Résumé des séances

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Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015

D. Blottière Mathématiques

Résumé des séances

Dans ce document, on présente le contenu des différentes séances qui ont eu lieu.

L’ordre choisi est l’ordre chronologique.

Si l’on souhaite s’informer sur le déroulement des séances liées à un chapitre particulier, on peut cliquer sur le nom du chapitre correspondant, dans la liste ci-dessous.

Liste des chapitres 1. Ensembles de nombres−un survol

2. Nombres complexes et trigonométrie 3. Logique, ensembles et applications 4. Nombres complexes et géométrie 5. L’ensembleRdes nombres réels 6. Fonctions réelles de la variable réelle 7. Calcul de primitives

8. Systèmes linéaires 9. Matrices

10. Équations différentielles linéaires 11. Suites réelles

12. Dénombrement 13. Probabilités 14. Polynômes

15. Limites et continuité

16. Variables aléatoires sur un univers fini 17. Espaces vectoriels

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Semaine − 2 (du 2 au 5 septembre 2014)

Mardi 2 septembre 2014 : cours (2h)

Introduction

• Présentation des épreuves de mathématiques et d’informatique du concours de la banque PT.

• Bref descriptif du programme de mathématiques.

• Discussion sur les exigences attendues, sur l’attitude à avoir : apprentissage du cours, rigueur, qualité de la rédaction, goût pour le travail . . .

• Présentation des différentes évaluations : colles, interrogations hebdomadaires de cours, DM, DS, note de travail en TD.

Un exemple de mode de raisonnement : l’analyse-synthèse

• Résolution de l’équation : 33x−8=553, d’inconnuex∈R.

• Étant donné un paramètre réela, résolution de l’équation :ax+13=5, d’inconnuex∈R. Mercredi 3 septembre 2014 : cours (2h)

Début du chapitre 1 « Ensembles de nombres−un survol »

• Définition de l’ensembleNdes entiers naturels.

• Structures sur l’ensembleN: addition, multiplication et relation d’ordre≤.

• Écriture d’un entier naturel en base 10 (existence et unicité).

• Définition de l’ensembleZdes entiers relatifs.

• N(Z

• Structures sur l’ensembleZ: addition, multiplication, soustraction et relation d’ordre≤.

• Écriture d’un entier relatif en base 10, avec un signe éventuel (existence et unicité).

• Définition de l’ensembleQdes nombres rationnels.

• Z(Q

• Définitions de l’addition (resp. de la soustraction, de la multiplication) de deux nombres rationnels, de la division d’un nombre rationnel par un nombre rationnel non nul, et de la relation d’ordre≤surQ.

• (Q,+,×) est un corps commutatif.

Jeudi 4 septembre 2014 : cours (3h)

Suite et fin du chapitre 1 « Ensembles de nombres−un survol »

• Définition de l’ensembleDdes nombres décimaux (via l’existence d’une écriture décimale avec un nombre fini de chiffres après la virgule).

• D⊂Q

• Autre caractérisation de l’ensembleD:D={₁₀ⁿm :n∈Zetm∈N}.

• ¹₂∈D,¹₅∈Det¹₃∉D(d’oùD(Q).

• Représentation géométrique des nombres rationnels sur une droite munie d’un repère.

• Certaines « mesures » ne sont pas représentées par des nombres rationnels (e.g. la longueur de la diago- nale d’un carré de côté 1, le demi-périmètre d’un cercle de rayon 1), d’où la présence de « trous » dans l’ensemble des nombres rationnels.

• Introduction intuitive de l’ensembleRdes nombres réels, via la droite ou l’ensembleQ« complété ».

• Q(R

• Un mot sur le prolongement des structures (+,×,≤) deQàR.

• (R,+,×) est un corps commutatif.

• Rappel du théorème de la convergence monotone rencontré en terminale : toute suite de nombres réels croissante et majorée est convergente.

(3)

• Pour toutq∈R, pour toutn∈N:

n

X

k=0

q^k=

¯

n+1 siq=1 1−qⁿ⁺¹

1−q siq6=1.

• Si (d_n)n∈N^∗est une suite de chiffres, alors la suite (0,d₁d₂. . .d_n)_n∈N∗est convergente et sa limite est notée 0,d₁d₂. . .d_n. . ..

• Tout nombre réel admet un développement décimal infini.

• Définition (et notation) d’un développement décimal infini périodique à partir d’un certain rang.

• Caractérisation des nombres rationnels parmi les réels, via les développements décimaux infinis.

• Un mot sur la non-unicité du développement décimal infini d’un nombre rationnel : 1, 0=0, 9.

Devoirs pour le lundi 8 septembre 2014

• Expliciter les nombres suivants : 0, 3 ; 0, 9 ; 0, 16 et 0, 142857.

Semaine −1 (du 8 au 12 septembre 2014)

Lundi 8 septembre 2014 : cours (2h)

Manifestations liées à la rentrée

• Intervention de la direction de l’établissement.

• Photographie de la classe.

Début du chapitre 2 « Nombres complexes et trigonométrie »

• Définition d’un nombre complexe.

• Existence et unicité de la forme algébrique d’un nombre complexe.

• Définition de l’ensembleCdes nombres complexes.

• Définitions de la partie réelle et de la partie imaginaire d’un nombre complexe.

• Caractérisation des nombres réels parmi les nombres complexes via la partie imaginaire.

• Définition d’un nombre complexe imaginaire pur.

Interrogation de cours 1 (20’)

• Écriture d’un entier en base 10.

• Critère d’égalité de deux nombres écrits sous forme de fractions.

• Propriété d’associativité de la multiplication surQ.

• Simplification de 1+q+q²+. . .+qⁿ, oùq∈Retn∈N.

• ¹₃n’est pas un nombre décimal.

Lundi 8 septembre 2014 : TD en îlots (2h)

Développement décimal infini périodique à partir d’un certain rang

• Correction de l’exercice portant sur les nombres : 0, 3 ; 0, 9 ; 0, 16 et 0, 142857.

Feuille d’exercices 1 « Racine n-ième d’un nombre réel positif ou nul »

• Résolution de l’exercice 1.

• Résolution des questions 1 et 2 de l’exercice 2.

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Suite du chapitre 2 « Nombres complexes et trigonométrie »

• Définition de l’ensembleiRdes nombres imaginaires purs.

• Point du plan associé à un nombre complexe, un repère orthonormé du plan étant fixé.

• Affixe d’un point du plan.

• Identification deCavec le plan usuel.

• Définition de l’addition et de la multiplication dansC.

• Propriétés de+et×dansC: (C,+,×) est un anneau commutatif unitaire.

• Identités remarquables dansC.

• Définition d’un nombre complexe inversible et de l’inverse d’un tel.

Devoirs pour le jeudi 11 septembre 2014

• Démontrer que 1+2iest inversible et calculer son inverse.

• Achever la résolution de l’exercice 2 de la feuille d’exercices 1 « Racinen-ième d’un nombre réel positif ou nul ».

• Un nombre complexe non nul est inversible.

• Expression de la forme algébrique de l’inverse d’un nombre complexe non nul.

• Cest intègre.

• Résolution guidée d’une équation quadratique à coefficients complexes.

• Définition du conjugué d’un nombre complexe.

• Interprétation géométrique du conjugué d’un nombre complexe.

• Retrouver la partie réelle et la partie imaginaire d’un nombre à partir du conjugué.

• Caractérisation des nombres réels parmi les nombres complexes via la conjugaison.

• Caractérisation des nombres imaginaires purs parmi les nombres complexes via la conjugaison.

Devoir maison 1 à rendre le mardi 16 septembre 2014

• Racines carrées d’un nombre complexe non nul.

• Lieu géométrique défini via une équation mettant en jeu des modules (médiatrice).

Jeudi 11 septembre 2014 : TD (1h)

• Correction des questions 3−6 de l’exercice 2.

Semaine 0 (du 15 au 19 septembre 2014)

• Propriétés de la conjugaison complexe (caractère involutif, additivité, multiplicativité. . . ).

• Affixe d’un vecteur.

• Affixe d’un bipoint.

• Vecteur associé à un nombre complexe.

• Définition du module d’un nombre complexe.

• Module versus valeur absolue pour un nombre réel.

• Le module d’un nombre complexe est égal à celui de son conjugué.

(5)

• Interprétation géométrique du module en termes de longueur.

• Simplification de la somme

n

X

k=0

q^k, oùq∈Retn∈N.

• Caractérisation vectorielle du point du plan associé à un nombre complexe.

• Définition de l’addition et de la multiplication dansC.

• Propriété de commutativité de la multiplication dansC.

• Forme algébrique de (1−3i)²−3(−2+5i).

• Définition d’un nombre complexe inversible et de l’inverse d’un tel.

• Résultat sur l’inversibilité et l’inverse d’un nombre complexe non nul.

• Définition du conjugué d’un nombre complexe.

• Calcul dez, oùz:=7i−11.

• Résultat caractérisant les nombres imaginaires purs parmi les nombres complexes via la conjugaison.

Lundi 15 septembre 2014 : TD en îlots (2h)

• Correction des questions 7−11 de l’exercice 2.

Feuille d’exercices 2 « Nombres complexes et trigonométrie−partie 1 »

• Résolution des exercices 5 et 6.

• Résolution de la question 1 de l’exercice 7.

• Équation complexe d’un cercle.

• Équation complexe d’un disque fermé.

• Lien entre module et conjugué.

• Propriétés algébriques du module (e.g. multiplicativité).

• Inégalité(s) triangulaire(s) et cas d’égalité.

• Propriété de séparation du module.

• Résoudre le système

½ |z+1| ≥ 5

|z−2−2i| ≤ 1 d’inconnuez∈C.

• Résoudre l’exercice 9 et la question 2 de l’exercice 7 de la feuille d’exercices 2 « Nombres complexes et trigonométrie−partie 1 ».

Méthodologie

• Discussion de méthodes pour apprendre/comprendre/mémoriser un cours.

• Résolution du système

½ |z+1| ≥ 5

|z−2−2i| ≤ 1

d’inconnuez∈C, après conjecture graphique à l’aide du logiciel Geogebra.

• Définition du cercle unitéC.

• Définition du nombreπ(demi-périmètre du cercleC).

• Définition géométrique du revêtementρdu cercleCpar la droite réelleR.

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• Propriétés de l’applicationρ(e.g. condition nécessaire et suffisante pour que deux réels aient la même image parρ).

• Définition du cosinus et du sinus d’un nombre réel.

• Relation de Pythagore pour cosinus et sinus.

• Calculs des valeurs de cos(x) et sin(x) pourx∈©

0,^π₄,^π₃,^π₂, 0ª . Devoirs pour le lundi 22 septembre 2014

• Résoudre les exercices 8 et 10 de la feuille d’exercices 2 « Nombres complexes et trigonométrie−partie 1 ».

Forme canonique d’un trinôme du second degré

• Rappels sur la notion rencontrée en classe de première, dans le cas où les coefficients sont réels.

• Correction de la question 2 de l’exercice 7.

• Correction des questions 1 et 2.(a) de l’exercice 9.

Semaine 1 (du 21 au 26 septembre 2014)

• Définitions des fonctions cosinus et sinus.

• Propriétés de parité et de périodicité de cosinus et sinus.

• Effet des transformations affinesx7→^π₂−x,x7→^π₂+x,x7→π−x,x7→π+xsur les fonctions cosinus et sinus.

• Table complétée des valeurs remarquables pour cosinus et sinus.

• Cas d’égalité de deux cosinus et équations trigonométriques mettant en jeu cosinus.

• Cas d’égalité de deux sinus et équations trigonométriques mettant en jeu sinus.

• Exemples de résolutions d’inéquations trigonométriques par voie graphique.

• Définition de l’ensembleUdes nombres complexes de module 1.

• L’image deUdans le plan est le cercle unité.

• Propriétés de l’ensembleU: stabilité par passage à l’opposé, stabilité par conjugaison complexe, stabi- lité par multiplication, tout élément deUest inversible et a pour inverse son conjugué.

Lundi 22 septembre 2014 : TD (2h)

• Correction des questions 2.(b)−2.(e) de l’exercice 9.

• Correction des exercices 8 et 10.

• Paramétrisation deUà l’aide de cosinus et sinus.

• Définition des nombreseⁱ^θ:=cos(θ)+isin(θ), pourθ∈R.

• Cas d’égalité de deux nombres de la formeeⁱ^θ, oùθ∈R.

(7)

• Propriétés élémentaires des nombreseⁱ^θ, oùθ∈R: module, conjugué, inversibilité et inverse.

• L’équation fonctionnelleeⁱ⁽^θ¹^+θ²⁾=eⁱ^θ¹eⁱ^θ², pour tout (θ1,θ2)∈R².

• Formules d’Euler.

• Formules d’addition pour cosinus et sinus.

• Formule de duplication pour cosinus et sinus.

• Calcul de cos(₁₂^π) de deux manières (₁₂^π =^π₃−^π₄et 2×₁₂^π =^π₆) et comparaison des deux résultats.

• Transformation d’un produit en somme pour cosinus et sinus : application au calcul de primitives.

• Angle moitié : factorisation dee^{i a}±e^{i b}, oùaetbsont réels.

• Étude du nombre¹⁻^e^iθ

1+e^iθ, oùθ∈]−π,π[.

• Résoudre les exercices 13, 14, 15 et la question 2 de l’exercice 11 de la feuille d’exercices 3 « Nombres complexes et trigonométrie−partie 2 ».

• Transformation d’une somme en produit pour cosinus et sinus.

• Résolution de l’équation cos(x)=0 d’inconnuex∈R.

• {x∈R: cos(x)6=0}=R\ {^π₂+kπ:k∈Z}=S

k∈Z]−^π₂+kπ, ^π₂+kπ[

• Définition de la fonction tangente et notationDtanpour son ensemble de définition.

• Visualisation de tan(x) grâce au cercle trigonométrique, pourx∈Dtan.

• Calcul de tan(x) pourx∈{0,^π₄,^π₃}.

• Propriété de l’ensembleDtan: symétrie par rapport à 0 et stabilité par la transformation affinex7→x+π.

• La fonction tangente est impaire etπ-périodique.

• Formules d’addition pour tangente.

• Définition de la factorielle d’un entier naturel.

• Relation de récurrence pour les factorielles.

• Calcul den! pourn∈J^{0, 7}K^.

• Définition des coefficients binomiaux¡_n

k

¢, oùn∈Netk∈J^0,ⁿK^. Devoirs pour le lundi 29 septembre 2014

• Correction des questions 1, 2 et 3 de l’exercice 15.

Vendredi 26 septembre 2014 : Devoir surveillé 1 (3h)

Thèmes

• Système linéaire 2×2 à coefficients complexes.

• Somme de termes en progression géométrique.

• Puissances dej.

• Conjugaison complexe.

• Formules d’Euler.

• Angle moitié.

• Inégalité triangulaire.

• Relation fonctionnelle pour les nombreseⁱ^θ, oùθ∈R.

• Formule d’addition pour cosinus.

• Transformation d’un produit de cosinus en somme et application au calcul de primitives.

• Équations trigonométriques.

(8)

• Résolution de|z| = |¹_z| = |1−z|d’inconnuez∈C^∗.

• Siz₁,z₂,z₃sont trois nombres complexes de module 1, alors|z₁+z₂+z₃| = |z₁z₂+z₁z₃+z₂z₃|.

Semaine 2 (du 29 septembre au 3 octobre 2014)

• Relations de symétrie pour les coefficients binomiaux.

• Coefficients binomiaux aux extrémités d’une ligne du triangle de Pascal.

• Relations de Pascal pour les coefficients binomiaux.

• Les coefficients binomiaux sont des entiers naturels.

• Triangle de Pascal.

• Un mot sur l’interprétation combinatoire des coefficients binomiaux.

• Formule du binôme de Newton (preuve par récurrence).

Lundi 29 septembre 2014 : TD (2h, dont 1h en îlots)

Questions de cours du programme de colles de la semaine 2

• SiMest un point du cercleC(Ω(−3+3i), 2), alors 3p

2−2≤OM≤3p 2+2.

• Calcul d’une primitive de la fonction

¯

f : R → R

x 7→ cos²(x) cos(5x).

• Siz∈U\ {1}, alors Re¡ ₁

1−z

¢=¹₂.

Formule du binôme de Newton et un pas vers les formes exponentielles de complexes non nuls

• Calcul de la forme algébrique de (1+i)⁷, de deux manières.

• Exemples d’applications de la formule du binôme de Newton

— Développement de (z1+z2)³, pourz1etz2des nombres complexes.

— Développement de (z₁+z₂)⁴, pourz₁etz₂des nombres complexes.

— Calcul de la somme

n

X

k=0

Ãn k

!

2^k(−3)^n−k pour tout entier natureln.

n

X

k=0

Ãn k

! 2^k pour tout entier natureln.

n

X

k=0

Ãn k

!

pour tout entier natureln.

(9)

• Définition d’un polynôme en cos(θ), sin(θ), oùθ∈R.

• Définition d’une linéarisation d’un polynôme en cos(θ), sin(θ), oùθ∈R.

• Linéarisation de cos²(θ) et cos³(θ), oùθ∈R, à l’aide de formules de trigonométrie établies auparavant.

• Formule de Moivre (preuve par récurrence).

• Linéarisation de cos⁴(θ) et de cos³(θ) sin³(θ), oùθ∈R, en utilisant les formules d’Euler, la formule du binôme de Newton, la formule de Moivre et la relation fonctionnelle pour les nombreseⁱ^θ, oùθ∈R.

• Écriture de cos(3θ) comme un polynôme en cos(θ), oùθ∈R.

• Somme de termes en progression géométrique (preuve en manipulant le symbole sommatoireΣ).

• Calcul de la somme

n−1

X

k=0

e^i2kπⁿ

pour tout entier natureln≥2 et déduction des valeurs des sommes :

n−1X

k=0

cos µ2kπ

n

¶ et

n−1X

k=0

sin µ2kπ

n

¶ .

• Effets de quelques transfomations affines sur cos et sin.

• Valeurs remarquables de cos, sin et tan.

• Cas d’égalité de deux sinus.

• Définition deeⁱ^θ, oùθ∈R.

• Relation fonctionnelle pour les nombreseⁱ^θ, oùθ∈R.

• Formules d’addition pour cos et sin.

• Calcul d’une primitive de la fonctionx7→sin(2x) sin(x).

• Formules d’angle moitié : factorisation dee^{i a}±e^{i b}, pour des réelsaetb.

• Deux écritures du domaine de définition de la fonction tan.

Devoirs pour le jeudi 2 octobre 2014

Jeudi 2 octobre 2014 : cours (2h)

Discussion sur les copies du devoir maison 1

• Structure des démonstrations (e.g. un raisonnement par analyse-synthèse comporte trois temps : l’analyse, la synthèse, la conclusion).

• Dans les résolutions d’équations et de systèmes, des liens logiques corrects et justifiés sont attendus.

• Équivalences : vérifier si la réciproque est vraie et se demander si la réciproque est utile au raisonnement.

• Six∈R, alorsp x²= |x|.

• Six∈Reta∈R⁺, alorsx²=asi et seulement six= −p

aoux=p a.

• Une preuve géométrique ne saurait être une simple figure présentant un cas particulier duquel on dé- duit des propriétés générales. Il s’agit d’une démonstration s’appuyant sur des propriétés issues de la géométrie (e.g. les différentes caractérisations de la médiatrice d’un segment).

• Existence d’une forme exponentielle pour un nombre complexe non nul.

• Lien entre le module et une forme exponentielle pour un nombre complexe non nul.

• Une méthode pour calculer une forme exponentielle explicite d’un nombre complexe non nul, lorsque cela est possible (cf. valeurs remarquables de cos et sin).

• Définition d’un argument d’un nombre complexe non nul.

• Détermination de quelques formes exponentielles de nombres complexes non nuls « bien choisis » par voie analytique ou géométrique.

• Sur le défaut d’unicité d’un argument d’un nombre complexe non nul.

(10)

• Introduction de la notation arg(z), définie à un multiple entier de 2πprès (z∈C^∗).

Devoirs pour le lundi 6 octobre 2014

• Déterminer la forme algébrique de

³1+ip 3 2−2i

´1996

.

• Résoudre l’exercice 25 feuille d’exercices 4 « Nombres complexes et trigonométrie−partie 3 ».

Jeudi 2 octobre 2014 : TD (1h)

• Correction de l’exercice 23.

Semaine 3 (du 6 au 10 octobre 2014)

Lundi 6 octobre 2014 : cours (2h)

• Introduction de la relation de congruence modulo 2π.

• Interprétation géométrique de la notion d’argument pour un nombre complexe non nul en termes de mesures d’angle.

• Cas d’égalité de deux formes exponentielles.

• Propriétés algébriques des arguments.

• Calcul d’une puissance d’un nombre complexe dont on connaît une forme exponentielle.

• Calcul de la forme algébrique de³

1+ip 3 2−2i

´1996

.

Lundi 6 octobre 2014 : TD (2h)

• Calcul de la forme algébrique de¡

−1+ip 3¢n

pour toutn∈N.

• Développement de (2−i)⁶à l’aide de la formule du binôme de Newton.

n

X

k=0

cos µ2kπ

n +ϕ

¶

oùn∈N^∗etϕ∈R.

• Correction du calcul des deux premières sommes de l’exercice 24.

• Résolution des questions 1 et 2 de l’exercice 26.

(11)

Mardi 7 octobre 2014 : cours (3h)

• Transformation deacos(t)+bsin(t), avec (a,b)∈R²enAcos(t−ϕ), avec (A,ϕ)∈R≥0×R.

• Définition d’une racine carrée d’un nombre complexe.

• Théorème sur les racines carrées d’un nombre complexe non nul.

• Une méthode pratique pour calculer les deux racines carrées d’un nombre complexe non nul.

• Forme canonique d’un polynôme du second degré à coefficients complexes.

• Définition du discriminant d’un polynôme du second degré à coefficients complexes.

• Théorème sur la résolution d’une équation du second degré à coefficients complexes.

• Théorème sur la somme et le produit des racines d’une équation du second degré à coefficients complexes.

• Définition den! pour toutn∈N.

• Relation de récurrence pour les factorielles.

• Définition des coefficients binomiaux, via les factorielles.

• Valeur de¡_n

2

¢pour toutn∈N≥2.

• Propriété de symétrie des coefficients binomiaux.

• Relation de Pascal pour les coefficients binomiaux.

• Formule du binôme de Newton dansC.

• Formule de Moivre.

• Linéarisation de sin⁴(θ), oùθ∈R. Devoirs pour le jeudi 9 octobre 2014

• Résoudre les exercices 29, 30 et les questions 1,2,3 de l’exercice 31 de la feuille d’exercices 5 « Nombres complexes et trigonométrie−partie 4 ».

• Détermination de deux nombres complexes connaissant leur somme et leur produit.

• Définition d’une racinen-ième et de l’ensembleUn⊂U, oùn∈N≥2.

• Description explicite deU2,U3etU4.

• Propriétés de l’ensembleUn, oùn∈N≥2: 1∈Un, stabilité par conjugaison, stabilité par multiplication, stabilité par passage à l’inverse.

• Théorème sur la description en extension de l’ensembleUn, oùn∈N≥2. Devoir maison 2 à rendre le jeudi 16 octobre 2014

• Sommes trigonométriques.

• Formule du binôme de Newton dansC.

• Angle moitié.

• Racinesn-ièmes de l’unité, oùn∈N≥2.

• Calcul de cos¡₂_π

5

¢.

• Somme de termes en progression géométrique.

• Équation du second degré à coefficients complexes.

• Racinesn-ièmes d’un nombre complexe non nul, oùn∈N≥2. Jeudi 9 octobre 2014 : TD (1h)

• Correction des questions 1 et 2 de l’exercice 31.

Racines de l’unité

• Calcul de la somme des racinesn-ième de l’unité, pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 2.

(12)

Semaine 4 (du 13 au 17 octobre 2014)

Lundi 13 octobre 2014 : cours (2h)

Suite et fin du chapitre 2 « Nombres complexes et trigonométrie »

• Description explicite deU6et image deU6dans le plan.

• Définition d’une racinen-ième d’un nombre complexe non nul, oùn∈N≥2.

• Recherche théorique des racinesn-ièmes d’un nombre complexe non nul, oùn∈N≥2.

• Définition de l’exponentielle d’un nombre complexe.

• Relation fonctionnelle vérifiée par l’exponentielle complexe (admise).

• Cas d’égalité de deux exponentielles complexes.

Début du chapitre 3 « Logique, ensembles et applications »

• Définitions d’une proposition logique et de la valeur de vérité d’une telle.

• Définition d’un prédicat.

• Définition des deux quantificateurs∀et∃.

• Définitions d’une proposition logique quantifiée et de la valeur de vérité d’une telle.

Lundi 13 octobre 2014 : TD en îlots (2h)

• Résolution de l’équationz³+z²+z+1=0 d’inconnuez∈C. Indications pour le devoir maison 2

• Soitx∈Retk∈N.

sin²(kx) = 1−cos²(kx) [Cf. relation de Pythagore]

= 1− µ1

2+1

2cos(2kx)

¶

[Cf. formule de duplication pour cos]

= 1 2−1

2cos(2kx)

= Re µ1

2−1 2e^i2kx

¶

= Re µ1

2−1 2

¡eⁱ^2x¢k¶

[Cf. formule de Moivre]

• La somme des racines cinquièmes de l’unité est nulle (cf. somme de termes en progression géomé- trique).

• Siz∈C, alorsz⁵−z⁴+z³−z²+z−1 est une somme de termes en progression géométrique.

Retour sur l’interrogation de cours 4

• Linéarisation de sin⁴(θ), oùθ∈R.

(13)

Mardi 14 octobre 2014 : cours (3h)

Suite du chapitre 3 « Logique, ensembles et applications »

• Définition des connecteurs logiques non, ou, et.

• Négation d’une proposition logique quantifiée.

• Propriétés des connecteurs logiques non, ou, et.

• Définition d’une implication.

• Définition d’une condition nécessaire (resp. suffisante).

• Négation d’une implication.

• Contraposée d’une implication.

• Définition d’une équivalence.

• Exemple de rédaction d’une démonstration d’une propriété commençant par∀.

∀x∈[−1, 3], 0≤x²≤9.

• Exemple de rédaction d’une démonstration d’une implication.

∀x∈R≥0, ∀y∈R≥0, x<y⇒x³<y³.

• Exemple de rédaction d’une démonstration d’une équivalence.

∀x∈R, 0≤x≤2⇔2≤x²−2x+3≤3.

• Théorème sur les racines carrées complexes d’un nombre complexe non nul.

• Définition d’une forme exponentielle d’un nombre complexe non nul.

• Résolution d’une équation du second degré à coefficients complexes.

• Cas d’égalité de deux formes exponentielles.

• Définition d’une racinen-ième de l’unité, oùn∈N≥2.

• Description explicite de l’ensembleUn, oùn∈N≥2.

• Écriture de 3 cos(t)−p

3 cos(t) sous la formeAcos(t−ϕ), avecA∈R>0etϕ∈R. Devoirs pour le lundi 3 novembre 2014

• Résoudre les exercices 36, 37 et 39 de la feuille d’exercices 6 « Logique ».

Jeudi 16 octobre 2014 : TD (1h)

Feuille d’exercices 6 « Logique »

(14)

Semaine 5 (du 3 au 7 novembre 2014)

Lundi 3 novembre 2014 : cours (2h)

• Raisonnement par récurrence.

• L’identité

n

X

k=0

2p+1=(n+1)²

pour toutn∈N: interprétation de la somme, explication géométrique, première démonstration utilisant la somme des premiers entiers, deuxième démonstration par récurrence.

• Raisonnement par contraposition.

• Démontration de

∀x∈R\ {1}, ∀y∈R\ {1}, x6=y⇒x+2 x−16=y+2

y−1 par contraposition.

• Raisonnement par l’absurde.

• Démonstration de l’irrationnalité dep 2.

• Raisonnement par analyse-synthèse.

• Notions d’ensemble et d’appartenance.

• Ensemble défini en sélectionnant certains éléments d’un ensemble donné.

• Ensemble décrit de manière paramétrique.

• Ensemble vide.

Lundi 3 novembre 2014 : TD en îlots (2h)

• Résolution de l’équation

e^z= −1 d’inconnuez∈C.

• Résolution de l’équation

z⁴+4z³+6z²+4z+65=0 d’inconnuez∈C.

• Démonstration de

∀x∈]− ∞, 1[, ∀y∈]− ∞, 1[, x6=y⇒x²−2x+26=y²−2y+2.

• Correction des exercices 37, 38 et 39.

• Résolution des exercices 40, 42 et de la question 2 de l’exercice 43.

Mardi 4 novembre 2014 : cours (3h)

• Inclusion d’un ensemble dans un autre.

• Égalité de deux ensembles.

• Parties d’un ensemble.

• Tout ensemble possède deux parties naturelles :;et lui-même.

• Ensemble des parties d’un ensemble.

• Complémentaire d’une partie d’un ensemble.

• Réunion de deux ensembles.

• Intersection de deux ensembles.

(15)

• Propriétés des opérations sur les parties d’un ensemble.

• Propriétés liant inclusion entre ensembles et opérations sur les parties d’un ensemble.

• Produit cartésien de deux ensembles.

• Produit cartésien d’un nombre fini d’ensembles.

Devoirs pour le jeudi 6 novembre 2014

• Démontrer que siAetBsont deux parties d’un ensemble alors A∩B=A ⇐⇒ A⊂B.

• Résoudre l’exercice 44 de la feuille d’exercices 6 « Logique ».

• Résoudre les exercices 48 et 49 de la feuille d’exercices 7 « Ensembles ».

Jeudi 6 novembre 2014 : cours (2h)

• Notion d’application.

• Antécédent d’un élément du but par une application.

• Égalité de deux applications.

• Graphe d’une application.

• Ensemble des applications d’un ensemble dans un autre.

• Application identité d’un ensemble.

• Restriction d’une application.

Devoirs pour le lundi 10 novembre 2014

• Résoudre l’exercice 50 de la feuille d’exercices 7 « Ensembles ».

Jeudi 6 novembre 2014 : TD (1h)

Retour sur une propriété du cours Démonstration de la propriété

A∩B=A ⇐⇒ A⊂B oùAetBsont deux parties d’un ensemble.

Feuille d’exercices 7 « Ensembles »

Vendredi 7 novembre 2014 : Devoir surveillé 2 (3h)

Thèmes

• Formes exponentielles d’un nombre complexe : application au calcul de cos¡_π

12

¢et sin¡_π

12

¢.

• Résolution d’une équation trigonométrique de la formeacos(x)+bsin(x)=c, oùa,b,csont des para- mètres réels etxest l’inconnue dans ]−π,π].

• Linéarisation d’un polynôme trigonométrique : application au calcul d’une primitive dex7→sin⁴(x).

• Écriture de sin(5x) comme un polynôme en cos(x), oùx∈R: application au calcul de cos¡_π

5

¢.

• Calcul d’une somme trigonométrique.

• Calcul d’une somme mettant en jeu les racinesn-ièmes de l’unité (n∈N≥2).

• Racines carrées d’un nombre complexe non nul.

• Racines cinquièmes d’un nombre complexe non nul.

• Résolution d’une équation de degré 2 à coefficients complexes.

• Inégalité de Bernoulli.

A∪B=A ⇐⇒ B⊂A oùAetBsont des parties d’un ensemble.

(16)

Semaine 6 (du 10 au 14 novembre 2014)

• Composition de deux applications.

• Défaut de commutativité de la composition.

• Composition d’une application par l’application identité.

• Le composition est associative.

• Trois définitions d’une application injective : formellement, en termes de nombre de solutions d’équa- tions, en termes de nombre d’antécédents.

• La composée de deux applications injectives est injective.

• Trois définitions d’une application surjective : formellement, en termes de nombre de solutions d’équa- tions, en termes de nombre d’antécédents.

• La composée de deux applications surjectives est surjective.

• Résoudre l’exercice 57 de la feuille d’exercices 8 « Applications ».

Lundi 10 novembre 2014 : TD (1h)

{(2−t,t+1) :t∈R}=©

(x,y)∈R²:x+y−3=0ª puis interprétation géométrique du résultat.

• Détermination de l’intersection

{(t−1,t+2) :t∈R}∩©

(x,y)∈R² : 2x−3y+5=0ª puis interprétation géométrique du résultat.

Feuille d’exercices 7 « Ensembles »

Feuille d’exercices 8 « Applications »

Jeudi 13 novembre 2014 : Cours (30’)

• Définition d’une application bijective.

• Définition de l’application réciproque d’une application bijective.

Jeudi 13 novembre 2014 : cours/TD (2h)

Début du chapitre 4 « Nombres complexes et géométrie »

• Critère de colinéarité de deux vecteurs du plan en termes de nombres complexes.

• Critère d’alignement de trois points du plan en termes de nombres complexes.

• Critère d’orthogonalité de deux vecteurs du plan en termes de nombres complexes.

• Définition d’une translation du plan.

(17)

• Expression d’une translation du plan en termes de nombres complexes.

• Interprétation géométrique de l’addition dansC.

• Propriétés des translations du plan (bijectivité, bijection réciproque, composition).

• Définition d’une homothétie du plan.

• Expression d’une homothétie du plan en termes de nombres complexes.

• Propriétés des homothéties du plan de centre un point donné (bijectivité, bijection réciproque, composition).

• Interprétation géométrique de la multiplication d’un complexe par un réel non nul fixé.

Semaine 7 (du 17 au 21 novembre 2014)

• Exemples de calculs d’applications réciproques.

• Propriétés la réciproquef⁻¹d’une application bijectivef :f◦f⁻¹,f⁻¹◦f,f⁻¹est bijective et (f⁻¹)⁻¹= f.

• SiEest un ensemble,i d_Eest bijective et (i d_E)⁻¹=i d_E.

• Bijectivité de la composée de deux applications bijectives et expression de l’application réciproque de la composée.

• Définition de l’image directe d’une partie de la source d’une application.

• Définition formelle d’une application injective.

• Définition d’une application surjective en termes de nombre de solutions d’équations.

• Définition de l’application réciproque d’une application bijective.

• Calcul d’une composée d’applications.

• Démonstration d’une des deux lois de Morgan en théorie des ensembles.

Devoirs pour le mardi 18 novembre 2014

• Résoudre l’exercice de la feuille de TD commun TS-PTSI « Étude d’une famille de fonctions ».

• Étude de l’injectivité de l’application

¯

f : ©

(x₁,x₂)∈R²:x₁>x₂ª

→ R²

(x₁,x₂) 7→ (x₁+x₂,x₁x₂).

• Étude de la surjectivité des applications

¯

f : R → R

x 7→ x² et

¯

f : C → C

z 7→ z². Feuille d’exercices 8 « Applications »

• Début de la correction de l’exercice 59.

Mardi 18 novembre 2014 : TD commun PTSI-TS (1h)

Feuille de TD commun TS-PTSI « Étude d’une famille de fonctions »

• Correction des questions 1.(a)–1.(d).

(18)

Suite et fin du chapitre 3 « Logique, ensembles et applications »

• Définition de l’image réciproque d’une partie du but d’une application.

• Exemples de calculs d’images directes et d’images réciproques.

• Propriétés des images directes et des images réciproques relativement à l’inclusion, la réunion et l’intersection.

Début du chapitre 5 « L’ensembleRdes nombres réels »

• Définition géométrique des nombres réels aboutissant à la notion de droiteRdes nombres réels (rappel).

• Définition géométrique de la relation d’ordre≤surR(rappel).

• Propriété de la relation d’ordre≤surR(réflexivité, antisymétrie, transitivité).

• Compatibilité de la relation d’ordre≤surRavec les opérations+et×: ajout d’un nombre à chaque membre d’une inégalité, multiplication de chaque membre d’une inégalité par un nombre positif (resp.

négatif ).

• « Règles des signes » (rappel).

• Sens de variation de quelques fonctions usuelles (fonctions affines, fonction carrée, fonction racine car- rée, fonction inverse, fonction logarithme népérien, fonction exponentielle).

• Résoudre les exercices 60, 61 et 65 de la feuille d’exercices 8 « Applications ».

Jeudi 20 novembre 2014 : cours/TD (2h)

Début du chapitre 4 « Nombres complexes et géométrie »

• Critère de colinéarité de deux vecteurs du plan en termes de nombres complexes.

• Critère d’alignement de trois points du plan en termes de nombres complexes.

• Critère d’orthogonalité de deux vecteurs du plan en termes de nombres complexes.

• Définition d’une translation du plan.

• Expression d’une translation du plan en termes de nombres complexes.

• Interprétation géométrique de l’addition dansC.

• Propriétés des translations du plan (bijectivité, bijection réciproque, composition).

• Définition d’une homothétie du plan.

• Expression d’une homothétie du plan en termes de nombres complexes.

• Propriétés des homothéties du plan de centre un point donné (bijectivité, bijection réciproque, composition).

• Interprétation géométrique de la multiplication d’un complexe par un réel non nul fixé.

Semaine 8 (du 24 au 28 novembre 2014)

Lundi 24 novembre 2014 : cours/TD (2h)

Suite et fin du chapitre 4 « Nombres complexes et géométrie »

• Définition d’une rotation du plan.

• Expression d’une rotation du plan en termes de nombres complexes.

• Propriétés des rotations du plan de centre un point donné (bijectivité, bijection réciproque, composition).

• Interprétation géométrique de la multiplication d’un nombre complexe par un nombre complexe de module 1 fixé.

(19)

• Interprétation géométrique de la multiplication dansC.

• Interprétation géométrique des applications

¯

f : C → C

z 7→ (1+i)z−2i et

¯

g : C → C

z 7→ (1−i)z+2i.

• Étude des propriétés générales des similitudes (directes) du plan, i.e. des applications

¯

f : C → C

z 7→ az+b

où (a,b)∈C^∗×C.

• Caractère bien défini, bijectivité et application réciproque de l’application

¯

f : R\ {5} → R\ {−2}

x 7→ 3−2x

x−5 .

• Détermination def(R) oùf est l’application

¯

f : R → R

x 7→ x²−x+2 après une conjecture graphique.

• Correction des exercices 60, 61.

• Correction des questions 1.(a) et 1.(b) de l’exercice 65.

Mardi 25 novembre 2014 : TD commun PTSI-TS (1h)

Feuille de TD commun TS-PTSI « Étude d’une famille de fonctions »

• Correction des questions 1.(e)–2.(c).

Suite du chapitre 5 « L’ensembleRdes nombres réels »

• Addition membre à membre de deux inégalités.

• Multiplication membre à membre de deux inégalités ne mettant en jeu que des nombres positifs.

• Deux définitions de la valeur absolue d’un nombre réel (par morceaux et à l’aide d’un max).

• Définition de la fonction valeur absolue.

• Valeur absolue et distance entre deux points de la droite réelle.

• Valeur absolue d’un réel versus racine carrée du carré de ce réel.

• Propriété de la valeur absolue (valeur absolue d’un réel versus celle de son opposé, signe d’une valeur absolue, séparation, multiplicativité, ordre entre un nombre réel et sa valeur absolue, inégalité triangulaire).

• Cas d’égalité dans l’inégalité de droite de l’inégalité triangulaire.

• Écriture de|x| ≤rà l’aide d’une double inégalité, sans valeur absolue (x∈R,r∈R≥0).

• Propriété d’Archimède.

(20)

• Définitions d’un majorant (resp. minorant) d’une partie deRet d’une partie deRmajorée (resp. mino- rée).

• Définition d’une partie bornée deR.

• Critère pour qu’une partie deRsoit bornée (cf. « majorée en valeur absolue »).

• Définition du maximum (resp. minimum) d’une partie deR.

• Unicité du maximum (resp. minimum) d’une partie deRqui en possède un.

• Résultats sur la composée de deux applications bijectives.

• Définition de l’image directe d’une partie de la source d’une application.

• Définition de l’image réciproque d’une partie du but d’une application.

• Calculs d’images directes et d’images réciproques de parties deRpar l’application

¯

f : R → R

x 7→ x².

Devoirs pour le lundi 1^erdécembre 2014

• Résoudre les exercices 69, 70 et 71 de la feuille d’exercices 9 « L’ensembleRdes réels ».

Jeudi 27 novembre 2014 : TD (1h)

Retour sur l’interrogation de cours 7

• Correction des calculs d’images directes et d’images réciproques de parties deRpar l’application

¯

f : R → R

x 7→ x²

demandés.

Semaine 9 (du 1

^er

au 5 décembre 2014)

Lundi 1^erdécembre 2014 : cours (2h)

• Définition de la borne supérieure (resp. inférieure) d’une partie deR.

• Calculs de quelques bornes supérieures de parties deR.

• Propriété de la borne supérieure et propriété de la borne inférieure.

• Construction dep

2 comme borne supérieure de {x∈Q:x²≤2}.

(21)

Lundi 1^erdécembre 2014 : TD (2h)

• Interprétation géométrique de l’application

¯

f : C → C

z 7→ (p

3−i)z+2−i.

• Signe de

sin(2x)+cos(x)

pour toutx∈[−π,π] (transformation de l’écriture, puis utilisation du cercle trigonométrique).

Feuille d’exercices 9 « L’ensembleRdes réels »

• Correction des exercices 69, 70 et 71.

Mardi 2 décembre 2014 : cours (3h)

Retour sur le devoir surveillé 2

• Correction des exercices 1, 2, 5 et 6.

• Caractérisation formelle de la borne supérieure (resp. inférieure) d’une partie deR.

• Borne supérieure versus maximum et borne inférieure versus minimum.

• Propriété du bon ordre dansN.

• Définition de la partie entière d’un nombre réel.

• Fonction partie entière.

Devoirs pour le jeudi 4 décembre 2014

• Résoudre les exercices 74 et 76 de la feuille d’exercices 9 « L’ensembleRdes réels ».

Jeudi 4 décembre 2014 : cours (2h)

Suite et fin du chapitre 5 « L’ensembleRdes nombres réels »

• Propriétés de la partie entière d’un nombre réel (e.g. croissance, effet de la transformationx7→x+1).

• Définition d’un intervalle deR.

• Exemples de parties deRqui sont des intervalles (resp. qui ne sont pas des intervalles).

• Théorème de classification des intervalles deR. Début du chapitre 6 « Fonction réelle de la variable réelle »

• Définitions d’une fonction, de son ensemble de définition, de l’application associée.

• Définition de la courbe représentative d’une fonction.

• Définition de la parité (resp. de l’imparité) d’une fonction.

Devoirs pour le lundi 8 décembre 2014

• Résoudre les exercices 79, 80, 81 et 82 de la feuille d’exercices 9 « L’ensembleRdes réels ».

Jeudi 4 décembre 2014 : TD (1h)

(22)

Vendredi 5 décembre 2014 : Devoir surveillé 3 (3h)

Thèmes

• Inéquation trigonométrique.

• Étude de l’injectivité et de la surjectivité d’une application.

• Application (linéaire) bijective deR²dansR²et calcul de son application réciproque.

• Application involutive.

• Alignement de trois points du plan et nombres complexes.

• Étude d’une similitude : interprétation géométrique, caractère bijectif, application réciproque, image directe d’un disque.

• Image réciproque d’une partie du but d’une application.

• Étude du minimum, de la borne inférieure, du maximum, de la borne supérieure de l’ensemble des termes d’une suite homographique.

• Inégalités et preuve de la continuité d’une fonction en un point en revenant à la définition formelle.

• Informatique : calcul de la factorielle d’un entier et maximum d’une liste d’entiers positifs.

Semaine 10 (du 8 au 12 décembre 2014)

Lundi 8 décembre 2014 : cours (2h)

Suite du chapitre 6 « Fonctions réelles de la variable réelle »

• Parité d’une fonction : réduction de l’ensemble d’étude, propriété de la courbe représentative.

• Définition d’une fonction périodique.

• Périodicité d’une fonction : réduction de l’ensemble d’étude, propriété de la courbe représentative.

• Courbe représentative de la fonction réciproque d’une fonction bijective.

Lundi 8 décembre 2014 : TD (2h)

• Correction des exercices 79, 80, 81 et 82.

Retour sur le devoir surveillé 3

Mardi 9 décembre 2014 : cours (3h)

• Opérations sur les fonctions (somme, multiplication par un scalaire, produit, inverse, quotient, compo- sée).

• Définition d’une fonction croissante (resp. décroissante, monotone, stricement croissante, strictement décroissante, strictement monotone).

• Définition d’une fonction majorée (resp. minorée, bornée).

• Critère pour qu’une fonction soit bornée (cf. « majorée en valeur absolue »).

• Rappels sur la notion de limite pour les fonctions : « définition » intuitive, opérations sur les limites, forme indéterminée, composée de limites.

• Définition d’une fonction continue en un point (resp. sur un intervalle).

• Résultats sur la continuité des fonctions usuelles.

• Opérations sur les fonctions continues (somme, multiplication par un scalaire, produit, inverse, quotient, composée).

(23)

Jeudi 11 décembre 2014 : cours (2h)

• Dérivabilité d’une fonction en un point et nombre dérivé.

• Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle et fonction dérivée.

• Domaine de dérivabilité d’une fonction.

• Dérivabilité versus continuité.

• Dérivabilité et dérivées des fonctions usuelles.

• Opérations sur les fonctions dérivables (somme, multiplication par un scalaire, produit, inverse, quotient, composée).

• Définition de la partie entière d’un nombre réel.

• Définition d’un intervalle deR.

• Domaine de définition de la fonction

x7→ln¡ 4−x²¢ px+1 .

• Définition de la courbe représentative d’une fonction.

• Définition d’une fonction strictement croissante.

• Une fonction strictement monotone est injective.

Devoirs pour le lundi 15 décembre 2014

• Résoudre l’exercice 86 de la feuille d’exercices 9 « L’ensembleRdes réels ».

• Soit la fonction tangente hyperbolique, notée th, et définie par th :x7→e^x−e^−x

e^x+e⁻^x. 1. Déterminer le domaine de définition de th.

2. Étudier la parité éventuelle de th.

3. Étudier les limites éventuelles de th aux bornes de son domaine de définition. Qu’en déduire graphi- quement ?

4. Étudier les variations de th.

5. La fonction th est-elle majorée (resp. minorée, bornée) ? Possède-t-elle un maximum (resp. un minimum) ?

6. Préciser la tangenteT0de la courbe représentativeCthde la fonction tanh, puis étudier la position relative deT0etCth.

7. Tracer l’allure de la courbeCth.

Jeudi 11 décembre 2014 : Intervention des infirmières du lycée (1h)

Séance sur la prévention du stress

• Comment reconnaître le stress ?

• Hygiène et habitude de vie.

• Exercices de relaxation.

(24)

Semaine 11 (du 15 au 19 décembre 2014)

Lundi 15 décembre 2014 : cours (2h)

• Exemples d’études de dérivabilité et de calculs de dérivées.

• Dérivées d’ordres supérieurs.

• Étude de la limite de^sin(2014x)_x quandxtend vers 0.

Lundi 15 décembre 2014 : TD (2h)

Étude d’une fonction

• Correction de l’étude complète de la fonction th, à partir de l’expression de th(x) donnée sous forme exponentielle (i.e. sans le lien avec les fonctions ch et sh).

— Domaine de définition.

— Imparité.

— Limites aux bornes du domaine de définition et conséquences graphiques.

— Variations.

— Caractères minoré et majoré.

— Équation réduite de la tangenteT0de la courbeCthet position relative deT0etCth.

— Allure de la courbeCth. Mardi 16 décembre 2014 : cours (3h)

• Théorème de la bijection.

• Dérivabilité et dérivée d’une fonction réciproque.

• Fonction logarithme népérien, notée ln : définition (l’unique primitive de la restriction de la fonction inverse à ]0,+∞[ qui s’annule en 1) et propriétés.

• Fonction exponentielle, notée exp : définition (la fonction réciproque de la fonction logarithme népé- rien) et propriétés.

• Liens entre les fonctions ln et exp.

• Définition de la notationx^α, oùx∈R>0etα∈R: « forme exponentielle-log ».

• Cohérence de la définition dex^αvia la forme « forme exponentielle-log » avec des définitions rencon- trées antérieurement, dans le cas oùx∈R>0etα∈Z.

• Propriétés de la notation puissance.

• Définition des fonctions puissancesp_α, oùα∈R.

• Propriétés des fonctions puissances.

• Définition dee:=exp(1) et justification de la notation exp(x)=e^x, oùx∈R. Jeudi 18 décembre 2014 : cours (2h)

• Fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique, notées respectivement ch et sh : définitions et propriétés.

• Fonctions tangente hyperbolique, notée th : définition et propriétés.

• Fonction arcsinus, notée Arcsin : construction, définition et propriétés.

(25)

Devoir maison 3 à rendre le lundi 5 janvier 2015

• Résolution de l’équation ch(x)=3 d’inconnuex∈Rd’abord par voie graphique, puis par voie analytique.

n−1

X

k=0

2^kth³ 2^kx´ oùx∈R^∗etn∈N^∗.

• Domaine de définitionDf de la fonction

f:x7→Arcsin³ 2xp

1−x²´

puis expression def(x) en fonction de Arcsin(x), pour toutx∈Df, d’abord en utilisant le calcul diffé- rentiel, puis en remarquant que toutxappartenant à [−1, 1] peut s’écrire sous la forme

x=sin(t) pour un (unique) réelt∈h

−π 2,π

2 i

.

Jeudi 18 décembre 2014 : TD (1h)

• Définition d’une fonction dérivable en un point.

• Définition du nombre dérivé en un point où une fonction est dérivable.

• Étude de la limite de^ln(3x+1)_x quandxtend vers 0.

• Domaine de définition, puis étude des variations de la fonction x7→x²e⁻^3x

2−x . Correction de l’interrogation de cours 9

• Auto-évaluation.

• Retour sur les concepts de dérivabilité en un point et de nombre dérivé : rôles essentiels des notions de taux d’accroissement et de limite.

• Résolution intégrale de l’interrogation de cours.

Semaine 12 (du 5 au 9 janvier 2015)

Lundi 5 janvier 2015 : cours (2h)

• Rappels sur la fonction arcsinus.

• Fonction arccosinus, notée Arccos : construction, définition et propriétés.

• Fonction arctangente, notée Arctan : construction, définition et propriétés.

Lundi 5 janvier 2015 : TD (2h)

• Calcul de Arcsin¡ sin¡₅_π

4

¢¢.

• Étant donné un paramètren∈N^∗, l’équationxⁿ+nx−1=0 d’inconnuex∈R≥0possède une unique solution.