Alg` ebre et analyse fondamentales II
MM4 (12 ECTS, coef. 4)
Modalit´es d’´evaluation : contrˆole continu et examen terminal Pr´e-requis : S1,S2,S3 Math´ematiques
Parcours int´egrant obligatoirement cette UE :Math´ematiques, Math´ematiques et Informatique
Parcours pouvant int´egrer cette UE : tous les autres parcours.
Programme des enseignements Int´egrale double
– fonction int´egrable sur un domaine born´e convenable deR2et notion d’aire (pas de th´eorie) ; calcul d’une int´egrale double par int´egrales simples successives (admis) ; – changement de variables pour les coordonn´ees polaires.
S´eries de fonctions
– s´erie de fonctions convergente ; convergence uniforme et convergence normale ; – th´eor`emes de passage `a la limite terme `a terme, de continuit´e de la somme, d’int´egration
terme `a terme et de d´erivabilit´e de la somme ; – exemples d’utilisation de la transformation d’Abel ;
– s´eries enti`eres, rayon de convergence ; int´egration et d´erivation terme `a terme ; pro- duit de deux s´eries enti`eres ;
– d´eveloppement des fonctions usuelles, fonctions d´eveloppables en s´erie enti`ere.
Int´egrales `a param`etre
– int´egrale (`a param`etre r´eel) sur un segment : continuit´e et d´erivation sous le signe somme ;
– int´egrale impropre `a param`etre : continuit´e et d´erivation sous le signe somme.
Forme bilin´eaire sym´etrique et forme quadratique (surR)
– forme bilin´eaire sym´etrique, forme quadratique, identit´e de polarisation ; vecteurs orthogonaux, orthogonal d’un sous-espace ; forme non d´eg´en´er´ee ;
– (en dimension finie) matrice d’une forme bilin´eaire dans une base, expression ma- tricielle ; formule de changement de base ;
– (en dimension finie) d´ecomposition d’une forme quadratique en une somme de carr´es de formes lin´eaires ind´ependantes ; existence et recherche de bases orthogonales.
Espace euclidien
– produit scalaire, norme euclidienne ; in´egalit´e de Cauchy-Schwarz ; th´eor`eme de Py- thagore ;
– sous-espaces orthogonaux ; projection et sym´etrie orthogonale ;
– (en dimension finie) base orthonorm´ee, coordonn´ees d’un vecteur dans une base orthonorm´ee (expression du produit scalaire et de la norme) ; orthonormalisation de Gram-Schmidt ;
– isom´etrie d’un espace euclidien de dimension finie ; matrice orthogonale ; groupe orthogonal ; classification des matrices orthogonales de taille 2 ; rotation et sym´etrie vectorielle en dimension 2 ou 3.
Endomorphisme sym´etrique d’un espace euclidien
– adjoint d’un endomorphisme d’un espace euclidien, matrice de l’adjoint ; endomor- phisme sym´etrique ;
– diagonalisation des matrices sym´etriques r´eelles dans le groupe orthogonal ; re- cherche d’une base orthonorm´ee orthogonale pour une forme quadratique donn´ee ; recherche des axes d’une ellipse ou d’une hyperbole.
Objectifs :Outils fondamentaux de l’analyse, alg`ebre des espaces euclidiens ou her- mitiens.
