MAT244 Universit´e de Grenoble
2015–2016 Centre Drˆome-Ard`eche
Feuille d’exercices n
o3 : S´ eries
Exercice 1 : Nature de s´eries
D´eterminer la nature des s´eries de terme g´en´eral : 1. un= en
n5+ 1 ; 2. un= 2n+n2
3nn2+ 1; 3. un= en1
n+ 1; 4. un= e1n −1
√n+ 1; 5. un=nln
1 + 1 n
(n ≥1) ; 6. un= e−n
4 + sinn;
7. un= 1−nln(1 + 1n)
√n+ 1 ; 8. un= lnn
n ; 9. un=
1 + 1
√n n
(n≥1) ; 10. un=ne−n;
11. un= 1− 1
√n n
(n≥2) ; 12. un= n!
nn (n≥1) ; 13. un= tan
1 n
− 1 n ; 14. un=n2 sin1
n + cos 1 n +
ln(1− 1 n)
2
−e1n
! .
Exercice 2 : S´eries de Bertrand
En utilisant le th´eor`eme de comparaison entre s´erie et int´egrale, donner la nature des s´eries de la forme X
n≥1
1
nlnαn avecα∈R.
Exercice 3 : Calcul de P
n>1nxn−1 Soit x un nombre r´eel, avec |x|<1.
1. Montrer que P
nxn etP
nnxn−1 convergent.
2. Donner des expressions ferm´ees (c’est-`a-dire sans signe P ) de
N
X
n=0
xn et
N
X
n=1
nxn−1.
3. En d´eduire la valeur de P
n>1nxn−1.
4. Montrer que les s´eries suivantes convergent et calculer leurs sommes : (a)
∞
X
n=1
(n−2)3−n+ (n−3)2−n
(b)
∞
X
n=1
(n2−2n)3−n
Exercice 4 : D´eveloppement en s´erie enti`ere
1. Soitf une fonction de classe C∞ sur un intervalle I contenant 0, montrer que, pour tout n∈N et x∈I, on a
f(x) =f(0) +f0(0)x+f00(0)
2 x2+. . .+f(n)(0) n! xn+
Z x
0
f(n+1)(t)
n! (x−t)ndt . 2. En d´eduire que pour tout x∈R on a
ex =
∞
X
k=0
xk k! .
3. Pour tout x ∈] −1,1], montrer que la s´erie de terme g´en´eral (−1)n−1xn
n converge et montrer que sa somme v´erifie
+∞
X
n=1
(−1)n−1xn
n = ln(1 +x) .
En d´eduire la somme de
∞
X
n=1
(−1)n n et de
∞
X
n=2
1 n2n.
Exercice 5 : S´eries `a terme g´en´eral positif d´ecroissant Soit (un)n une suite positive d´ecroissante telle queP
un converge. Montrer que pour toutε >0 il existe N ∈N tel que pour tout n > N on ait (n−N)un 6ε. En d´eduire quenun tend vers 0 quand n tend vers +∞.
Donner un exemple de suite positive (vn)n telle queP
vn converge et nvn ne tend pas vers 0.
Exercice 6 : O`u on utilise l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz Soit (un)n une suite `a termes positifs, et notons vn = 1
1 +n2un
. 1. Montrer par des exemples que la divergence de P
un ne permet pas de d´eterminer la nature de P
vn.
On suppose dans la suite que P
un converge et on va montrer que P
vn diverge.
2. Traiter le cas o`un2un ne tend pas vers +∞.
3. Traiter le cas o`un2un→+∞en appliquant l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz `a
N
X
n=0
u1/2n v1/2n .
Exercice 7 : Un crit`ere de rationnalit´e
Montrer qu’un r´eel xest rationnel si et seulement si son d´eveloppement d´ecimal est p´eriodique
`
a partir d’un certain rang. Donner un exemple de nombre irrationnel en utilisant ce crit`ere.
