Enoncé D2926 (Diophante) La cave à liqueurs
J’ai eu la chance de retrouver une vieille cave à liqueurs, avec tous les verres à l’intérieur. Malheureusement la façade a un peu souffert, à l’intérieur d’un motif ayant la forme d’un trapèze isocèle de bases 98 mm et 130 mm.
En effet on observe des incrustations de fils d’argent sur les diagonales [DB] et [AC] encore bien présentes, tandis qu’hélas celles d’or sur [RU]
et [EH], parallèles aux bases, sont abimées ou manquantes. Je ne suis pas spécialiste d’ébénisterie d’art et de marqueterie, mais je suis patient et j’ai le temps : je vais me lancer dans la restauration. . . Je ne peux cependant m’empêcher de faire aussi un peu de maths. . . J’ai remarqué que les incrustations d’or seraient partagées en trois segments égaux : EF = F G= GH et RS = ST = T U par les diagonales AC et BD. Je me suis demandé si avec seulement les données précédentes, au lieu de la mesurer, on pouvait calculer quelle longueur totale de fil d’or (arrondie au mm supérieur) je devrai acheter ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je note p la petite base de ce trapèze, g la grande base ; la hauteur du trapèze n’intervient pas.
Si DE/DA = x, EG = xg, EH = p+x(g−p), et x est déterminé par p=EH+x(p−g) = 3EG/2 +x(p−g) =x(g/2 +p).
AinsiEH = 3pg/(g+ 2p) = 19110/163 = 117,239.
Si DR/DA = y, RS = yg, RU = p+y(g−p), et y est déterminé par p=RU+y(p−g) = 3RS+y(p−g) =y(p+ 2g).
AinsiRU = 3pg/(p+ 2g) = 19110/179 = 106,760.
Au total EH+RU = 9pg(p+g)
(g+ 2p)(p+ 2g) = 6535620/29177 = 223,999 mm au micromètre près.
Il faut acheter 224 mm de fil d’or.
