DST Terminale S 3h

2008-2009 TS

Sujet 1/ 4

DST Terminale S 3h

Certains résultats seront admis, il sera parfois nécessaire de se servir de ces résultats dans la suite du problème.

Ces résultats admis seront systématiquement encadrés comme ceci : admis : ...

Exercice 1

Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct (O;~u, ~v), on considère les trois points A, B et C d’affixes respectives1, 2 + 2iet1−i.

1. Représenter A,B etC sur le dessin donné ci-dessous.

2. Déterminer le module et un argument de 2 + 2i

1−i. En déduire la nature du triangleOBC.

3. Que représente la droite (OA)pour le triangleOBC? Justifier votre affirmation.

4. SoitD l’image deOpar la rotation d’angle−π

2 et de centreC. Déterminer l’affixe deD. admis :zD= 2 5. Quelle est la nature du quadrilatèreOCDB?

1 2 3

−1

−2

1 2 3

−1

−2

−

→u

−

→v

O

Exercice 2

Soitθun réel, et z= cos(θ) +isin(θ).

1. Calculer le module de zet un argument dez.

2. a. Exprimer de façon simple la forme algébrique de 1 z.

b. Exprimer de façon simple la forme algébrique de z. Que remarque t-on ? c. Exprimer de façon simple la forme algébrique de z×z.

d. Déduire de ce qui précède le module et un argument de 1 z.

3. Si uest un nombre complexe, quelle relation a-t-on entreuet upour caractériser le fait queusoit réel ? Redémontrez cette relation.

4. Soitu=1 +z+z²

1 +z² . En utilisant ce qui précède, montrer queuest un réel.

2008-2009 TS

Sujet 2/ 4

Exercice 3

Cet exercice est un QCM. Vous répondrez en entourant la bonne réponse dans ce tableau : Question 1 : a b c d

Question 2 : a b c d Question 3 : a b c d Question 4 : a b c d Question 5 : a b c d Question 6 : a b c d Question 7 : a b c d Question 8 : a b c d Question 9 : a b c d Question 10 : a b c d

Une bonne réponse rapporte 1 point, une mauvaise réponse enlève 1/2 point ; l’absence de réponse n’enlève pas de point.

Question 1 : Siz= 3−3ialors|z|est égal à :

a) 3 b) 18 c) 3√

2 d) 0

Question 2 : Siz= 3−3ialors, modulo2π, un argument dez est égal à : a) π

4 b) cosπ

4

c) cos

−π 4

d) −π 4 Question 3 : Si|z|= 2et arg(z) = 5π

4 [2π]alorszest égal à : a) √

2 +i√

2 b) −√

2−i√

2 c) −√

2 +i√

2 d) √

2−i√ 2 Question 4 : Si|z|= 2et arg(z) = 5π

12 [2π]alors la partie imaginaire dez est égal à : a) Im(z) = 2isin

5π

12

b) Im(z) = 2 c) Im(z) = 2 cos

5π

12

d) Im(z) = 2 sin

5π

12

Question 5 : Siz=i(3 + 4i)alors la partie réelle dez est égale à :

a) Re(z) = 3 b) Re(z) = 4 c) Re(z) =−3 d) Re(z) =−4 Question 6 : Siz= 1

−i alors|z|est égal à :

a) 1 b) 2 c) −1 d) i

Question 7 : Siz=3−4i

2 +i alorsz est aussi égal à : a) 2−11i

5 b) 2−11i

4 c) 10−5i

5 = 2−i d) 2 +i

Question 8 : Siz=−2

cos

5π

12

+isin

5π

12

alors un argument dez, modulo2π, est égal à : a) 5π

12 b) −5π

12 c) −7π

12 d) 7π

12 Question 9 : Siz= 7

−cos

5π

12

+isin

5π

12

alors un argument dez, modulo2π, est égal à : a) 5π

12 b) −5π

12 c) −7π

12 d) 7π

12 Question 10 : Si z= 1

i alorsz est aussi égal à :

a) 1 b) i c) −1 d) −i

2008-2009 TS

Sujet 3/ 4

Exercice 4

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct(O;~u, ~v)unité graphique :4cm.

On considère le pointAd’affixezA= 2 +iet le cercle (Γ) de centreAet de rayon √ 2.

1. Faire une figure qui sera complétée tout au long de l’exercice (compléter la figure ci-dessous).

2. a. Déterminer graphiquement, puis par le calcul, les affixes des points d’intersection de (Γ) et de l’axe O ; −→

u

. Indication : Mz appartient à l’axe O ; −→

u

ssiz=αest un réel b. On désigne parB et Cles points d’affixes respectiveszB= 1 etzC= 3.

Déterminer l’affixe zDdu pointD diamétralement opposé au pointB sur le cercle (Γ).

3. SoitM le point d’affixe 3 5+6

5i.

a. Calculer le nombre complexe zD−zM

zB−zM

.

b. Interpréter géométriquement un argument du nombrezD−zM

zB−zM

; en déduire que le pointMappartient au cercle (Γ).

4. On note (Γ^′) le cercle de diamètre[AB].

La droite(BM)recoupe le cercle (Γ^′) en un pointN. a. Montrer que les droites(DM)et(AN)sont parallèles.

b. Déterminer l’affixe du pointN.

5. On désigne parM^′ l’image du pointM par la rotation de centreB et d’angle−π 2. a. Déterminer l’affixe du pointM^′.

b. Montrer que le pointM^′ appartient au cercle (Γ^′).

ANNEXE DESSIN EXERCICE 4

1 2

1 2

−

→u

−

→v

2008-2009 TS

Sujet 4/ 4

Exercice 5

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct(O;~u, ~v). On prendra pour le dessin :k−→

uk= 4cm.

M est un point d’affixez non nul. On désigne parM^′ le point d’affixez^′ telle que z^′=− 1

z oùzdésigne le conjugué du nombre complexe z.

A - Quelques propriétés

1. Soitzun nombre complexe non nul. Déterminer une relation entre les modules dezetz^′ puis une relation entre les arguments de zet z^′.

2. Démontrer que les points O,M etM^′ sont alignés.

3. Démontrer que pour tout nombre complexe znon nul on a l’égalité : z^′+ 1 = 1

z(z−1)

B - Construction de l’image d’un point

On désigne parAet B les deux points d’affixes respectives1 et−1.

On noteC l’ensemble des pointsM du plan dont l’affixezvérifie :|z−1|= 1.

1. Que représente géométriquement|z−1|? En déduire la nature de l’ensemble C? 2. SoitM un point deCd’affixez, distinct du pointO.

a. Démontrer que|z^′+ 1|=|z^′|. Interpréter géométriquement cette égalité.

b. Est-il vrai que si z^′ vérifie l’égalité :|z^′+ 1|=|z^′|, alorsz vérifie l’égalité :|z−1|= 1?

3. Tracer l’ensembleCsur une figure. SiM est un point deC, décrire et réaliser la construction du pointM^′.

1 2

−1

1 2

−

→u

−

→v