G240 Le cadenas défectueux Solution de Claudio Baiocchi
On s'intéresse au problème suivant
Chacune des trois roues dentées d'un cadenas à mollettes peut prendre 10 positions repérées par les lettres A à J. Le cadenas est défectueux et s'ouvre quand deux lettres sur trois de la combinaison sont correctement placées. Trois secondes suffisent pour essayer une combinaison quelconque. Puis-je ouvrir le cadenas en moins de cinq minutes ? Si oui, quel est le temps minimum requis ?
Plus généralement, si P est le nombre de positions que chaque roue peut prendre, on vérifie aisément qu'une borne inférieure pour le nombre d'essais est donnée par 1: P2/3.
Par ailleurs cette borne semble irréalisable; à partir des exemples qu'on va traiter ici, on peut conjecturer que la bonne valeur de la borne est P2/2 pour P pair et (P2+1)/2 pour P impair.
Dans le cas P=10 on montrera que 50 essais sont en fait suffisants.
1 Préliminaires
Une stratégie triviale consiste à fixer n'importe comment une lettre pour la première roue et à essayer toute combinaison possible pour les autres roues; ce qui correspond à P2essais. Dans le cas proposé de P=10, on est donc à la limite des 5 minutes permises.
On remarque qu'en général le nombre des codes est P3; tout essai ouvrant 3P codes (P lettres erronées pour chacune des 3 roues) toute stratégie nécessite au moins P3/(3P) essais. En particulier:
•
Pour P=2 la borne (entière) vaut 2. AAA et BBB suffisent: sur trois lettres choisies dans {A,B} une des lettres doit paraître au moins deux fois.•
Pour P=3 la borne vaut 3, mais on vérifie sans peine que tout triplet d'essais est insuffisant; c’est un peu plus long de montrer que 4 essais ne suffisent non plus. Par contre 5 essais suffisent,par exemple : AAA, ABB, BAB, BBA, CCC. Dans la suite on notera [X2Y ] le triplet d'essais XXY, XYX, YXX
(correspondant aux trois codes contenants deux fois X et une fois Y); les 5 essais pour P=3 pourraient donc être décrits sous la forme AAA, [B2
A], CCC.
•
Pour P=4 un petit programme montre que 7 essais ne suffisent pas; et on constate aisément que les 4+4 essais [A2B],BBB, [C2D], DDD sont suffisants.•
Pour P=5 la discussion est plus compliquée. Douze essais ne suffisent pas mais, le résultat n'étant pas évident, pour ne pas attendre des jours devant l'écran de l'ordinateur, il faut un programme assez sophistiqué. On va se borner à contrôler la suffisance des 9+4 essais:[A2B], [B2 C], [C2
A], [D2
E], EEE.
La méthode qu'on va appliquer pour montrer que ces 13 essais suffisent, nous semble intéressante car elle s'applique à des nombreux autres cas. Pour ce qui concerne les trois lettres d'un code, on peut distinguer deux cas:
1.
une des lettres D,E n'apparaît pas et l'autre apparaît au plus une fois;2.
entre D et E, on a au moins deux apparitions.Dans le premier cas le code doit contenir, en position convenable, un couple de lettres issu de {A,B,C}; et tout couple de ce type paraît dans un de neufs essais [A2B]; [B2C]; [C2A].
Pour la même raison, dans le deuxième cas les quatre éléments de [D2E], EEE suffisent, car ils contiennent tout couple issu de {D,E}.
On remarquera que dans le cas P=4 on peut utiliser la même stratégie pour vérifier que les 4+4 essais suggérés donnent une solution.
2 Une variante du problème
On va considérer une variante du problème en supposant que le cadenas s'ouvre si et seulement si les trois roues sont toutes dans la bonne position, mais une de trois roues est cassée. A tout couple (X,Y) de lettres
1Ici et dans la suite: la borne est le plus petit entier au moins égal à la valeur indiquée.
on peut associer trois types de codes: XYZ1, XZ2Y, Z3XY qui, en fonction de la roue cassée et indépendamment des valeurs des lettres Z, peuvent ouvrir le cadenas. Ceci amène à un total de 3P2
"paires" (on va utiliser ce terme pour insister sur le fait qu’une des lettres ne joue aucun rôle).
Tout essai XYZ engendrant 3 paires, on déduit la borne P2pour le nombre minimum d'essais. Les exemples suivants semblent suggérer que la borne P2est toujours atteinte:
•
Pour P=2 la borne vaut 4 et le quadruplet [A2B], BBB suffit.•
Pour P=3 la borne vaut 9, et une solution à 9 est [A2B], [B2C], [C2A].•
Pour P=4 la borne est 16 et l'ordinateur fournit la famille de 16 essais:1.
AAA;ABB;ACC;ADD;2.
BAB;BBA;BCD;BDC;3.
CAC;CBD;CDB;CCA;4.
DAD;DBC;DCB;DAD.On remarque que ces essais engendrent 48 paires et on peut vérifier (de façon analogue à ce qu'on fait pour le sudoku) qu'entre ces paires il n'y a pas de doubles. Autrement dit: aucun couple d'essais n'a pas de paires en commun.
•
Pour P=5 la borne est 25 et l'ordinateur fournit la famille de 25 essais:1.
AAA;ABB;ACC;ADD;AEE;2.
BAB;BBA;BCD;BDE;BEC;3.
CAC;CBD;CCE;CDA;CEB;4.
DAD;DBE;DCB;DDC;DEA;5.
EAE;EBC;ECA;EDB;EED;encore on peut vérifier à la sudoku que cela marche.
3 Conclusions
On pourrait appeler divide et impera la stratégie utilisée au §1: pour traiter le problème du cadenas défectueux à P positions, on partage l'ensemble des P lettres en deux ensembles de P1 et P2 éléments (avec, naturellement, P1 + P2 = P); et on réunit les essais correspondants aux deux cadenas du §2 à P1 et P2
lettres. Le choix le meilleur correspond à P1 et P2 autant proches que possible; donc : P1=P2=P/2 si P est pair, et P1=P2 +1=(P+1)/2 sinon.
Si la conjecture du §2 est correcte on aboutit respectivement à P2/2 et (P2+1)/2 essais.
C'est ainsi qu’on obtient la solution à 13 essais pour P=5 donnée au §1 et qu'on propose une solution à 50 essais pour le problème de départ correspondant à P=10.
On remarque que la stratégie utilisée a l'avantage de travailler avec des petits nombres de lettres, le prix à payer étant qu'elle ne donne aucun renseignement sur l'optimalité du résultat.
