Ch 9 Limites et comportement asymptotiques
1
èreS 3
Pour un polycopié en couleur, voir http://lhelmeg.keepandshare.com/
I. Limites lorsque x tend vers +∞ ou −∞... 3
A. Limite finie lorsque x tend vers +∞ ou −∞: On a une asymptote horizontale ...3
B. Limite infinie lorsque x tend vers +∞ ou −∞...4
II. Limite quand x tend vers un réel (fini)... 6
A. Limite finie lorsque x tend vers a ...6
B. Limite infinie lorsque x tend vers a: On a une asymptote verticale. ...7
III. Opérations algébriques sur les limites et théorèmes de comparaison ... 9
A. Limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient de fonctions ...9
B. Théorèmes de comparaison...10 Introduction
Introduction Introduction
Introduction : : : : Notion intuitive de limitesNotion intuitive de limitesNotion intuitive de limitesNotion intuitive de limites (finies et infinies, en un point et à l’infini)(finies et infinies, en un point et à l’infini)(finies et infinies, en un point et à l’infini)(finies et infinies, en un point et à l’infini) sur des exemples sur des exemples sur des exemples.... sur des exemples On étudie le comportement de f(x) [qui se lit comme toujours sur l’axe des ordonnées] lorsque x se rapproche d’un nombre fini ou de +∞ ou de −∞ [ce que l’on visualise sur l’axe des abscisses].
♠ Exemple 1.Notion intuitive de limite par lecture graphique
Quand x tend vers +, f(x) tend vers 2.
On note =
+∞
→ ( )
lim f x
x 2
♠ Exemple 2. Notion intuitive de limite par lecture graphique
Quand x tend vers +∞, )
(x
f tend vers 3. (voir la partie du graphe située dans l’ellipse rouge.)
On note lim ( )=3
+∞
→ f x
x .
Quand x tend vers −∞, )
(x
f tend vers −1 (voir la partie du graphe située dans l’hexagone noir.)
On note lim ( ) =−1
−∞
→ f x
x .
Quand x tend vers −1 par valeurs supérieures (c'est-à-dire que x se rapproche de −1 en restant supérieur à −1), )
(x
f tend vers 2. (voir la partie du graphe située dans le carré vert.) On note lim ( ) 2
1
1 =
>
→ f x
x
x .
Quand x tend vers −1 par valeurs inférieures (c'est-à-dire que x se rapproche de −1 en restant inférieur à −1), )
(x
f tend vers 0 (voir la partie du graphe située dans le triangle orange.) On note lim ( ) 0
1
1 =
<
→ f x
x
x .
f(x) tend vers 2
x tend vers +
que l’on visualise sur l’axe des ordonnées.
puisqu’il s’agit de valeurs de f(x)f(x)f(x)f(x) que l’on visualise sur l’axe des abscisses
puisqu’il s’agit de valeurs de xxxx
ère 2
♠ Exercice 3. Notion intuitive de limite par lecture graphique
Compléter :
=
−
<
−
→ ( )
lim
2 2 f x
x x
=
−
>
−
→ ( )
lim
2 2 f x
x x
=
<
→ ( )
lim
2 2f x
x x
=
>
→ ( )
lim
2 2f x
x x
♠ Exercice 4. Lecture de limites sur un graphe
Compléter :
=
→ ( )
lim
0 f x
x
=
+∞
→ ( )
lim f x
x
=
−∞
→ ( )
lim f x
x
♠Exercice 5. Limites des fonctions usuelles.
2 2
lim x
x→ = . . . , lim x2
x→−∞ = . . . , x
x
lim 1
+∞
→ = . . . , x
x
sin lim
3
→π
= . . . et
x x
x
lim 1
0
<0
→ = . . . Dessinez leurs graphes !
♠ Exercice 6.Lecture de limites sur un graphe
Compléter :
=
+∞
→ ( )
lim f x
x
=
−∞
→ ( )
lim f x
x
I. Limites lorsque x tend vers
+∞ou
−∞A. Limite finie lorsque x tend vers +∞ ou −∞ : On a une asymptote horizontale
1. Définitions Définition: On dit que la fonction f a pour limite l(l est un réel fini) lorsque x tend vers +∞ si on peut rendre f(x) aussi proche de lqu’on le souhaite à condition de prendre x suffisamment grand.
On note =l
+∞
→ ( )
lim f x
x .
Illustration (Geogébra)
♠ Exercice 7. Pour mieux comprendre cette définition, faites apparaître la version interactive de la figure ci-dessus à http://www.keepandshare.com/doc/view.php?id=1680493&da=y .
Prenez des valeurs de ε de plus en plus petites et constatez que l’on peut à chaque fois choisir une valeur de x0 pour laquelle on a bien l−ε ≤ f(x)≤l+ε dès que x≥x0. Complétez le tableau ci- dessous.
ε 1 0,1 0,5 0,01
Un x0 pour lequel l−ε ≤ f(x)≤l+ε dès que x≥x0. Vous pouvez aussi changer de fonction et recommencer ! Définition : Si =l
+∞
→ ( )
lim f x
x , on dit alors que la droite d’équation y=lest une asymptote horizontale pour la courbe Cf lorsque x tend vers +∞.
Exemple : lim ( )=2
+∞
→ f x
x donc Cf a pour asymptote horizontale la droite d’équation
=2
y lorsque x tend vers +∞
Remarque : Dire que =l
+∞
→ ( )
lim f x
x revient à dire que f(x)=l+ε(x) où xaε(x)est une fonction qui a pour limite 0 quand x tend vers +∞.
Remarque : Une fonction n’a pas nécessairement de limite quand x tend vers +∞ ( ex : sin x ).
• On a des définitions semblables quand x tend vers −∞ : Définition: On dit que la fonction
f a pour limite l lorsque x tend vers −∞ si on peut rendre
) (x
f aussi proche de lqu’on le souhaite à condition de prendre x suffisamment grand en valeur absolu mais négatif.
On note =l
−∞
→ ( )
lim f x
x .
Illustration (Geogébra)
ère 4
Def : Si =l
−∞
→ ( )
lim f x
x , on dit alors que la droite d’équation y=lest une asymptote horizontale pour la courbe représentative Cf de f lorsque x tend vers −∞.
♠ Exercice 8. lim ( )=−3
−∞
→ f x
x donc sur la figure ci-contre, Cf a pour asymptote horizontale la droite d’équation
−3
=
y lorsque x tend vers −∞.
Faire ci-contre une figure qui illustre cette situation.
2. Quelques limites à connaître
1 0
lim =
+∞
→ x
x et 1 0
lim =
−∞
→ x
x
Ces limites se lisent sur le graphe de la fonction inverse (voir ci-contre).
♠ Exercice 9. 1)
x
x
2 1 lim +
+∞
→ ; 2)
x x
x 1
3 1 5 lim
2
+ +
−∞
→ ; 3)
x x
x
lim +5
+∞
→ , 4)
x x
x
5 lim 3 +
+∞
→ , 5)
x x
x
+
+∞
→
lim 2 .
Remarque : Si le numérateur et le dénominateur d’une expression ont tout deux une limite infinie, il arrive que la limite soit égale à 1, ou à 8 ou à 2 ou à tout autre nombre ou encore que la limite soit infinie ou même qu’elle n’existe pas ! On ne peut pas le savoir avant de transformer l’expression pour lever l’indétermination en factorisant, simplifiant…etc. C’est pourquoi on dit qu’une telle limite est une forme indéterminée.
Il y plusieurs sortes de formes indéterminées (voir III.A.5 Bilan : Liste des formes indéterminées page 9), Lortsque le numérateur et le dénominateur d’une expression ont tout deux une limite infinie, on dit que la limite est une forme indéterminée de type
∞
∞.
B. Limite infinie lorsque x tend vers +∞ ou −∞ 1. Définitions
Def : On dit que la fonction f a pour limite +∞ lorsque x tend vers +∞ ssi on peut rendre f(x) aussi grand qu’on le souhaite à condition de prendre x suffisamment grand.
On note =+∞
+∞
→ ( )
lim f x
x .
♠ Exemple 10. : La fonction cube +∞
+∞ =
→
lim x3 x
−∞
−∞ =
→
lim x3 x
Illustrez ces résultats en traçant ci-contre la courbe représentative de la fonction cube.
Remarque : Dans le cas d’une limite infinie quand x tend vers +∞, la courbe Cf n’a PAS d’asymptote horizontale lorsque x tend vers +∞. Elle peut par contre dans certains cas admettre une asymptote oblique (voir page 6).
Def : On dit que la fonction f a pour limite +∞lorsque x tend vers −∞ ssi on peut rendre f(x) aussi grand qu’on le souhaite à condition de prendre x suffisamment grand en valeur absolu mais négatif.
On note =+∞
−∞
→ ( )
lim f x
x .
On définirait de même =−∞
+∞
→ ( )
lim f x
x et =−∞
−∞
→ ( )
lim f x
x .
2. Quelques limites à connaître
Les fonctions : i(x ) = x ; c( x ) = x2 ; h ( x ) = x3 et r( x ) = x ont pour limite +∞ quand x tend vers +∞ . On n’a pas besoin de l’apprendre par cœur, pensez aux courbes représentatives !
♠ Exercice 11. 1) x
xlim−22
+∞
→ ; 2)
+
+∞
→ x x
x
2 1
lim ; 3) lim 3−8 2+6
−∞
→ x x
x ; .
3. Limite à l’infini d’un polynôme et d’un quotient de polynômes Limite à l’infini d’un polynôme
♠ Exercice 12. 1) lim 5 7 −3 2 +2 +3
+∞
→ x x x
x ; 2) x x
xlim 7−2
−∞
→ ; 3) lim x2 2 x7
x −
+∞
→ .
Le résultat suivant n’est pas au programme mais il permet de trouver quasiment instantanément la limite de n’importe quel polynôme. Par contre, pour justifier la limite trouvée, on mettra en facteur le terme de plus haut degré, qui est la méthode préconisée par le programme.
Règle (HP= Hors Programme): La limite en +∞ ou −∞ d’un polynômes est égale à la limite de son terme de plus haut degré.
Par exemple, − − + + = − =−∞
+∞
→ +∞
→
7 2
7 5 5 8 lim 3
3
lim x x x x
x x
Cette astuce ne marche que pour les polynômes et que pour les limites en +∞ ou −∞. Limite à l’infini d’un quotient de polynômes
♠ Exercice 13. 1)
3 2
3 lim 5
2 7
+
−
+∞
→ x
x x
x
; 2)
9 8
3 lim 4 5
3 5
− +
−∞
→ x
x x
x
; 3)
π +
−
− +
−∞
→ x x
x x
x 7
3 5
4
6 8
lim 2
Le résultat suivant n’est pas au programme mais il permet de trouver quasiment instantanément la limite de n’importe quel quotient de polynômes. Par contre, pour justifier la limite trouvée, on mettra en facteur le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur puis on simplifiera, ce qui est la méthode préconisée par le programme.
Règle (HP= Hors Programme): La limite en +∞ ou −∞ d’un quotient de polynômes est égale à la limite du quotient de leurs termes de plus haut degré.
Par exemple ,
2 3 4 6 4 lim 6 6
9 4
8 5 5
lim 6 7
7 7
2
7 = = =
+
−
+ +
−
+∞
→ +∞
→ x
x x
x
x x x
x x
Cette astuce ne marche que pour les quotients de polynômes et que pour les limites en +∞ ou −∞.
∞−−−−∞ est une forme indéterminée
∞
∞ est une forme indéterminée
ère 6 4. Asymptote oblique
Lorsque f a une limite infinie en +∞ ou −∞, il peut arriver que la courbe représentative de f se rapproche d’une droite. Si c’est le cas, on dit que cette droite est une asymptote oblique.
♠ Exemple 14. Sur la figure ci-contre (à vos crayons !), la droite d’équation y=x+1 est asymptote oblique à la courbe Cf lorsque x tend vers +∞ et la droite d’équation
x
y=− est asymptote oblique à la courbe Cf lorsque x tend vers −∞
Interprétation graphique de la limite :
= +
−( ) )
(x ax b
f
Def : Si lim→+∞
(
f(x)−(ax+b))
=0x , la droite d’équation y=ax+best une asymptote oblique pour la courbe représentative Cf de f lorsque x tend vers +∞.
Def : Si lim
(
( )−( + ))
=0−∞
→ f x ax b
x , la droite d’équation y=ax+best une asymptote oblique pour la courbe représentative Cf de f lorsque x tend vers −∞.
II. Limite quand x tend vers un réel (fini)
A. Limite finie lorsque x tend vers a
Pour étudier la limite de f en a quand x tend vers a, il faut que x puisse s’approcher de a en restant dans Df. On va donc étudier la limite de f en a quand Df contient un intervalle de la forme
]
a,a+α[
ou]
a−α,a[
. On suppose cette condition remplie dans tout ce qui suit.Définition intuitive : On dit que la fonction f a pour limite llorsque x tend vers a ssi on peut rendre f(x) aussi proche de lqu’on le souhaite à condition de prendre x suffisamment proche de a.
On note =l
→ ( )
limf x
a
x .
♠ Exercice 15. =
− − +
→ ( 1) 3
2
lim 1 2
3 x
x
Remarque : Dire que =l
→ ( )
limf x
a
x revient à dire que f(x)=l+ε(x) où xaε(x)est une fonction qui a pour limite 0 quand x tend vers a .
Théorème : Si f est définie en a alors
a x→
limf(x) = f(a) .
Notation: Si on se limite aux valeurs de x supérieures à a, on dit f a pour limite llorsque x tend vers a par valeurs supérieures et on note =l
>
→ ( )
limf x
a x
a
x ou encore > =l
→
) ( lim f x
a x
ou encore + =l
→ ( )
lim f x
a
x . (« a+ »
pour « a plus un petit quelque chose »)
De même :
Notation: Si on se limite aux valeurs de x inférieures à a, on dit f a pour limite llorsque x tend vers a par valeurs inférieures et on note =l
<
→ ( )
limf x
a x
a
x ou encore < =l
→
) ( lim f x
a x
ou encore − =l
→ ( )
lim f x
a
x . (« a− »
pour « a moins un petit quelque chose »)
♠ Exercice 16. Avec
( )
x x x x
f
2 2
)
( +
= évaluer les limites suivantes1)lim ( )
0 0 f x
x x
>
→ ; 2)lim ( )
0 0 f x
x x
<
→ ; 3)lim ( )
0 f x
x→ .
Expression de f(x) selon le signe de x : Courbe représenative de f :
B. Limite infinie lorsque x tend vers a: On a une asymptote verticale.
1. Définitions
Définition intuitive : On dit que la fonction f a pour limite +∞lorsque x tend vers a ssi on peut rendre f(x) aussi grand qu’on le souhaite à condition de prendre x suffisamment proche de a.
On note =+∞
→ ( )
limf x
a
x .
Def : Si f admet une limite infinie lorsque x tend vers a par valeurs supérieures ou par valeurs inférieures (ou les deux) on dit alors que la droite d’équation x=aest une asymptote verticale pour la courbe représentative Cf de f .
♠ Exemple 17. Illustration graphique (à vos crayons !):
−∞
=
>
→ ( )
lim f x
a x
a
x =+∞
<
→ ( )
limf x
a x
a
x =−∞
<
→ ( )
limf x
a x
a x
ère 8 Exemple: f ( x ) = n
x
1 . Cf admet x = 0 comme asymptote verticale.
Si n est impair Si n est pair
2. Limites à connaître
+∞
=
>
→ x
x x
lim1
0
0 qui s’écrit aussi + =+∞
→ x
x
lim 1
0
−∞
=
<
→ x
x x
lim1
0
0 qui s’écrit aussi − =−∞
→ x
x
lim 1
0
Ces limites se lisent sur le graphe de la fonction inverse (voir ci-contre).
Graphe de la fonction inverse :
On en déduit par la règle des signes les limites du type x k
x x 0
lim0
>
→ où k est une constante non nulle.
♠ Exercice 18. (résolu) Evaluer
2 7 lim2
3
2
2 −
−
<
→ x
x
x
x .
D’une part, lim2 3 7 2 23 7 16 7 9
2 − = × − = − =
→ x
x .
D’autre part, lim 2 0
2 − =
→ x
x et si x<2alors x−2<0 donc =−∞
< −
→ 2
lim 1
2 2x
x
x .
On en déduit que −− =
(
−)
− =−∞<
→
<
→ 2
7 1 2 2 lim
7
lim2 3
2 2 3
2
2 x x
x x
x x x
x .
♠Exercice 19. 1)
x
x
x −
>
→ 1 lim 1
1
1 ; 2)
3 lim 1
1
1 −
>
→ x
x
x ; 3)
1 3 lim 5
1
1 −
+
−
>
→ x
x
x
x ; 4)
x
x
x −
−
<
→ 1 lim 3
1
1 ; 5)
3 lim 1
3
3 +
−
<
−
→ x
x
x ; 6)
( )
23
3 3
lim 1
− +
>
−
→ x
x
x
o o
Cet exercice résolu vise entre autres à vous donner un exemple de rédaction.
III. Opérations algébriques sur les limites et théorèmes de comparaison
A. Limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient de fonctions 1. Limite d’une somme
Si f a pour limite l +∞ −∞ +∞ −∞ +∞
et si g a pour limite l' l' l' +∞ −∞ −∞
alors f+g a pour limite l+l' +∞ −∞ +∞ −∞ Forme Forme Forme Forme indéterminée indéterminée indéterminée indéterminée Rappel : Dire qu’une limite est une forme indéterminée signifie qu’il est possible que la limite soit finie ou infinie ou même qu’elle n’existe pas ! On ne peut pas le savoir avant de transformer l’expression pour lever l’indétermination en factorisant, simplifiant…etc.
2. Limite d’un produit
Si f a pour limite l l≠0 +∞ ou −∞ l=0
et si g a pour limite l' +∞ ou −∞ +∞ ou −∞ +∞ou −∞
alors f ×g a pour limite l×l' +∞ ou −∞ On le détermine par
la règle des signes
∞
+ ou −∞ On le détermine par
la règle des signes
Forme Forme Forme Forme indéterminée indéterminée indéterminée indéterminée
3. Limite d’un inverse
Si f a pour limite l≠0 l=0 par valeurs supérieures
=0
l par valeurs
inférieures +∞ ou −∞ alors
f
1 a pour limite
l
1 +∞
(par la règle des signes)
∞
−
(par la règle des signes)
0
4. Limite d’un quotient
) ( ) 1 ) (
( ) (
x x g x f
g x
f = × donc on obtient cette limite en combinant les règles sur les inverses et celle sur les produits.
5. Bilan : Liste des formes indéterminées
Nous rencontrerons en Première S quatre formes indéterminéesquatre formes indéterminéesquatre formes indéterminéesquatre formes indéterminées : ∞ - ∞ ; 0 0 ;
∞
∞ ; ∞×0
(auxquelles s’ajouteront en Terminale 0 et 0 1+∞)
Dans tous les autres cas, la limite est ce que l’intuition nous dit qu’elle devrait être. Il n’est donc pas nécessaire de mémoriser les tableaux ci-dessus.
♠ Exercice 20. 1)
3 3 7 lim 2
2
3 +
+ +
−
→ x
x x
x
; 2)
0 1 limcos
0 −
−
→ x
x
x
; 3) x
x
x
limsin
→0 .
ère 10
♠ Exercice 21. Pour se convaincre que les formes indéterminées (FI) sont bien indéterminées La limite …. est (avant simplification) une
forme indéterminée du type ….
et la limite est…
1) lim 3
2
+
+∞
→ x
x
x
2)
3 lim 72
2
+
+∞
→ x
x
x
3)
3 lim 27
+
+∞
→ x
x
x
4) ∞
∞ 2
La limite …. est (avant simplification) une forme indéterminée du type ….
et la limite est…
1) x x
x
lim ×1
+∞
→
2) x x
x
lim 2 ×1
+∞
→
3)
×0
∞ 0
4) ∞×0 (valeur choisie par
votre voisin de table) B. Théorèmes de comparaison
Les énoncés sont adaptables aux cas « x tend vers −∞ » ou « x tend vers a ».
♠ Exercice 22. 1) x x
x
cos2
5 7
lim +
+∞
→ ; 2) lim 8x |2x cos(2x)|
x − +
−∞
→ ; 3)
x x
x
lim cos
+∞
→ .
1. Définitions Exemple : La fonction cube
+∞
+∞ =
→
lim x3 x
−∞
−∞ =
→
lim x3 x
Théorème :
Si pour x assez grand, on a f(x) > u(x) et si
+∞
→
xlim u (x ) = + ∞ alors
+∞
→
xlim f(x) = +
∞
Si pour x assez grand, on a f(x) < v(x) et si
+∞
→
xlim v (x ) = - ∞ alors
+∞
→
xlim f(x) = -
∞
Exemple : f(x) = 2 1 2
x +x
2 1 2
x +x
>
x x
x 1
2 = donc lim f( x) = + ∞ (x a 0 ) . Théorème : Si pour x assez grand , on a f(x)−l < u(x) et si
+∞
→
xlim u ( x) = 0 alors
+∞
→
xlim f (x ) = l . Théorème ( des gendarmes ) :
Si pour x assez grand , on a u ( x) < f (x) < v (x) et si
+∞
→
xlim u (x ) =
+∞
→
xlim v ( x ) = M alors
+∞
→ xlim f(x) = M.
Exemple : Déterminer la limite en +
∞
de f défini ( pour x > 0 ) par f ( x ) = xx2 1+
. La limite en +
∞
de f est une forme indéterminée du type∞
∞ . Encadrons f par deux fonctions.
On a : x2 < 1 + x 2 < ( 1 + x ) 2 ( car x > 0 ) D’où x < 1+x2 < 1 + x
Donc 1 <
x x2 1+
< 1 + x 1
Or xlim→+∞1= 1 et
+∞
→
xlim (1 + x
1 ) = 1 donc en appliquant le théorème des gendarmes
+∞
→
xlim f ( x ) = 1. Définition (rigoureuse mais non exigible en 1ère S) : On dit que la fonction f a pour limite l(l est un réel fini) lorsque x tend vers a ssi quel que soit le réel ε >0 choisi, on peut trouver un réel α correspondant tel que si x−a <α, alors f(x)−l <ε. On note =l
+∞
→ ( )
lim f x
x .
Exercice : Choisir une (petite) valeur de ε >0(c’est lorsque epsilon est petit que la définition prend tout son sens) et trouver graphiquement un nombre α correspondant au sens de la définition ci-dessus.
ère 12
♠ Exemple 23. Lecture de limites sur un graphe
Quand x tend vers +∞, f(x) tend vers +∞. (voir la partie du graphe située dans l’ellipse rouge.)
On note =+∞
+∞
→ ( )
lim f x
x .
Quand x tend vers −∞, f(x) tend vers −2 (voir la partie du graphe située dans l’hexagone noir.)
On note lim ( )=−2
−∞
→ f x
x .
Quand x tend vers 1 par valeurs supérieures, f(x) tend vers 3. (voir la partie du graphe située dans le carré vert.) On note lim ( ) 3
1
1 =
>
→ f x
x
x .
Quand x tend vers 1 par valeurs inférieures, f(x) tend vers −4 (voir la partie du graphe située dans le triangle.) On note lim ( ) 4
1
1 =−
<
→ f x
x
x .
♠ Exercice 24. Lecture de limites sur un graphe
Après avoir lu l’exemple précédent, compléter :
=
+∞
→ ( )
lim f x
x
=
−∞
→ ( )
lim f x
x
=
−
>
−
→ ( )
lim
1 1f x
x x
=
−
<
−
→ ( )
lim
1 1f x
x x
