= = LILB = LRLE = IRBE

(1)

LFM – Mathématiques – Classe de 3^ème

1

A B

C

M N

A B

C

M

N

3Ch5 : Théorème de Thalès I- Théorème de Thalès

1- Propriété

- Soient d et d’ deux droites sécantes en un point A.

- Soient B et M deux points de la droite d distincts de A - Soient C et N deux points de la droite d’ distincts de A

Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles alors on a l’égalité des rapports suivante :

BC MN AC

AN AB

AM = =

Remarque : Ce théorème permet de calculer des longueurs.

2- Deux configurations

3- Exemple rédigé (rédaction attendue au brevet) QUESTION : Calculer la longueur LI.

On sait que :

Les droites (BI) et (ER) sont sécantes en L Les droites (BE) et (IR) sont parallèles LR = 5 cm LE = 3 cm et LB = 4,2 cm D’après le théorème de Thalès on a : LI

LB =LR LE = IR

BE

Je remplace par les valeurs numériques : ^𝑳𝑰 𝟒,𝟐

=

^𝟓

𝟑

=

^𝑰𝑹

𝑩𝑬 Je choisis 2 fractions égales permettant de calculer LI : Donc :

𝑳𝑰 𝟒,𝟐=𝟓

𝟑 𝑳𝑰=𝟓×𝟒,𝟐

𝟑 =𝟐𝟏 𝟑 =𝟕 La segment 𝑳𝑰 mesure 7 cm

(2)

2

Prolongement :

D’après la question précédente, on sait que : LI LB= LR

LE = IR BE=5

3

On peut dire que

le triangle LIR

est un AGRANDISSEMENT du triangle LEB à l’échelle ^𝟓_𝟑 On peut dire que le triangle LEB est une REDUCTION du

triangle LIR

à l’échelle ^𝟑_𝟓

A noter : Pour un agrandissement, l’échelle k est strictement supérieur à ……. : on note ………...

Pour une réduction, l’échelle k est comprise entre …… et ……. : on note ………

II- Conséquence du théorème de Thalès

- Soient d et d’ deux droites sécantes en un point A.

- Soient B et M deux points de la droite d distincts de A - Soient C et N deux points de la droite d’ distincts de A

Si deux des rapports suivants ne sont pas égaux : AB

AM ou bien AC

AN ou bien BC

MN et si les points A,M, B et

A, N, C sont alignés dans cet ordre alors les droites (AB) et (MN) ne sont pas parallèles.

Remarque : Cette propriété permet de démontrer que deux droites ne sont pas parallèles

III- Applications : COMMENT REDIGER ?

Application 1 : Montrer que deux droites ne sont pas parallèles . On donne AB = 2,5 cm BC = 3,3 cm AC = 2,4 cm CD = 6 cm CE = 9 cm.

Les droites (ED) et (AB) sont-elles parallèles ?

………

………..

3^ème Cours : Théorème de Thalès

c) Conséquence du théorème de Thalès : montrer que deux droites ne sont pas parallèles Si ABC et AMN sont deux triangles tels que :

 



A, M, B et A, N, C sont alignés dans cet ordre AM

AB ≠ AN AC

alors, les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.

Exemple :

On donne AB = 2,5 cm ; BC = 3,3 cm ; AC = 2,4 ; CD = 6 cm et CE = 9 cm.

Les droites (ED) et (AB) sont-elles parallèles?

Justifie la réponse.

D’une part : CA CD =

2,4 6 =

24 60 =

12×2 12×5 =

2 5 D’autre part : CB

CE = 3,3

9 = 33 90 =

11×3 30×3 =

11 30 Or 2

5 = 12 30 ≠ 11

30 donc CA CD ≠ CB

CE

CAB et CDE sont deux triangles tels que A, C, D et B, C, E sont alignés dans cet ordre et CA CD

≠ CB

CE, donc selon la conséquence du théorème de Thalès les droites (ED) et (AB) ne sont pas parallèles.

Remarque : la conséquence du théorème de Thalès se nomme aussi la contraposée du théorème de Thalès.

(3)

3

Application 2 : Calculer une longueur à l’aide du théorème de Thalès

On donne : (UV) est parallèle à (JK)

IJ = 30 cm IK = 20 cm IU = 10 cm UV = 10 cm 1) Calculer les longueurs IV et JK

………

………..

………

………..

………

………..

………

………..

2) Compléter ces phrases

D’après le théorème de Thalès, le coefficient de réduction est ……. et le coefficient d’agrandissement est ……

Le triangle IJK est un agrandissement du triangle IUV à l’échelle …….

Le triangle IUV est une réduction du triangle IJK à l’échelle …….

Le segment [UV] est ……… du segment [JK] à l’échelle …….

3

^ème

Cours : Théorème de Thalès

3 Exemple 2 :

UV) // (JK).

IJ = 30 ; IK = 20 ; IU = 10 ; UV = 10.

Calculer IV et JK.

Réponse :

Les droites (UV) et (JK) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles IUV et IJK :

IJ IV =

IK IU =

JK UV Soit 30

IV = 20 10 =

JK 10 Calcul de IV : IV×20 = 30×10 D’où IV = 30×10

20 = 15 Calcul de JK :

Et JK×10 = 20×10 D’où : JK = 20

(4)

A B C

M

N

A B

C

M N

IV Réciproque du théorème de Thalès

-‐ Soient d et d’ deux droites sécantes en un point A.

-‐ Soient B et M deux points de la droite d distincts de A -‐ Soient C et N deux points de la droite d’ distincts de A

Si

AC AN AB

AM = et si les points A, M, B et les points A, N, C sont alignés dans le même ordre, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

Remarque : Cette propriété permet de démontrer que deux droites sont parallèles.

V Exemple rédigé (attendu au brevet) On considère la figure suivante : -‐ les points A, Y et B sont alignés -‐ les points D, C et B sont alignés

-‐ AB = 6,3 cm, DB = 7,7 cm, BY = 2,7 cm et BC = 3,3 cm.

Les droites (AD) et (YC) sont-‐elles parallèles?

COMMENT REDIGER ?

Les droites (AY) et (CD) sont sécantes en B.

De plus, les points B, Y, A et les points B, C, D sont alignés dans le même ordre.

On calcule séparément :

• _!"^!"=^!,!_!" = ^!"_!"=^!×!_!×!=^!_!

• _!"^!" =^!,!_!,!= ^!!_!!=^!×!!_!×!!= ^!_!

On a donc : ^!"_!"= ^!"_!"

Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (YC) et (AD) sont parallèles.

(5)

5

Application : Exercice type brevet

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Cours : Théorème de Thalès

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