Champs vectoriels à directions asymptotiques indéterminées

(1)

B ULLETIN DE LA S. M. F.

R. G ^ARNIER

Champs vectoriels à directions asymptotiques indéterminées

Bulletin de la S. M. F., tome 48 (1920), p. 106-108

<http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1920__48__106_1>

L’accès aux archives de la revue « Bulletin de la S. M. F. » (http:

//smf.emath.fr/Publications/Bulletin/Presentation.html) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/

conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

http://www.numdam.org/

(2)

- 106

CHAMPS VECTORIELS A DIRECTIONS ASYMPTOTIQUES INDÉTERMINÉES;

PAR M. BE»É GARNIER.

Dans une Note des Comptes rendus (^f ), j^ai traité un problème posé par M. G. Guichard, et étudié par M. Axel Egnell (2) ; par suite gd'une erreur de signe, le résultat qui termine cette Note se trouve incomplet (3). Mais, en fait, il est facile de résoudre com- plètement le problème par la méthode analytique quej^ai signalée.

Il s^agit de déterminer six fonctions inconnues X, Y, Z, u, v^ w satisfaisant à Inéquation

d\ dx -h d\ dy -+- dZ dz = (X dx -4- Y dy -\- Z djc)(u dx -h v dy -+- w ds) ;

or cette équation équivaut au système

0

à\ à\ àZ àx àx àx à\ à\ aï.

ày' ày ày àX ô^ï àZ 'àz ai àz

' =

uX u Y — p UZ-+-(JL t^X-t-p pY p Z — X W X — ( J L w Y + X w Z

9

(1) Comptes rendus, t. 169, 1919, p. 3a4.

(î) Ibid., t. 168, 1919, p. ia63.

(3) Cf. E. GOURSAT, Ibid., t. 169, 1919, p.

(3)

- 107 - dont les conditions d'intégrabilité s'écrivent

à\

'àx ~ à\

ày'

à\

àz -u\

-(/X - w X

^

(te- à^

ày

à^

as

— uy.

—v^

— w p, à?

~àx àp

ày

àp àz

——u?

-vç

— wp

==

(2)

Ç X - S ï î X ÇX ÇY ^ Y - S Î Y { ^ T)Z Ç Z — S

en posant

et

^ àw as ~~ ^ == ç î

()w ^M

= ^î» au àv àx àz ~~ n ày àx

2 S = Ç X - 4 - . - » ï Y 4 - Ç Z ) .

= î

Exprimons maintenant que ( 2 ) est complètement intégrable, et nous obtiendrons en tout les six équations (^< )

A== 3 S X + ^ Y -di z = o , os ày

B = 3 , ^ Z - g x = o ,

^^-^-^^

. D = 3 ( , p ^ ) ^ ^ Z - g x ^ ^ X - â v = o , , E - 3 ( a ^ S p ) ^ § X - ^ Y ^ ^ Y - ^ Z = o , , F ^ 3 ( ^ - . , X ) ^ g Y - ^ Z . ^ Z - g x = o ;

d^où l^on déduit aussitôt la combinaison

o = AX»-+- BY»+ CZ»-h îDYZ -h aEZX -h aFXY ai 3 ( S X -h T Ï Y + Ç Z ) ( À X -+- (JLY + pZ).

O/i devra donc avoir

(3) S(T = 0,

(1) Les systèmes (i) et (2), ainsi que l'équation E = o, figurent d*ailleuis dans la Note des Comptes rendus.

(4)

108 — en posant

<y = = X X -h piY-+- pZ.

Supposons d'abord ( r ^ o ; la condition (3) exigera S = = o ; mais on tire de ( i ) et ( 2 )

(

()y ()y ()ff \

^ ^>^ )= =•2 (^ ^w ) f f- "( x-Y'z)s-

on aura donc

à\oe,7 à loger àioev lu == ° » a^ = , ° , 2 w = — - ^ - ,

^.c o^ de

et en multipliant X, \, Z par un facteur d'ensemble convenable- ment choisi, on peut prendre a- == i, d'où*

K = = ( / = : = W = = 0 , Ç — = y ^ s = Ç = = o ;

X, ui, p sont des constantes et, en vertu de (i), le vecteur (X, Y, Z)

^ra normal au plan polaire <lu point (a*, y, ^) yoar rapport à un complexe linéaire. C'est la solution de la Note des Comptes rendus,

Mais on peut encore satisfaire à (3) en prenant o - = = o ; pour interpréter ce résultat, posons

H = = ^ X - + - y Y - ^ - ^ Z ; en nous appuyant sur ( r ) , nous trouverons

(

^{Y 7 ^}

"trg) x.

D ( y , ^ ) - H^

r . / Y Z \ / Y Z \

'iIllZ^Ji^—^ l i T H ,1 p ^ ^ Y

D ( ^ , . r ) HS <T' D ( ^ , J T ) "° HS ^ • " » X. Y Z

ce qui prouve que, pour o- == o, .,? •.,» „ sont, tous, fonctions l'un de l'autre; le vecteur (X, Y, Z) ^ alors perpendiculaire à un plan^ tangent à une développable et passant par le point (.y, y, ^), et l'on vérifie aussitôt que cette seconde solution répond bien à la question.

Champs vectoriels à directions asymptotiques indéterminées

B ULLETIN DE LA S. M. F.

R. G ARNIER