Réponse : Commençons d’abord par décomposer en produit de facteurs premiers 5 544 : 5 544 = 2

(1)

Réponse :

Commençons d’abord par décomposer en produit de facteurs premiers 5 544 : 5 544 = 2³× 3²× 7 × 11 Utilisons maintenant quelques critères de divisibilité.

 D’après la décomposition N est divisible par 4, donc le nombre 2d est divisible par 4.

Ainsi, 𝑑 = 0 𝑜𝑢 𝑑 = 4 𝑜𝑢 𝑑 = 8

Mais 5 544 n’est pas divisible par 5, donc N non plus, ainsi 𝑑 ≠ 0 De sorte que 𝒅 = 𝟒 𝒐𝒖 𝒅 = 𝟖

 5 544 est divisible par 11, donc N aussi, ainsi :

𝑎 − 1 + 2 − 𝑏 + 𝑐 − 4 + 2 − 𝑑 = 11𝑘 (𝑘 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟) Soit :

𝑎 − 𝑏 + 𝑐 − 𝑑 = 11𝑘 + 1 (1)

 5 544 est divisible par 9, donc N aussi :

𝑎 + 1 + 2 + 𝑏 + 𝑐 + 4 + 2 + 𝑑 = 9𝑝 (𝑝 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟) Soit :

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 9𝑝 − 9 = 9𝑣 (𝑣 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑠𝑢𝑝é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟 𝑜𝑢 é𝑔𝑎𝑙 à 1) (2) Commençons par le cas où k = 0

D’après (1) on a alors :

𝑎 + 𝑐 = 1 + 𝑏 + 𝑑 Substituons a+c dans (2), cela donne :

2𝑏 + 2𝑑 = 9𝑣 − 1 𝑆𝑖 𝑑 = 4 on a alors :

2𝑏 = 9𝑣 − 9 si 𝑣 = 1

2𝑏 = 0 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑏 = 0 Si 𝑣 = 2

2𝑏 = 17 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 Si 𝑣 = 3

2𝑏 = 18 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑏 = 9 Inutile d’incrémenter à nouveau la valeur de v.

pour 𝑑 = 4 on obtient les couples (𝑏; 𝑑) = (0; 4) 𝑜𝑢 (𝑏; 𝑑) = (9; 4)

(2)

𝑆𝑖 𝑑 = 8 on a alors :

2𝑏 = 9𝑣 − 17 𝑆𝑖 𝑣 = 2

2𝑏 = 1 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑆𝑖 𝑣 = 3

2𝑏 = 10 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑏 = 5 𝑆𝑖 𝑣 = 4

2𝑏 = 19 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 Inutile d’incrémenter à nouveau la valeur de v.

Le seul couple possible est (𝑏; 𝑑) = (5; 8)

Avec les 3 couples trouvés (0 ;4) , (9 ;4) et (5 ;8) étudions les valeurs possible pour a et c.

𝑺𝒊 (𝒃; 𝒅) = (𝟎; 𝟒) (𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒗 = 𝟏) Par la relation (2) on a :

𝑎 + 𝑐 = 5 (𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎 ≠ 0) Les couples (a ;c) possibles sont donc :

(𝑎; 𝑐) ∈ {(1; 4); (2; 3); (3; 2); (4; 1); (5; 0)}

Les nombres N générés par ces valeurs de a, b, c, d sont :

11204424 21203424 31202424 41201424 51200424 Parmi ces nombres, seul 11204424 est divisible par 5 544.

𝑺𝒊 (𝒃; 𝒅) = (𝟓; 𝟖) (𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒗 = 𝟑)

Par la relation (2) on a :

(𝑎; 𝑐) ∈ {(5; 9); (6; 8); (7; 7); (8; 6); (9; 5)}

51259428 61258428 71257428 81256428 91255428 Parmi ces nombres, aucun n’est divisible par 5 544.

(3)

𝑺𝒊 (𝒃; 𝒅) = (𝟗; 𝟒) (𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒗 = 𝟑)

Par la relation (2) on a :

(𝑎; 𝑐) ∈ {(5; 9); (6; 8); (7; 7); (8; 6); (9; 5)}

51299424 61298424 71297424 81296424 91295424 Parmi ces nombres, aucun n’est divisible par 5 544.

Etudions maintenant le cas où k = 1 D’après (1) on a alors :

𝑎 + 𝑐 = 12 + 𝑏 + 𝑑 Substituons a+c dans (2), cela donne :

2𝑏 + 2𝑑 = 9𝑣 − 12 𝑆𝑖 𝑑 = 4 on a alors :

2𝑏 = 9𝑣 − 12 La seule valeur de v possible est 𝑣 = 4

Et cela donne :

𝑏 = 8 𝑆𝑖 𝑑 = 8 on a alors :

2𝑏 = 9𝑣 − 28

La seule valeur de v possible est 𝑣 = 4 Et cela donne :

𝑏 = 4

Avec les 2 couples trouvés (8 ;4) et (4 ;8) étudions les valeurs possible pour a et c.

𝑺𝒊 (𝒃; 𝒅) = (𝟖; 𝟒) (𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒗 = 𝟒) Par la relation (2) on obtient :

𝑎 + 𝑐 = 24 Aucune valeur de a et c n’est possible.

(4)

𝑺𝒊 (𝒃; 𝒅) = (𝟒; 𝟖) (𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒗 = 𝟒) Par la relation (2) on obtient encore :

𝑎 + 𝑐 = 24 Aucune valeur de a et c n’est possible.

Conclusion :

La seule possibilité trouvée est le nombre :

𝑁 = 11 204 424 Et on a :

𝑁

5 544= 2 021