I146 La poursuite du fantôme [***** à la main]
Solution
Dominique Ceugniet et Pierre Henri Palmade ont répondu au problème. Leurs solutions sont complétées par celle de Diophante :
Dominique Ceugniet :
On suppose d’abord que d=7. Voir figure ci-contre : en abscisses, le temps, en ordonnées les distances. Le fantôme met le temps T pour franchir la distance d. On choisit l’échelle de la figure de manière qu’une période T soit représentée par la même longueur qu’une longueur d.
La longueur des couloirs est donc 3d. Au départ, Diophante va décrire tranquillement le couloir OC de manière à trouver le fantôme s’il s’y trouve, et à garantir qu’il ne s’y trouve pas dans le cas contraire. Après avoir fait cela, Diophante est certain que le fantôme se trouve dans OA ou dans OB. On représente dans le graphique ci-contre OA en dessous du trait rouge, qui lui représente O, et OB au dessus de la ligne rouge.
Diophante part en courant vers OA et parcourt la distance 2d. Avant son départ, le fantôme devait se trouver au moins à distance d de O. Par conséquent, s’il se trouve sur OA, pendant que Diophante parcourt 2d, le fantôme ne peut parcourir que la distance d, ce qui lui permet d’atteindre O (s’il le souhaite). Il a intérêt à faire cela, car Diophante en s’avancant dans OA à distance 2d peut voir jusqu’à la distance 3d, c’est-à-dire l’intégralité de OA. Si le fantôme s’y trouve, il sera vu et pris. Sinon, si le fantôme n’essaie pas de se rapprocher de O, Diophante sera sûr que le fantôme est en OB et pourra tranquillement le prendre. La seule chance du fantôme est donc de se rapprocher de O et d’introduire ainsi une incertitude sur la branche où il se trouve. En résumé, si le fantôme était dans OB, il est obligé d’aller vers O. Mais, dès que Diophante est arrivé à distance 2d dans OA, il fait demi-tour et se précipite vers O, obligeant le fantôme à s’éloigner. Il a pu changer de branche : peut-être est-il dans OB, peut-être dans OC. Mais lorsque Diophante arrive en O, le fantôme ne peut être qu’à distance d. Diophante le voit donc, qu’il soit dans OB ou dans OC, et peut donc l’attraper. S’il ne le voit pas, c’est que le fantôme est resté dans OB et cela est la cause de sa perte car Diophante est sûr de le trouver dans OB.
On suppose désormais que 7>d>4.2. La longueur des couloirs est donc inférieure à 5d. Au départ, Diophante va décrire tranquillement le couloir OC de manière à trouver le fantôme s’il s’y trouve, et à
garantir qu’il ne s’y trouve pas dans le cas contraire. Après avoir fait cela, Diophante est certain que le fantôme se trouve dans OA ou dans OB. On représente dans le graphique ci- contre OA en dessous du trait rouge, qui lui représente O, et OB au dessus de la ligne rouge.
De manière générale, le fantôme est contraint d’essayer constamment de se rapprocher de O dans l’espoir permanent de créer une incertitude dans l’esprit de Diophante. S’il renonce à le faire et que Diophante parvient à vérifier l’absence du fantôme dans une branche, il saura que le fantôme est dans l’autre et c’en sera fini de lui. Au départ, Diophante va vers A (trait bleu) sur une distance de 2d. Si le fantôme est sur OB, il ne peut partir que d’une distance supérieure à d, d à la limite, et aura juste le temps d’arriver en O lorsque Diophante sera à distance 2d. Mais comme Diophante revient immédiatement, que le fantôme parte vers B ou vers C, il sera vu par Diophante lorsque celui-ci arrivera en O. Au temps T après le début, Diophante étant à 2d de O, il verra jusqu’à 3d. Par conséquent, si le fantôme est sur la branche OA, il doit être au moins à la distance 3d. Au temps 2T, Diophante va continuer sa course vers B ; il pourra aller jusqu’à 3d du côté de B et revenir à temps pour voir le fantôme s’enfuyant à distance d, sur OA ou sur OC. Diophante va itérer le processus. A chaque fois, il parvient de plus en plus loin dans une branche. Voyons comment cette distance évolue.
Supposons qu’à un certain moment, Diophante soit arrivé à une distance uk de O dans une branche. Alors, le fantôme, s’il est dans cette branche doit se trouver au moins à la distance uk+d. A l’étape suivante, il pourra aller à la distance uk+1 telle que le parcours qu’il fera en revenant en O, puis en faisant un aller et retour jusqu’à la distance uk+1 dans l’autre branche suit exactement le double de la distance parcourue par le fantôme en revenant jusqu’à O (depuis la distance uk+d) et en parcourant une distance supplémentaire d :
uk + 2*uk+1 = 2*(uk+d+d) 2*uk+1 = uk +4d
uk+1 = ½ uk +2d
uk+1 – 4d = ½ uk - 2d = ½ (uk – 4d)
Finalement : uk – 4d = (½)k (u0 – 4d) soit uk = 4d + (½)k (u0 – 4d) Comme u0=0, on trouve uk = 4d – 4d * (½)k = 4d * (1 - (½)k ) Il vient effectivement :
u1=4d*(1-1/2)=2d u2=4d*(1-1/4)=3d u3=4d*(1-1/8)=7d/2
On voit que cette stratégie permet de se rapprocher autant que l’on veut de la distance 4d, et donc approcher autant que l’on veut la distance visible uk+d de 5d, mais sans jamais l’atteindre. Donc, si d > 4.2, posons d= 4.2 + ε.
Alors la longueur des couloirs est 21m soit 21/(4.2+ ε) d, ou encore 5d * [21/(21+5 ε)] qui est strictement inférieur à 5d. A un moment ou à un autre, Diophante pourra voir jusqu’au fond d’un couloir tout en étant certain que le
fantôme n’a pas pu aller dans le couloir OC sans être vu. Diophante aura à ce moment, s’il n’a pas encore vu le fantôme, que ce dernier se trouve dans l’autre branche et pourra l’attraper.
Il est clair que cette stratégie ne suffit pas si d=4.2, a fortiori si d<4.2 !
Pierre Henri Palmade :
Soit l la longueur des couloirs et d la profondeur de vision. On peut toujours explorer l'un des couloirs, C par exemple, pour s'assurer que le fantôme n'y est pas. Au retour au point O, on sait donc que le fantôme est vers A ou B, et à une distance supérieure à d si on ne le voit pas.
Première stratégie: avancer vers A de l-d puis retourner en O; le fantôme est attrapé s'il était en A; s'il était en B il a pu parcourir l-d, à partir d'un point de départ >d; s'il a décidé de passer en C, il a parcouru moins de l-2d dans cette direction; il est donc visible si l-2d<d soit l<3d Deuxième stratégie qui complète la première: au retour en O, on peut encore avancer de 2d dans la direction C, et retourner, sans que le fantôme qui serait resté en B (à une distance supérieure à d au moment du premier retour en O) puisse passer vers A. Dans ce cas, à l'avancée maximale vers C, le fantôme n'a pu parcourir que l-d dans cette direction et sera visible si l-d<3d soit l<4d.
Pour améliorer cette stratégie, il faut être sûr que le fantôme est plus éloigné de O au moment où on se lance dans l'exploration exhaustive d'un couloir.
Troisième stratégie: on commence par un aller retour de 2d en direction B: au retour en O, le fantôme, s'il est vers B, est à une distance >2d; s'il était en A, il n'a pas pu passer vers C sans se faire voir. En enchaînant ensuite comme dans la deuxième stratégie (aller-retour l-d vers A, puis aller retour 2d vers C) le fantôme qui serait passé de B en C sera visible si l-2d<3d soit l<5d.
Pour faire mieux, il faudrait, soit éloigner encore plus le fantôme de O au départ, soit le poursuivre plus loin à l'arrivée.
Pour pouvoir l'éloigner plus au départ, faisons un premier aller retour de 2d vers A: s'il est en A, il est à plus de 2d au retour en O; on a alors le temps de faire un aller retour de 3d vers B:
s'il est en A, il ne peut passer en C sans être vu; s'il est en B, il sera à plus de 5d/2 au retour en O, et après l'exploration exhaustive de A, il ne peut passer vers C sans être vu si l-5d/2<3d soit l<11d/2. En itérant des aller-retour vers A et B avec des distances croissantes, tendant vers 4d (p.e. (4-1/2^n)d, on peut arriver à empêcher le fantôme de passer vers C sans être vu pour l<6d.
Pour faire mieux, il faudrait pouvoir le poursuivre plus loin à l'arrivée; mais si l'on va plus loin vers C, et qu'il est resté en B, il peut passer en A sans être vu.
Diophante : 1ère question
C’est le cas le plus simple à traiter. Diophante commence par rechercher le fantôme dans le couloir OA. Il lui suffit de parcourir une distance OA de 14 mètres qui lui permet de repérer 1 le fantôme jusqu’au bout du couloir OA.
Si le fantôme n’y est pas, Diophante revient au point O.
Il s’assure à nouveau que le fantôme n’est pas à moins de 7 mètres de lui aussi bien dans OB que dans OC (voir ci-dessus le cercle en grisé d’un rayon de 7 mètres). Si c’est le cas, il pénètre alors dans le couloir OB et parcourt à nouveau une distance OB de 14 mètres qui lui 1 permet de s’assurer si oui ou non le fantôme est dans ce couloir. Si le fantôme n’y est pas, il revient au point O. Il parcourt au total 28 mètres. Pendant ce temps là, le fantôme parcourt au maximum une distance de 28/2 = 14 mètres.
Supposons que le fantôme profite de l’occasion pour passer du couloir OC où il se trouve au couloir OA déjà visité par Diophante. Quand Diophante part de O pour faire le trajetOB1O, le fantôme se trouve à une distance de O au moins égale à OC =7 mètres. Quand Diophante 2 revient en O, il se trouve dans le couloir OA à une distance au plus égale à OA = 7 mètres. 2 Diophante le repère immédiatement si le fantôme a opéré une telle manœuvre.
Si le fantôme n’est pas à l’intérieur du cercle grisé, il ne reste plus à Diophante qu’à pénétrer dans le couloir OC pour attraper le fantôme.
2ème question
Les choses se compliquent un peu mais restent abordables…. Avant de trouver une formulation générale justifiant la borne inférieure de 4,20 mètres soit le cinquième de la longueur des couloirs, prenons le cas d’une distance d = 5 mètres.
Comme précédemment, Diophante commence par le couloir OA et parcourt une distance OA égale à 21 – 5 = 16 mètres qui lui permet de repérer la présence du fantôme jusqu’au 1
bout du couloir. Si le fantôme n’y est pas, Diophante revient au point O où il vérifie que le fantôme n’est pas à moins de 5 mètres de lui tant dans OB que dans OC. On suppose que le fantôme n’est toujours pas visible. Diophante pénètre alors dans le couloir OB et parcourt une distance OB égale à 2d = 10 mètres qui lui permet de voir si à l’intérieur de OB le fantôme 1 se trouve à moins de 2d + d = 15 mètres de O. Supposons que le fantôme est toujours invisible.
Diophante revient en O. Pendant le trajet OB1Ode Diophante, le fantôme a pu parcourir une distance égale à 2d = 10 mètres. Comme nous l’avons déjà vu dans la 1ère question, il ne peut pas s’échapper du couloir OC vers le couloir OA car il se trouverait dans la zone grisée et serait identifié par Diophante dès son retour au point O.
Diophante s’enfonce maintenant dans le couloir OC. Il sait que si le fantôme est dans OB, sa distance la plus proche de O est de 15 – 10/2 = 10 mètres. Si le fantôme cherche à s’échapper de OB vers OA, il doit donc parcourir 10 + 5 = 15 mètres pour sortir de la zone grisée.
Diophante en déduit qu’il peut donc parcourir 2*15 = 30 mètres aller et retour dans le couloir OC , d’où OC =15 mètres qui permet à Diophante de sonder le couloir sur une distance totale 1 de 15 + 5 = 20 mètres qui reste inférieure à 21 mètres. Diophante n’est donc pas encore au bout de ses peines mais il est proche du but…
Diophante revient en O. Le fantôme n’a pas pu s’échapper par OA. S’il est resté dans OC, quand Diophante atteint O, il est désormais à une distance de O au moins égale à 20 – 15/2 = 12,5 mètres. Diophante pénètre à nouveau dans le couloir OB et il calcule que sa marge de manœuvre est désormais égale à 12,5 + 5 = 17,5 mètres à l’aller dans le couloir OB. Or 17,5 + 5 = 22,5 > 21 mètres, Diophante n’a pas besoin d’utiliser toute la distance de 17,5 mètres.
Il lui suffit de s’arrêter au point B tel que 2 OB =21-5=16 mètres <17,5 mètres. Arrivé au 2 point B2, Diophante est certain d’avoir sondé tout le couloir OB. En l’absence du fantôme il peut revenir au point O, certain que le fantôme n’a pas eu le temps de s’échapper de OC vers OA. Il lui suffit d’entrer dans OC et de le parcourir éventuellement jusqu’au bout pour attraper le fantôme.
Avec une distance d quelconque, on voit que ce scénario arrive à son terme si dans les
passages successifs dans OB puis dans OC puis à nouveau dans OB etc… il arrive un moment où Diophante atteint un point situé à une distance de O supérieure ou égale à 21 – d.
Diophante commence par une distance x1 2d dans OB, puis dans OC il peut parcourir une distance x2 x1/22d puis à nouveau dans OB une distance x3x2/22d et ainsi de suite jusqu’à xn xn-1/22d soit xn 4d(11/2n). On doit avoir xn 21-d ou encore 5d -
2 -
d/2n 21. Quand n tend vers l’infini, la valeur limite de d est 21/5 = 4,2 mètres qui est bien la borne inférieure recherchée.
3ème question
La recherche du fantôme devient cette fois-ci plus complexe…. Pendant qu’il parcourt un couloir, Diophante doit admettre que le fantôme peut se trouver dans un autre couloir et se faufiler derrière son dos pour passer dans un troisième couloir. Si c’est le cas, Diophante doit alors se lancer à la poursuite du fantôme chaque fois que celui-ci change de couloir. Nous allons voir que le rattrapage n’est assuré que si d dépasse un certain seuil.
Diophante opère de la manière suivante :
1ère phase : il commence comme dans la 2ème question en parcourant dans le couloir OA la distance 21 – d, afin de vérifier que le fantôme n’y est pas puis il va alternativement dans les couloirs OB et OC en s’assurant que le fantôme ne peut jamais changer de couloir. Le point le plus éloigné de O que Diophante peut atteindre dans l’un ou l’autre des deux couloirs OB et OC est à une distance au plus égale à lim[xn 4d(11/2n)] = 4d tandis que la profondeur de son champ de vision est limitée à 4d + d = 5d.
2ème phase : Diophante a parcouru une distance w dans l’un des deux couloirs (OB par exemple). On a w 4d. Si le fantôme est dans ce couloir, il se trouve à une distance de O au moins égale à w + d. Diophante revient en O et décide alors de parcourir le couloir OC sur la distance 21 – d qui lui permet de vérifier que la fantôme n’est pas dans ce couloir. Si c’est le cas, le fantôme est dans OB. Il peut décider d’y rester sagement mais il peut aussi se faufiler dans OA. Quand Diophante revient en O, Diophante a parcouru w + 2(21-d) et la distance maximale parcourue par le fantôme dans OA est alors égale à x = [ w + 2(21-d)]/2 – [w + d] = 21 – 2d – w/2.
Cette distance x est plus grande que d, sinon le fantôme se trouve dans la zone grisée et Diophante n’a aucune peine à rattraper la fantôme. Diophante se met alors à la poursuite du fantôme dans OA. Pour le repérer, il doit couvrir une distance y telle que y + d = y/2 + x, soit y = 2(x-d).Si le fantôme n’est pas dans son champ de vision, Diophante revient en O. Pendant ce temps-là, le fantôme a pu se faufiler pour aller de OB vers OC et la distance maximale parcourue dans ce couloir OC est égale à z = y – d = 2x – 3d.
Diophante a des chances de rattraper le fantôme si z < x c’est à dire si la distance parcourue alternativement par le fantôme dans les couloirs OA et OC va en décroissant de manière stricte. Il en résulte 2x – 3d < x ou x < 3d ou encore 21 – 2d – w/2 < 3d et l’on obtient la double inégalité 4dw > 2(21 – 5d) soit encore 7d > 21 ou d > 3 mètres. En d’autres termes, Diophante est sûr de rattraper le fantôme si son champ de vision est au moins de 3 mètres ou encore le septième de la longueur du couloir.
Prenons un exemple avec d = 3,20 mètres > 3mètres pour illustrer les trajets réalisés par Diophante. Le tableau ci-après décrit les trajets effectués par Diophante dans les différents couloirs :
La 1ère phase est décrite dans la zone jaune du tableau. La distance minimale à parcourir dans l’un des deux couloirs OB ou OC est w > 2(21-5d) = 10 mètres. On observe qu’elle est atteinte dans OB au bout de la troisième tentative. Le fantôme peut alors se trouver dans ce même couloir à une distance au plus égale à 14,40 mètres.
La 2ème phase est alors analysée dans la zone verte du tableau. Diophante va dans OC jusqu’à une distance de 17,80 mètres et le fantôme en profite pour se faufiler dans le couloir OA sur une distance de 9 mètres. Il s’ensuit un jeu de bascule entre OA et OC. Diophante y parcourt des distances qui vont decrescendo ( 11,60 mètres puis 10,40 mètres, puis 8 mètres et enfin 3,20 mètres). De la même manière les distances maximales que le fantôme peut couvrir dans chacun de ces deux couloirs vont en diminuant jusqu’au moment où il se trouve à l’origine et Diophante n’a alors aucune difficulté pour l’attraper.
Si le fantôme a eu le sagesse de rester dans OB et se réfugier au point B, Diophante viendra le cueillir dans son ultime trajet quand il aura eu la certitude que le fantôme n’est ni dans OA ni dans OC.
PS Il a été prouvé que pour d3 mètres ou dL/7 avec L longueur des couloirs, Diophante ne peut jamais rattraper le fantôme.
