Université Paris 13, Institut Galilée MACS 2 – Probabilités Année universitaire 2011-2012
Fiche 1 – Révisions de probabilités
Lois discrètes, conditionnement, indépendance
Exercice 1. On répartit au hasard bboules dans nurnes numérotées.
1. Quelle est la probabilité que la première urne soit vide ? 2. Calculer le nombre moyen d’urnes vides.
Exercice 2. On répartit au hasard bboules dans 2 urnes.
1. Quelle est la loi du nombre X de boules dans la première urne ?
2. On note Y le nombre de boules dans la deuxième urne. Donner la loi de (X, Y). À quelle conditionX etY sont-elles indépendantes ?
Exercice 3. On considère trois urnes, A, B et C. L’urne A contient 2 boules blanches et 4 noires ; l’urne B, 8 blanches et 4 noires ; et l’urneC 1 blanche et 3 noires. On tire une boule de chacune des urnes.
Quelle est la probabilité que la boule tirée de A soit blanche, si l’on sait que le tirage a livré 2 boules blanches exactement ?
Exercice 4. Une urne contientB boules blanches etN noires. On tire des boules successivement avec remise jusqu’à obtention d’une boule noire. On noteX le nombre de tirages effectués.
1. Quelle est la loi de X?
2. Calculer l’espérance et la variance de X.
3. Quelle est la probabilité qu’il faille au moins ktirages pour voir apparaître une boule noire ?
Exercice 5 – Collectionneur de vignettes. Chaque paquet de céréales contient une vignette à collectionner. Il existe N = 100vignettes différentes.
1. Quelle est la loi du nombre de paquets à ouvrir pour avoir 2 vignettes différentes ?
2. Pour tout entier k < N, on noteτk le nombre de paquets à ouvrir pour avoirk+ 1vignettes différentes à partir du moment où l’on en a déjàk différentes. Quelle est la loi deτk?
3. En déduire l’espérance deT, nombre de paquets qu’il faut ouvrir pour compléter la collection de vignettes. En donner un équivalent lorsque N → ∞.
4. Calculer la variance deT.
Exercice 6. Soit X etY des variables aléatoires indépendantes.
1. Quelle est la loi de X+Y si X etY ont pour lois respectivesP(λ) etP(µ)?
2. Quelle est la loi de X+Y si X etY ont pour lois respectivesB(m, p) et B(n, p)? Penser à l’interprétation de la loi binomiale
Lois continues
Exercice 7. Soit X une variable aléatoire suivant une loi de densitéx7→ 12e−|x| surR. 1. Justifier que cette fonction définit bien une densité.
2. Calculer les quantités suivantes : P(X >0),P(X≥0),P(|X|> x),P(X > x),E[X],E[eX/2]
1
Exercice 8. SoitX, Y des variables aléatoires indépendantes de lois exponentiellesE(λ)etE(µ) respectivement.
1. Prouver que la loi de X est « sans mémoire », c’est-à-dire que, pour touss, t >0,
P(X > t+s|X > t) =P(X > s).
2. Déterminer la loi de min(X, Y).
3. Déterminer la loi de uX où u >0.
4. Déterminer la loi de 1 +bXc (partie entière deX).
Exercice 9. Soit X une variable aléatoire de loi normaleN(0,1).
1. Calculer sa transformée de LaplaceE[etX]où t∈R. 2. Dériver pour en déduire l’espérance et la variance deX.
Convergences
Exercice 10. Avant un référendum, on effectue un sondage en interrogeantn(= 1000)Français tirés au hasard.
1. Avec la loi des grands nombres, justifier que la proportion (aléatoire) de personnes interrogées répondant « oui » sera proche de la proportionp (non aléatoire) au sein de la population totale.
Écrire le nombre de « oui » comme une somme de fonctions indicatrices
2. Que donne le théorème central limite ? Que peut-on déduire quant au résultat du référendum si le sondage donne52%de « oui » ?
Exercice 11. Pour p∈]0,1[, soit Xp une variable aléatoire de loi géométrique de paramètre p.
Quelle est la limite en loi depXp lorsquep→0+?
Exercice 12. Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires telle que Xn suit la loi de Poisson de paramètren. Déterminer la limite en loi de Xn−n
√n .
Exercice 13 –Loi faible des grands nombres. Soit(Xn)n≥1une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi, de carré intégrable (c’est-à-direE[(Xn)2] =σ2<∞).
1. Rappeler l’inégalité de Tchebychev, et l’appliquer à Snn, où Sn=X1+· · ·+Xn. 2. En déduire la loi faible des grands nombres :
P
X1+· · ·+Xn
n −E[X1] > ε
−→n 0.
2
