcl ^lel

5. ^Soit u:1. l,v=l

^-

l,w=l _^l etdeuxréels 2el p.

LbJ' LdJ ^Lfl

Vérifier

chacune des éealités suivantes.

A. U+V = ^v+u t- -\

b. 2\" - ^r'l=

^{2u =}

^2v

/ -\

c. l\pv)=\4t1,

d. (2: pfr

₌

7): pi

/..-\-t--\

e. (ar+v)+w=u+V+w)

6. ^Citer

les couples de vecteurs colinéaires.

[l] [i]'[-i] [f [l] [l],[i] [i]

7.

Exprimerchacun des vecteurs suivants en fonction de

i ^et

1- ^. l-r

I

a. ^Ao =l .l

L4_l

b. ,tE t"tque A(3;2) et B(4;l)

c. C6 taque C(-3;4)

et

D(l;-2)

8.

^Calculer la norme de chacun des vecteurs suivants.

t-tl l- 3l l--rl l-:l u. _{l., Lor L-} l,l .l,l _4)'t-4) ^{.l,l^l}

₁₂₎

b. AB

tel

que A(l ;2) ^{et B(5} ;7).

9.

^{Résoudre les équations suivantes :}

l-t

-l _t-ll ltl

^l-r

I ^l-- rl l-ll

a. xl l+yl l=l I b.x| l+vl l=l

^I

L2)'L4J L8J ^{L3J 'L} rl

_L2)

, ^{10. Trouver}

le vecteur

unitaire

en fonction de

i et ./

^{qui a le} même sens que chacun des vecteurs suivants.

lz1 - ^l-zf

; a.u:l .l b.u:l ^l ^c.AB telqueA(l;_3)et'B(_4;5).

LIJ ^{L 3I}

I

l. Trouver

le vecteur de 4 unités et colinéaires à chaque vecteurs ci-dessous.

lzl ^l-21

a. u=| . I ^b. u=l _- | ^{c. AB} telqueA(l;-3) et B(-4;5)

LIJ L3J ^A-\-7

3

Mathématique C4-158