Enonc´e noA538 (Diophante) M´eli-m´elo de parenth`eses
Par commodit´e on ´ecrit ab =a∧b. Dans l’expression n =a∧b∧c, il est indispensable de pr´eciser l’ordre des op´erations pour d´eterminer la valeur de n. Pour ce faire on utilise des parenth`eses. Par exemple, si n= 4∧3∧2, on a respectivement n1 = 4∧(3∧2) = 4∧9 = 262144 qui est diff´erent den2 = (4∧3)∧2 = 64∧2 = 4096.
Soitn= 9∧9∧9∧9∧9∧9∧9∧9∧9∧9∧9∧9 dans laquelle le chiffre 9 apparaˆıt douze fois. D´eterminer le nombre k de fa¸cons distinctes de placer le nombre appropri´e de parenth`eses qui permettent de calculer n.
Montrer que parmi les expressions ainsi obtenues, il y en a au moins huit qui ont la mˆeme valeur.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Aussi bien que par des parenth`eses, l’ordre des op´erations peut ˆetre exprim´e par la notation “polonaise” (ou pr´efix´ee). L’expression com- mence par le signe d’op´eration (j’emploierai ici le signe |), se termine par deux op´erandes, et sauf pour l’expression compl`ete, dans leskpre- miers signes (op´eration ou op´erande) il y a au moins autant d’op´erations que d’op´erandes.
Les exemples de l’´enonc´e s’´ecrivent ainsi |4|32 = 262144, ||432 = 4096.
Une expression `a nop´erandes est figur´ee par une marche dans un qua- drillage, partant de l’origine, avec un pas vers la droite pour chaque signe d’op´eration, et un pas vers le haut pour chaque op´erande. Si l’on omet le dernier op´erande, cette marche est un parcours en escalier dans un carr´e de cˆot´en−1, joignant les extr´emit´es de la diagonale montante.
De mani`ere g´en´erale, un tel parcours revient `a choisir les n−1 rangs o`u figurent les op´erandes, parmi les 2n−2 signes au total ; il y a donc N = C2n−2n−1 parcours, sans la restriction sur la croissance du nombre d’op´erandes limit´ee `a celle du nombre d’op´erations.
Parmi lesN parcours, ceux qui violent cette restriction touchent, voire franchissent, la parall`ele y = x+ 1 `a la diagonale montante. Je les d´enombre par le principe du miroir de D´esir´e Andr´e : je remplace la partie d’un tel parcours entre l’origine et le premier point de rencontre avec la parall`ele par son sym´etrique par rapport `a cette parall`ele. Ces parcours modifi´es s’inscrivent dans un rectangle denpas de large pour n−2 pas de haut, et sont en nombre N0 = C2n−2n−2 . R´eciproquement, tout parcours joignant les extr´emit´es de la diagonale montante de ce rectangle croise la droite y = x+ 1, et la partie `a gauche du premier point de croisement fournit un parcours du carr´e violant la restriction.
Le nombre d’op´erations diff´erentes surnop´erandes est ainsi le nombre (de Catalan)
N −N0 =C2n−2n−1 −C2n−2n−2 = (2n−2)!
n!(n−1)!
Pour 12 op´erandes, 22!/(12!11!) = 58786.
En recherchant des expressions de mˆeme valeur r´ep´etant un mˆeme op´erande, on constate que
||a|aaa= (a∧(aa))a=a∧(aa+1) = (aa)∧(aa) =||aa|aa.
Dans une expression `a trois op´erandes telle que ||EEE, on obtient huit expressions `a 12 op´erandes de mˆeme valeur en substituant chacun des symbolesE par l’une ou l’autre des expressions||a|aaa ou ||aa|aa.
Aveca= 9, cette valeur est 9∧(9∧(10 + 2·910)).
L’autre expression posssible `a trois op´erandes |E|EE conduit `a huit autres expressions de mˆeme valeur (plus grande que la pr´ec´edente) 9∧(9∧(10 + 9∧(10 + 910))).
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