Leçon 142 - PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
Références : Calais (Th. des anneaux), Cohen, Perrin, Demazure, Beck-Malick-Peyré, Combes, Szpirglas, Duverney.
Développements : algorithme de Berlekamp, théorème de Sophie Germain.
Cadre : Soit A un anneau intègre,Kun corps. Tous les anneaux sont supposés com- mutatifs et unitaires.
1. Cadre théorique : anneaux factoriels et principaux. —
1.1. Définition et premières propriétés, cadre des anneaux principaux. — (Calais (Th.
des anneaux)) Définition du pgcd, du ppcm, unicité à un inversible près, exemples, relation entre pgcd et ppcm, caractérisations du pgcd et ppcm en termes d’idéaux, c-ex de(X) + (Y) = (X, Y)”= (1)dansK[X, Y], anneaux à pgcd, éléments premiers entre eux, théorème de Gauss. Existence et caractérisation dans un anneau principal, théorème de Bézout, exemples.
1.2. Existence dans les anneaux factoriels. — (Calais (Th. des anneaux)) Principal
∆factoriel, existence et forme du pgcd et du ppcm dans un anneau factoriel. (ouPerrin) Définition du contenu de f œ A[X], multiplicativité du contenu, théorème de Gauss et description des irréductibles.
2. Anneaux euclidiens : algorithmes de calcul. —
2.1. Conséquences de la division euclidienne. — (Calais (Th. des anneaux)) Eu- clidien ∆ principal, exemple de Z,Z[i] et A[X] euclidien ssi A est un corps. Algo- rithme d’Euclide, exemple de pgcd(4 + 7i,8 ≠i) = 1≠2i. (Cohen) Complexité de l’algorithme d’Euclide, algorithme binaire, algorithme d’Euclide étendu, remarque sur le binaire étendu, remarque sur l’inversion modulon, dans un corps fini. Théorème Chinois, algorithme effectif.
2.2. Anneaux de polynôme. — (Cohen) Algorithme d’Euclide sur A[X], A euclidien.
(Beck-Malick-Peyré) Réduction sans carré sur Fp[X],devalgorithme de Berlekamp.
3. Applications du PGCD. —
3.1. Résultant. — (Szpirglas) Définition du résultant de deux polynômes sur un anneau factoriel, le résultant est nul ssi ils ont un facteur commun. Application à l’élimination.
(Cohen) Algorithme de calcul.
3.2. Matrices sur un anneau. — (Cohen) Forme normale de Hermite, algorithme de calcul, application à la détermination d’une base de l’image d’une matrice, du noyau, algorithme. (Beck-Malick-Peyré) Forme normale de smith, algorithme de calcul, ap- plication au théorème de la base adaptée, invariants de similitudes, réduction de Frobenius.
3.3. Équations diophantiennes. — (Combes) ax+by = c admet une solution ssi d = a·b | c et les solutions sont les (x0 +bk/d, y0 ≠ak/d) pour k œ Z où (x0, y0) est une solution particulière, et on peut trouver une solution particulière par l’algorithme d’Euclide. Exemples de15x+9y= 6de solutions(4+3k,≠2≠5k)et15x+9y= 5n’admet pas de solutions. Application de la forme normale de Hermite à la résolution d’un système d’équation diophantiennes. dev Théorème de Sophie Germain. (Duverney) Équation de Fermat pourn= 3.
4. Annexe. — Algorithme d’Euclide, binaire, d’Euclide étendu, théorème chinois effec- tif, d’Euclide sur A[X], de calcul du résultant, forme normale de Hermite, du calcul du noyau d’une matrice, forme normale de Smith.
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