TP06 - Intégrales et coefficients de Fourier

informatique - S1

TP06 - Intégrales et coefficients de Fourier

1. Calcul approché d’intégrales par la méthode des trapèzes : Pour approcher numériquement la valeur de l’intégraleRb

a f d’une fonc- tion continuef, on peut utiliser la méthode des trapèzes.

Elle consiste à répartir régulièrement n + 1 nombres a = x0, x1, . . . , x_n−1, x_n =bsur l’intervalle[a, b], puis à additionner les aires des trapèzes de largeur[x_i, x_i+1]et de hauteursf(x_i)à gauche,f(x_i+1)à droite.

On approche donc l’intégrale par b−a n

Pn−1 i=0

f(xi) +f(xi+1)

2 .

(a) Écrire une fonctionfqui prend pour paramètre un réelxet renvoie la valeurln(1 +x).

(b) Écrire la fonctiontrapezesqui prend pour paramètres deux réelsa etb, un entiern, et renvoie la valeur approchée deRb

af obtenue par la méthode des trapèzes àn+ 1points.

(c) Savez-vous calculer la valeur exacte deR¹

0 f?(la réponse devrait être oui...)

Comparez-la aux valeurs obtenues pourn= 10,n = 100,n= 1000.

2. Séries de Fourier :

Sif :R → Rest une fonction2π-périodique et continue par morceaux, on appellecoefficients de Fourierdef les nombres

a_p(f) = 1 π

Z 2π 0

f(t) cos(pt)dt et b_p(f) = 1 π

Z 2π 0

f(t) sin(pt)dt.

On souhaite vérifier graphiquement que les sommes de Fourier S_n(f)(t) = a0

2 + Xn

p=1

(a_pcos(pt) +b_psin(pt))

« se rapprochent » def quandnaugmente.

(a) Ecrire la fonctionfqui a un réel double associe son cosinus redressé double alternance.

(b) Ecrire la fonctionaqui prend pour paramètre un entier p et renvoie a_p(f), calculé en utilisant une méthode des trapèzes à 50 pas.

(c) Ecrire la fonction bqui prend pour paramètre un entier p et renvoie b_p(f), calculé en utilisant une méthode des trapèzes à 50 pas.

(d) On souhaite tracer simultanément la fonctionf et quelques-unes de ses sommes de Fourier sur un intervalle de deux périodes[−2π,2π]:

i. créer une listeXavec 200 valeurs d’abscisses régulièrement répar- ties sur cet intervalle,

ii. créer la listeYavec les 200 valeurs correspondantes de la fonction f,

iii. demander à l’utilisateur une valeur entièren,

iv. placer dans une liste Zles valeurs correspondantes de la fonction S_n(f),

v. tracer sur un même graphique les courbes def etS_n(f).

Tester pour plusieurs valeurs denentre 5 et 100. Qu’observe-t-on ? (e) Procéder de même avec le carré de la fonction cosinus redressé simple

alternance.

(f) Procéder de même avec la fonction f la fonction impaire, 2π- périodique et qui vaut 0 en 0 et π−x

2 sur]0, π].