D229 Deux fourmis en balade… [**** à la main]
Solution de Pierre Jullien :
Il est toujours intéressant d’expliquer le cheminement qui conduit à une solution.
Dans un premier temps, on ne voit pas bien où il y a problème :les deux fourmis n’ont qu’à se suivre, en faisant le tour du quadrilatère !
Ce n’est pas si simple un quadrilatère n’est pas un cercle. Il y a problème pour prendre les virages. Si l’angle est aigu, il faut manœuvrer d’autant plus que l’angle est faible. D’où l’idée de résoudre proprement ce problème de virage.
Le schéma ci-dessous décrit la manœuvre à faire pour franchir un sommet S du quadrilatère (l’angle en S étant aigu).
Partant de la situation u1v1 on passe par continuité aux autres situations jusqu’à obtenir u6v6, où le virage est pris. On peut imaginer que u et v sont aux extrémités d’une barre rigide ; au début u se déplace et contraint v ; ensuite v se déplace et contraint u. On observe que v passe à gauche de u après u4v4, où u4 est à 1 cm de l’autre coté de l’angle S.
C’est ce constat qui est la clef qui nous permet de répondre aux questions.
Les fourmis ne pourront pas se suivre au-delà de S si le sommet T, suivant S, est à moins de 1 cm du coté précédent.
D’où trois exemplaires des quadrilatères demandés
Q1 est un carré de 10 cm de coté (u et v peuvent se suivre sans manœuvre) ; Q2 est un losange dont les diagonales mesurent 0,9 et 20 cm.
Si initialement, où qu’elle soit, la fourmi u est à gauche de la fourmi v, cet état de fait perdure lors des déplacements du couple. La fourmi v pourra suivre u sur BC mais ne pourra atteindre le sommet A (ni sur AD ni sur AB) ; de même, la fourmi u pourra suivre v sur AD mais ne pourra atteindre le sommet C (ni sur BC ni sur DC).
Q3 est un quadrilatère croisé, dont les sommets sont ceux d’un rectangle de cotés 0,9 et 10 cm
Si initialement les fourmis u et v sont toutes les deux sur un même coté aucune des deux ne pourra aller sur le coté opposé. C’est le cas ci-dessus, où u peut aller contourner A et revenir vers chercher v (pour être toute les deux sur AB) mais ni l’une ni l’autre ne pourront aller sur CD.
