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La trajectographie du point de vue de la théorie des observateurs
Guchuan Zhu
To cite this version:
Guchuan Zhu. La trajectographie du point de vue de la théorie des observateurs. Automatique / Robotique. École Nationale Supérieure des Mines de Paris, 1992. Français. �NNT : 1992ENMP0375�.
�pastel-00838264�
THÈSE
présentée à
L'ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DES MINES DE PARIS
par
Guchuan ZHU
en vue de l'obtention du titre de
DOCTEUR DE L'ÉCOLE DES MINES DE PARIS
Spécialité
MATHÉMATIQUES ET AUTOMATIQUE
Sujet de la thèse
LA TRAJECTOGRAPHIE DU POINT DE VUE DE LA THEORIE DES OBSERVATEURS
soutenue le 7 Décembre 1992 devant le jury composé de
MM. Ivan KUPKA Georges BASTIN Michel FLIESS Riccardo MARINO JeanLÉVINE Hector SUSSMANN
Président Rapporteur Rapporteur Rapporteur Examinateur Examinateur
à Hongye et Simon-Be
REMERCIEMENTS
Je remercie Ivan Kupka de me faire l'honneur de présider ce jury.
Je remercie Georges Bastin , Michel Fliess et Riccardo Marino pour l'intérêt qu'ils ont portéàmes travaux en d'être rapporteurs cle cette thèse. Je suis partic- ulièrement reconnaissantà Fliess pour ses remarques sur ce travail.
.le remercie Héctor Sussman cle me faire l'honneur d'être membre clu jury.
Je remercie Jean Lévine. mon directeur de thèse, de m'avoir accucili il y a plus de trois ans au CAS et d'avoir accepté de diriger ma thèse. Il m'a orienté dans mes travaux et aidé par ses conseils Ses solides connaissances scientifiques m'ont permis de travailler sur de voies de recherche. Je tiens aussiàle remercier d'avoir consacréde- nombreuses heuresà l'amélioration tant surlefond que que sur la forme de ce document. Sans son aide, ce travail n'aurait vulejour. Pour les perspectives
qu'il m'a ouvertes en sa gentillesse, je lui suis infiniment
reconnaissant .
.Je remercie l'ensemble des membres du Centre A utomatique ct Systèmes. les penna-
rient.set pour ,v notament Guy Cohen avec
la patience parti- culier reconnaissantà lvladame L", Gallic pour sa gentillesse et sa disponibilité constante.
a suivi detrèsprès mes pas en autorna- Mao, Professel1l'il Aeronautique et ma gratitude d",In'avoir ouvert le chemin de ri"rnci.voi r ,pnr()lI1'''O'Pdepuis toujours,
Finalement, je remercie de nombreux thésards dont les remerciements m'out servià ri'c1iger ce paragraphe.
RÉSUMÉ
Cette thèse est consacréeàl'étude de la trajectographie du point de vue de la théorie des observateurs.
On présente d'abord le problème de trajectographie et les modèles des systèmes utilisés
pour la On étudie ensuite l'observabilité de ces systèmes après
pourles linéaires et non linéaires. On présente ég,t1en:lent, lcs principaux résultat s dIC' la théorie (Je l'observateur et des méthodes construction d'observateurs dans les caslinéaire stationnaire, inst at.ionnaire et non linéaire.
On sc concentre ensuite sur le problème de construction d'observateur pour les systèmes linéaires instationnaires avec singularité polynômialcill'infini. On introduit les notions originales d'observabilité asymptotique et d'observateurà asymptotique. De tels ob- servateurs dont la construction est basée sur la théorie des normales de Poincaré- Dulac sont particulièrement faciles à mettre en œuvre, puisque le est. constant dans l'échelle de temps la rapide.On donne des conditions de conver- gence d'observateur de la [arille canonique observateur d'un systèmeà coefficientsdans un corps de Ces rcsult.at.» sont appliquésà lapoursuite en ligne droite.
Comme la trajectographie est un probicme int rinsèqucment non Iineaire, diverses con- truct ious d'observateurs uon linéaires sont étudiées. avoir rappelé des résultats négatifs: non existence d'observateur par les méthodes d'immersion et de linéarisation de J'équation de sortie dansle cas passif. nous analysons les condi-
tions de immersion approchée. est
aussi proposée, basee sur la traustormat.ion sous tonne canonique observateur du du système. 011 montre dans des cas cle trajr-ctographie
Des simulations numériques sont
Mots-clefs :
Systèmes de poursuite. Observabilité, Observateurs, rornceuc-Lrurac.. Corps do Hardy.
iii
ABSTRACT
In this thesis, the tracking problem is studied by rneans of Observer Theory.
Firstly we present the active and passive t.racking problems and the associated models.
The observability ofthcse systems is studied after recaJling observability criteria for linear and nonlinear systems. vVe outline the main results of observer theory and propose several to construct an observer intilt' liuear st.at ionary and time-varying case and in nonlinear case.
\Ve t.hcn focus on the problern of coust.ruetion of observers for a class of \inear time- varyiug systemswilh polynomial al, Tho original concepts of asyrnp- tot.ic observability and observers asympt.ot ic arc introduced. Such obscrvers.
whose construction is based on the Poincaré-Dulac t.heory of nomal Iorrns, are part icu- larlv easy1,0implernenl since can be choscn constant with 1,0the fast.est tirne-sca!c. "IVepresent also conditions for t.he
the observer canonical formfor linearsystemswii.h coefficients approaches art> applicdt.o the one dimensional problem.
'lracking problerns iutrinsica.iiy uoniiur-ar. probiom of nonlinear observers is studied. 'vVefirst t.wo ncgar ivc result.s: uonexistcnce of observers hy means of immersion and by output. injection for passive tracking. We t.hen arialyze the convergence of observers obt.ainedby approximate immersion. Another approach is also proposed, bascd on t.ransforming the tangentlincarization of the system into observer canonical form. "IVeshowthe convergence of1his observer in severa] cracking examples.
Numerical simulations are presentec1rOI'every methods.
Keywords:
Active and equivalence,
t.racking, Tracking systems, Obsorvabi lii.y. Observera, Poincaré-Dulac fields.
iv
Table d e s m atière s
l nt ro d uc t iou
P r és e nt a ti o n d u p ro bl ème cie t r-a j e c t og r-ap h ie 2.1 Introduct ion
2.2 Po ursui t e en lig ne d roite
2.3 Mod èle de tr a jectographieCDcoord on nées ca rtés ienn es 2.1 Mod èle d e t ra jectogra phie en coord on nées pol air es 2..5 Mo d èle de uajec togra phie en coord onnées polaires mod ifiées
R a ppe ls s u r l'ob s e r vab ilit é 13
:u Pr ésen t a t ion géné rale 13
3.2 Ob se r vab ilité des syst èmes non linéa ires 13
:3.3 O bserva bili t é d..s sy st ème slinéaires lnst ationn alre s J7 :].3. 1 O bservabilit é des syst èmeslinéaires
a
temps var iable non sin-guliers 17
3.:3.2 Ob se r vabilité d u li néari sé tan ge nt d es syst èmes no n lin éaire s 19
3.3.3 Formes canoniques 21
3'" Anal yse dt" t'ob servabilité des pro blèmes de traj ectogr ap h ie 29
3.4.1 Tr aject ogra p hie('0rep ère fix.' 29
3.4 .1.1 Cas acti f 29
3 .·1.1.2 Cas passif 30
3 .4.2 T raj e ctog ra ph ie pas sive en n'pe re mobi le 31
3 .4.2. 1 Po u rs uite dan s le p la n 32
3.4.2.2 Po ursu it e d an s l'espace 32
3.4.2.3 CM dé g énéré s 34
Rap p e ls s u r le s ob s er va teu r s 3 7
4.1 O bserv ateurs as ymp to t iq ues 37
4.2 Ob serv at eur s linéai res 38
-1.2.1 O bse rva te ur de Luen b..rger :18
4.2,2 O bser vat eur s J e syst èmesàt e mps variab le non s ingu liers -Il
4..3 O bserv e te urs nc nlin éai res H
4.3.1 Linéa risa tion exa ct e de la d yn ami q ue d' e rre ur 44
,1.J. 2 Imm er sion 47
4.3.3 Mét hodes du ty pe de Lyap unov ,')0
vi Table des matières
Aspects asymptotiques d'observabilité et des observateurs pour les
systèmes linéaires instationnaires 53
5.1 Observabilité asymptotique 5:1
5.2 Observateurs asymptotique 57
Observateurs le cas non asympt.ot.iquement observable 58
5.4 Systèmesàcoefficient.s clans un corps de Hardy 64
Observateurs non linéaires pour le problème de trajectographie 73
6.1 R.ésultats négatifs 73
6.2 Immersion approchée 74
6.3 Approximationlinéa.ire 78
6.3.1 Approche de linéaire 78
5.3.2 Poursuit!" en cartesiennes 96
6.3.2.J LE'cas actif 96
6.:3.2.2 Le cas 97
6.3.3 coordonnées polaires modifiées 103
6.3.:1.1 Le cas sans commande 103
6.3.3.2 Le cas avec commande 105
6.4 Annexe Preuve de la proposit.ion 6.2 112
Conclusion 117
A Rappels sur la t.héorie de formes normales A.J formes normales des systèmes non linéaires
A.2 Formes normales des inst.ationriaires
A.2.J Points singuliers, équivalences formelles et formes normales A.2.2
A.3 Stabilité de systèmes inst ationuaires B Rappels sur les corps de Hardy
119 119 121 122 12.3 126 129
Chapitre 1 Introduction
Le problème de trajectographie a étéétudié Beaucoup d'algorithmes sont proposés surCC'problème, les techniques étant par exemple la régression des données, les moindres carrés, etc. La plupart des travaux dans cc domaine sont étroitement liésàlathéorie des syst('IllCS, ct. par conséquent leur développement est une des sources des progrès réalisés sur ce sujet.
Nous nous intéressons dans ce travail aux méthodes permettant de traiter en temps réel les signaux donnant des indications sur l'état. d'un ou plusieurs mobiles reçus par un pat' exemple unradar,un sonar, un instrument. optique ou laser, etc. Ce
connu sous If'nomplus populairede poursuite.
La poursuite contient eu efFet deux catégories de matériellement dans le champ du la
but est ainsi d'arriveràtracer la ..t.rajer-toire' de la
ment fonctionnement deI'antenne.Cf'st ]f' cas que nous allons étudier. La poursuite est. formulée comme un représentantla cible mobile dont le capteur
observer les considère le fait que le système dynamique
l'observation sont. inconnus. on pose le problème en termes
de plus souvent utilisée dans cette approche est
le
Wiener[90]qui portent sur le traitement des issu La technique de Wiener a apporté une amélioration considérahle sur les performances des systèmes traditionnels.
le début des annéesGO,lanaissance de la théorie du filtrage de Kalman-Bucy (u ne du filtragf' de Wiener ) [18, ·Hi,i18]a donné une impulsion considérable aux dans cc domaine. Grâceà une structure récurrente, les algorithmes de pour- suite basés sur le fihril.ge de Kalman sont Facilesà rnet.tre en œuvre sur ordinateur. Il y a une abondante littérature surIf:S de cette technique au problème de trajec- tographie. Citons. Har-Shalorn et Fort.mann [.1]et de .laz wiuski
[16].et l'article de [21].
l.e modélisé la plupart du
linéaire. En les systèmes actuels. ils sont
Chap. 1. Introduction
anueiee mtraae de Kalman étendu.
Hien que ces algorit.hmes aient ete appliques avec succès (cm citera lecélèbre plan "Apollo"
Pour un problème pratique, la
convergence du de manière e-mpirique. par exemple par la
si La méthode du non linéaire qui consisteilrechercher une loi conditionnelle de l'état sachant toute de l'observation est rarementut.ilisable dans le prob- lème de pilr exemple [69]). En effet, le calcul de la densité dune loi se àune équation aux dérivées partielles stochastique appelée de Zakaï, et par suite est un problème de dimension infinie. Bien que des méth-
",!,n'CIlees Olt 1I111111t'l1l(U<" "'l'ellLété proposées pour résoudre l'équation de Zakilï, leur rend la mise en œuvre très difficile.
Le cas où la solution dunc équation de Zaka,ï s'exprime à l'aide d'un de dimension finie. cas appeléIilt ro dl' dimension finie. bien que favorable au s'avère très rare en pratique: la conrlit ion l'exisi ence d'un tel filtre est rarement vérifiée par exemple 69]). cela explique pourquoi le filtrage exactest si
peu le filtrage de étendu si populaire.
Dans ce travail, nous étudions le de du point de vile de
la théorie de l'observateur. On une démarche en ce sens qu on ne
Cela nous permet d'utiliser les progrès récents LiIlobservateur esl un système dynamique servant correctement l'état du originalilparti]' de la sortie de ce dernier.
La de la estindi-pensable.et une étude empirique
esl largement insuffisante. revanche, l'analyse dt' la convergence de l'algorithme nous permet dt' garantir les performances du système.
Bien que les c!ps morlèles idéaux en pratique, les études
basées sur de nous permettent dt' mie-ux comprendre les phénomènes qui
apparaissent dans trajectographie.
Une contribution travail concerue la construction d'observateur du temps de manière continue et bornée, une des méthodes les
basée sur le filtrage de Kalman. En outre, pour éviter de le gain du filtre ou de l'observateuriltout instant, une méthode classique consisteilutiliseràla place du variable sa limite lorsque le tend vers l'infini[ci].Cette méthode induit des simplifications 1:lC' mise en œuvre notoires. On sait qu 'une tclle limite existe sous certaines hypothèses restrictives et il nous a semblé important de déterminer jusqu'où cette méthode être étendue. Plus exactement. si l'on considère un système linéaire inst.at.ionnaire voisinage de l'infini, on observateur
constant, si l'on se temps la plus
cette dernière propriété
on montre qu'il pas en général à constant
l'on est obligé cie choisir lin gain inst.ationnaire. croissance être alors caractérisée clans le cas des systèmesil,coefficients En effet. on montre que le gain peut être choisi dans la plus
grande classe decomparabilité du corps si le système est Hvobservablc (voir la définition dans le chapitre .'i). [ne coust.ruet.ion explicite de lobscrvateur est ainsi proposée. Ces méthodes peuvent êt.re étendues au casnonlinéaire par linéarisé tangent.
Nous remarquons par ailleurs que dans beaucoup d'applicat.ions, les observateurs conçus par la méthode du filtrage de Kalman en horizon fini, mais explosent au bout d'un certain moment. La not.ion asymptotique peut donner une explica.tionàce phénomène. Ou montre en effet sur nu exemple de trajectographie, l'impossibilité de construire un observateurà gain constant exponeut iellcment stable, alors que le syst.ème admet un observateurà gain constantdontJ'erreur d'estimat.ion est expo- nentiellement décroissante sur touthorizon fini mais ayant une singularitéàl'infini,ce qui provoque la L'utilisation des observateursilgain instationnaire synthétisés par la méthode corps de Hardy permet ainsi dévitcr cc de phémonène. Notons que la convergence de J'observateur sc fait au prix dune du gain au moins aussi rapide qlW les fonctions du temps les plus rapides par les coefficients du syst èrne.
ou selon la les
plus sou vents
Auchapitre 3 nous parlons de l'observabilité, lin fondamental en théorie des systèmes ainsi que pour la construction dobservatcur. rappelons des critères ru-utrles pt mJT] linéaires. Ensuite. nous appliquons ces de différellt.smodèlesde trajectographie. Dans ce methodeSV,;t.f'III,J.l.ICllIf' nour ramener un système
canonique. une concevoir un ob-
de la théorie de l'observateur. Nous des méthodes cle con- struction d'observateurs dans le cas linéaire instationnaire et. non linéaire.
Nous nous intéressons plus aux algorithmes susceprihles de s'appliquer au problème de t raject.ographie.
Dans le chapt ire .'i nous nous intéressons une claSfif' part.iculièrc dc systèmes lineaires inst.at ionnaircs : les avec singularité
les notions originales d'observateurilgain asymptotique.
On montre que ces observateurs existent sous condition d'observabilité asymptotique, et leur construction est basée sur Iii théorie- df's formes normales de Poincaré-Dulac. Nous étudions également les systèmes linéaires inst.at.ionna.ires à coefficients dans lin corps de ll ardy. On propose une construction de l'observateuril de la forme et.
donne des conditions suf lisantes de convergence de cette dernière mét hode.
sont appliquésàla poursuite en ligne
Au chapitre 6. nous considéronsle problème de pou rsun.e-o ausieplanCoLuansIl espace,
Comme les correspondantil. cc cas sontil le problème de
contruction l'observateur non linéaire est Après avoir des résultats
danslecas non existence dobservai.eur pm d'immersion et
de d'erreur par injection de sortie. nous analysons les condi
Chap. 1. Introduction
Chapitre 2
Présentation du problème d e traj e ctographie
2 . 1 I n t r o du c ti o n
Le problème d e t rajectogra ph ie se divise g ross ièr eme nt en t rois cat egor ies po u rsui t e en ligne dro ite . po u rsui te dan sle plan et poursuite d a ns l'f'SP<K(,, . Les deux d er nie rs sont pré sent és dan s lr-s figures 2. 1 et 2.2 resp ect iveme nt . n an sCMfigure s. Je cap t e u r [antenne, rad ar, sys tè me op tique, laser , etc.] se trouveill'origi ne , et. .\/ représ e nt e la po sition d e la cible.
v
M
Figure 2.1: P roblème de pou rsuite dan s 1c plan.
Le pr oblèm.. de trajectograph ie est modé lisé en généra l comme un sys t ème non linéa ire:
J
i=
f (:r)+g( r )ul
y = h (x ) (2.1)Chap. 2. P r és en ta ti nn du prohli-Illc d e t r a j ec t o g r a ph ie
Fig ure 1. 2: Pro blème de poursuit", da ns l'espace .
où x est le vec te ur d'état , Il e st une en t rée co nnue représentan t IE"s manoeu vre s du por- t eur d u et l'observa tio n do nt composantes sali t(r ,1]' ,i)rep r ésentant la di stance , d e giseme nt ou az imut respect ivemen t pour les capteursàtro is d ime nsio ns , ct pour les capteursà deux di me nsio ns. Les cha mps de vec t eu rs f (x ) etg(r )etla vec t o rielleh( x )d écriv e nt l'é volu t ion de la ciull' d ans le repère (fixe ou non) du cap te ur. Ils sont gé nér a lemen t exp r imés da ns d ive rs sys tèmes d e coor données, plus o u moins com mode s.mêmes' ils n' e n dèpr'miellt pa s. Les représent at ions 11's p lus na t ure lles cl les cour a m men t uti lisée '>so nt sans doute coordon nées car té sie nne s.
po lai res , et leu rs modifiée s.
N Oli Sd istinguo ns par tic ulièrement deu x ms - la trajr-rtogreph ie act ive et la t ra je c- tog ra p h ie passi ve - qu i diffèrent uniquemen t pa l' ladisponibilitéde l'obs erva tio n sur la distance. Si l'o bser va t ion co nce rn an t la d ist an ce e ntre le cap t eur e t la cible est disponib le, il s'ag it du problème d e tra ject og ra phie ac tiv e , et d e t raj ec tograph ie pass ive sin on.
La po u rs u it e pas sive dé signe la sit ua t ion où ne so nt uti lbl's q ue des cap te urs pas sifs , pa r e xemp le le sonar, le suivi opti q ue e t le rad a r pass if. Il st' peu t q u' ilya it da ns ce cas deux cat égories d' o bjecti fs . Lepre m ier but es t {le pou r su ivr e la c ib le d ans le doma ine a ng ulair e et de se con te nter de n'aoqué rh- qu e de s info rma tio ns partielles . Dan s ce cas, no us con sidéro ns un système e n dimension réduite q ui es t o bse rvab le en un sens con vena ble .Led eu xième bu t est de rec onstr uire l'é tat e nt ier
a
pa r t ir de l' o bservat ion passi ve. Cette t â che n 'es t pas toujours possible, pa rce q ue le pro b lème d e t ra jectographie passiv e co ndui t souven t à un systè me inobse rva ble . P a r exem ple , Il' sys t èm e co rre spond a n t au ca s où le porte ur es t immo b ile ct où la cib le es tàvit esse co ns t an t e est to ujo urs inobservab le, ce q ui est intuitif du poin t de vue p hys ique. lln e so lu t io n géo mé t rique ...st de loca liser le mo bile par u n réseau conte na nt plusie u rs cap teurs pas si fs. Ce pe n d an t, si l'o u veut résou d re ce pro bh-mo avec u n se ul cap teur , il fau t que le por te u r de cc ca p t eu r2 ,2. Pou r s ui t e e n li g ne d r oi l e
fasse une ma noe uv re (ac célératio n re lative no n nuIll ').To ut cela sig nifie qu e l' an al yse Je l'o bser va b ilité jo ue un rô le imp ort an t. pe ur le prob lè me d e la tr aj/"Clog rap hie pa ss ive .
Da ns les secti ons su ivantes , nous all ons p rése nt er les mo dèle s tes plus so uve nt u t ilisés d a ns les syst e mes d e po urs uite. P a rmi eu x, ilya des modèles q ui som mat hé mat iq ue ment équ ivale nts, d onc le urs p ro p riétés fond amen tale s ( pa l' ex emp le J'o bserv a bili t é ) ne d épen dent pas des coor do nnées cho isies , mais les perfo r manc esdes o bserv a te urs corr espo ndants peuvent en d épe n dre .C'es tCf'qui nousilamen é rappderIl'Srepr ésen ta tion sd e smodè les en dimens io ns 2 e l 3, d an s les cas a ct if e l pass if, dan s If's d ifférentes coo rdonn ées.
2. 2 P o u r sui t e e n li g n e d r oi t e
Le p ro blè me de pou rsuite en ligne d ro iteest for mu lé en général pal'14) •
(2.2 1
oùXlrep rése ntela pos it ion J e la ci ble. L'é volut io n (le.T Iest J onc poly nû mia !e en fon d ion du t em ps
(2.3) o ù (.ro,
xo,
.r o, est lin vecte ur co nst a nt représen t a nt l'é t at init ial En pre n an tZ=(x o,.TO' :r D, comme vecteur e-ten pos a nt
le sy stè me (2.2) s 'ecr it de ma nière rounne u n syst ème instat ion nai re
1
i=
(1l,
'J = C(t) z ( 2.4)Il est clair que le p rob lème de po ursuite dans l'es pact' ou dans le plan peu t ser éduire à ce lui en ligne droite si d a ns cer t ain es coor données [o sys le me se d ivise en d es chaîn es indé pen da nte s . C 'est p réciséme nt ce q ui se pas se dan s les sys tè mes classi qu es rie po u rsu it e .
2.:J Mo d è le d e t raj c ct ogrn p h ie e n coordon n é e s carté si enne s
Pou r mo dé lise r la dynam iq ue de la cible , il nou s fa u t aquérir u ne info rmatio n co m p lète sur les ca ra cté r-ist jq ues d.. la tr ajectoire dl" la cib le, ce (lu i es t gén ér al ement imposs ible. Il es t a lors nécessair.. d 'a jout..r (les con tr aintes s ur la ma nœ u vr abi lité de la ci b le. Ici nou s nous rest reig nons a n problème de pou rs uit e d'u ne cib le se dé p laç an t à vit esse cons tante. Sous
C ha " . 2 . P rése nt a t io n du pro bl è me d e t ra ject ogra p hie
ce t te co n tra int e . l'evo lu tion d u mo bile dan s l' espac l'' es t don née , en coo rdonées ca rtéa i ennes, pa r
l
ixyv.
=====
= v,«,v.a , (2.51ou " ., e ta, sont les co m posan te-s d e I'ac r élér ation du por t eu r d u cap te ur d a ns la d irect ion d es t rois a xes. Si le cap t e ur est immobile. I' évolu rion de ce pro blème pe u t s 'écri re , de ma niè reéquivalente, pa r
1 !
1
" =
E =
r
=
u cc s Ecos F IIcosE sin
r
veinE
(2.6)
(2.7 )
L'o bser va t ion ...,t do n née phyaiqu em ent eu coordon nées polaires. E lle s' ex p ri me('0
fonction de l'et a t en coor don nées car tési enne, :
! '
=J?+!i"+?
a = al csio(J.r
1 +::I +
zl)
Î = arc r eu ( ; )
(2.8)
Un mo b ileà vitess e non cons tante peu tSI'rep r ésen te r par un systè me dy n am ique de dime nsion plus élf'vt"p. Pa r e xem ple . d an s Il'CiWJ'u ne cib lf' se d ép laç a ntàac cé léra t io n co nsr a nrc, on ob tient un mo dele d ' état e n dim ension 9
Po u r la pours uit e d an s le p la n. le sy stè me(2.5)S I'réd uitil
(2.9)
2.4 . Mo d è le d e t r a jectog r a p h ie e n coo rd onnées p ola i re s
et l'o bse r va t ion es t donnée par
{ ' fi'+?
"( = arctan ( ; ) (2. 10)
L'avant.age des coordonn ées car tés ie nnes est Iii.si mplici té de la repr ésenra rion d'état - (2.5 ) f"st un syst èmelinéaire station nair e. Elle nous pe rmet Je plus d'écr ire l'équ a tion dyna mique d.. ma niè re ana log ue d a ns le cas g énéral . Q ua nt au sys t em e équivalen t (2.6 ), no us ve rro ns p lus loin qu ' une form e modi fiée conv ien tilla poursu ite rassiv!'.
2 .1 Modè le d e tra jectog r ap h ie e n coo r do n nées po- la ir e s
L'évolution d ' u n mob ileilv it esse cons ta nt .. se présen t.. e n coordonnées polai res pa r T(a l+ ;. 1 (0520 )+(Urcos0(O S '"+ 0sin..,
+
v ,sin0)- sin 2..,+ cos o sinocos Î -
+
T 2 T
(2.11) oü = esrla pro je cti on de la d ist a ncer da ns If' plan (D , x , y ). 0 11 se ram è ne àun sys tè me dy n amique de dimension 6.
Lesys t ème (2.11) se réd uit d a ns If"pla nil
{ r -"'-
.:.; = - 2;' ;+ - u, si nÎ)
(2.1 2)
D olUSces coord on nées, l'obser vati on es t linéaire. Cf"sys t ê meMtu tilisé pa r ce rt ain e a u te urs po ur obtenir une estimati on d'é t a t pl us prêc ise[21].Mais la pris e en comp te d e la dynam iq ue dt" lactb l.-est beaucou p plu s com pliquée qu' en coo rdon nées car t ésie n ne s, sa uf dans (les cas par t iculier s .
2 . 5 Mo d èle d e tra j e c t o g r ap h ie e n c o o r d o n n é e s po-
laire s m odifié e s
Les coord onnées pol a ires mod ifiées (e n abrégé C P M) son t in t roduite s pa r[1J.Da ns ces coordonnées, la linéari té d e I'o bser va rio n est con servée ct , lo rsq ue Je systè me n' est pa s com p lèt ement ob se rvab le, les com posantes obse rvabl!:'s et ino bsc r vale s sont déco up lées , donnant lie u ai nsi à u n o bserva teu r tolérant aux pannes [L 56J. Ces co ordonnées so nt
10 C h ap . 2 . Pr ése nt n rion du p roblème de t ra jectog rap h ie
lIli l"5 da ns le p ro blèm e de tr aj<"Cl ogr ap hie passi ve pour nôcupi-rt'r j'in form ati o n co nce rnan t la dietenre.
Pour la po ursuite dan s 1.. p la n. o n in t rodu it 1.. reansfoema no n suivan te;
, 1
.1",..,1
=.,.
z ,... 1=
i. I ....3= ; .
r,... 4= ; •Z,...1o .1",... 2. Z-', Z,...4 ln veria bles t'II coordonnées polAirE'S modi fiées.Lesys tè me ( 2.12) devi ent :
{
z ,.... -. _
...3 +x,....( 1l,s inz'''' I+ u.. ( o:s.r' ''' I)+r,.. -•."nr,.,) ) _fI ) ( )
- I I>'" +gz, ... U -X,...,.,x,....4Il
=
.t ' ''' 112.13) LlO' dt" la.repré s..nt a t io n l'II coo rdo nécs Î\.celle en C P M s 'e lfectue par le diff éomorp h isme loca l s uive nt
er ct an ( ; ) ::r;y -YI E l+,\/1
û+!iY
1'1+ 1/1 1
J;"+7
fi =Z-.l COSZ,.." - X_ l s inx''''1 12. ")
Donc . ( 2. 13) es t équiv ale nt ....u mod ele en eooedon nées car tésienues (2.9) avec observation passj ve .
Po u r la po ursuitedan! I'ee pece, lt" vecteu r d'e t at e st de d ime nsion S. donne par
où r
(2. 15 )
2.5. Modèle de trajectographie en coordonnées polaires modifiées Il
est le vecteur unitaire le long de la direction dE' la En dérivant.l'pn,par rapport au temps, nous [38.;39]
.rpm2
de visée (LDV).
l'évolution de la dynamique
] (
0:Jx3
1
_ :rp m4(1 U
(2.16) OÙIl=(Ur'"v-llz)Test l'accélération du port.eur dans la direction des trois axes.
Choisissons le vecteur d'observation obtenuàpartir de(a, " r]par:
{
YI = cosac:)sÎ
.112 = COSJSlI1Î
)/3 = sin er l'application de sortie est alors linéaire:
y=C,L·lnll.
(
1 0 0 0 0 0 0 0 )
c
= 00
1 (J0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 () 0
(2.17)
(2.18)
La relation entre les variables en coordonnees cartésiennes est donnée par:
Notons que le système (2.16) nes! équivalent au cartésiennes car la t.ransforrnat.ion est unr- injection locale.
et celles enCPM ;rp m
(2.19)
(2.5) ell coordonnées et (2.19) une surjection
Dans le cas où I'accélérnt.ion du capteur est nulle, les systèmes (2.13) et(2.16) sc réduisentà
.fp m'2
(2.20'1
(2.21) respectivement.
12 Chap. 2. Présentation du problème de trajectographie
C hap it re 3
R app el s s u r l' observabilit é
3 .1 Pré sen t a ti on g énéral e
Cons idé rons Il"systè me
1
I = jl x , ..)l.
y = h(x ) (3. 1)ouxE e tuE U'" so nt l' état et l'en née d u sy stè me dynamique resp ec t ivemen t, el y E R' est l'observat.ion d 'état. .'JO lISsupp oson s en géné ral quef .RnXR'"--->Rn el h Rn ... R'sont de-s ap pl ica t ions de cla sse Coo Pou r to ut e e n tr ée const a n te ,f (x . ·) est un ch am p de vecteurs de class eC"'"surRn,
La d y nami qu e d u sy st è me (3. 1) pe ut ét.rcdéfiniep lus abstr aitement su r u neva riété
.r
infiniment diff ére nuabl.. de d ime nsio n n , el l'o bse rvat ion su r une varié téYinfin im en t di fféren t iabl e de dim ension p. AlorsI ct!Isont des coordon nées locales de X el deY resp ec tiv em en t , et(3.1)est une ex p ression d u syst em e dan s ces coo rdo n nees loca les .O n co nsidère souv ent le cas particulier (les syste mes affines , q u i s'expri me nt en coo r- données locales sous la forme
{
I =
fi ·' )+ t...
,g,(x)y = h( .r)
(3.2)
oùf et 91 , 9... so nt des cham ps de vecte urs sur une- vané t è X de cl asseC"'"et h(· ) X .}"es tuneapplication de classe C*
3 .2 Obs e rvabilit é d e s s ys tè m e s n o n li n é a ir e s
Pou r les sy st ème s no n linéaires. div er ses notio ns d'obser va bilit é peuvent êtr e d éfinies e l étud iées (voir [26,33,44, 4,),79, 9 1]), su iva nt qu'on s' in ter esse au pro blèmes de la r éalis e - rien mi ni male ou de la construction d'un o bservateur. Nous résumons ici les prin cipa les ap pr oc hes .
D é fi n it io n 3 . 1 [SOICOIlSldéroll Slesy.>/èm e(3 , 1).U c ur l'ifnt .. .r1 , XlEXso ntindistin- .lJuo.blt$-< i, pou r t ou l e ent r éeadml s-<rblcII.Eli.UIII!sous ellH m b1t th RP les t raj ect o ires
J;l
14 Cha p . 3 . R a p p e ls sur l' o b servnbillt é
du lipartirdes Im lla urXI(tO )=X IriZl(tO)=Xldormentla millle sort ie y(t) pou r t oul l ;:: Iu. L 'ens embl e des poin ts Indistinguables d'tlllXod e X fs t noté1D {.ro).
D éfin itio n 3.2 L e syrdeme (B.l) es t ol1sH ,t,tlble en XontD(r olt'st rédui tli1'0lu i mime .
;; Ol [
fD (J'o)={.TO}
Le s yste me(3. 1) est ohs erva ble si , pour lout .r E X ,JV (x)={x }
Soitr(xo, ,,(1)) la com be intégr ale du sys tème passa nt pa rXopour l'entrée a dmi ssi ble ,,(1).So itliunSOIISensem ble de X Deux point sr],X 2EUsont U-indisting uab les, si po ur to utT>
a
e t toute e nt rée ad missi bleIlte lle q ue tes trajec toires2"(1)dan s l' inte rva lle [O.TIreste ntdansU'1=L 2. 1E [0, T I
les sor t ies y (t) sont ident iq ues. L'e nsem ble (10'5 points V-ind istingu ables dt".ro est no lé- par ( Du (x o).
D éfini ti on 3.3SOit:ro E Xl j/)poi nt de l 'espfl ft rl'étflt ,Ondit que le sys thn e (.9,1) es t localem ent observable1"11-ru s'il e.rist elml'Ois llWyto uvert U deXotel9'1(;pour tou t lIolsll la gel/de .10 contenul ' 'III SU ,JD v( I o)=::{.roI Ondit1U'U /Isys fi m e est local em en t observable,M,pour tout:rE X le syslime es t tocolem etü observa ble en:r.
La p ropriét é d'observabilité loca le' q ue l'o n a défini plu s hautt'S Isou ven t a p p..l"'"
o bservabi lité fa ible pa r co m paraisonàl'observabili t é dite [orle- 144) q ui ne ser a pas utilisée ici, Nous o met to nsJ OllCd a ns la s ui te Il" q ualifica t if-faible"
Noto nsF ( X )l'ensem ble des cham ps de vecteurs deX Soit P = {j(:r , li ) l u=::con st.]
On no te:Fl' a lgè bre deLie engend rée par
r.
c'es t-à-dire lapluspet ite so us-a lgèbre de V ( X )co nt en an tr
Fes t ap pel ée l'algèbre de Lie d e co m m an d a hilité. E n to u t po int I E X 1t.'S élémen ts d t' .F(I) son t des co mbinaisons linéa ires finies des c ro ch e ts de L ie ucr és1des élémen t s der
soitF ( x ) (r} " (3 .3 )
(J;,_I.f;,1 JII r.E RI.
f;
E r . ]=::1. .s,;.1,2:J •/ 2:I ) Soit1{le plus pet it sous-es pace liné a ire deC "" ( X)co ntenant les fo nc t ions h l(x), hp( :l' ) .qui est fer mé pal' rappor t à la d ériv ée dl" l .ie par ra pport au x élém ent s cie :PJ'Sur 1..,. flotl'l ;on s ducr<.>c hd.-le I.i"ptolela dO'1...,nOU$ nous pa r exe mpt ..à [4,1,68).
3 .2 . Obs e r vabil it é d e s s y s t èm es non lin éai res
1{est a ppelé l'espace d' obs er vati on
15
On défin it la codist ribu t.iondHassociéeà'H,a ppel ée cudist rihut ion d 'ob se rva bilit é, com m e quiàtou t pointx E .\ faitcor respon dre Jesous-e spa ce vecto riel d'H(x )= 1h E "H}de l'espa ce cota ngen tT;X
Th é o r ème 3. 1 ( co n d it io n s u ffis a n t e) [44)SI
dim {d"H(xoH=Ti • (3.5)
alorsle (S . l) l'st localem ent enXoDe plus , s i (S.5) es t vér ifi é en t out pointJ'E X alOl'slt'syslèmeestlocalem ent obs ervable.
T h éo r ème 3 .2 (Co nd it ion né ce ss ai re ) [44J S i le able. alorsilexis te un ouoert den s eDCXtel que toul,fo dansD.
T h é o rè m e 3 .3 [44JSi(.'], I)esttm sys tèlll f an alytiq ue el vér ifi e dim {F }I,..=n, \Ix EX
est localement obse r-u- s oi t v ér ifiée po ur
alors es t un c conâucao n écessaire et s uJjisant e pou r que le sy s tè m e s oit local ement
Pour le pro bl ème d 'obser va teur . les en tré es d u syst e me son t gén ér aleme nt de-s fonc tions du tem ps. Ce qu i nous intéresse dan s ce cas est de pouvo ir dist inguer des t ra je cto ires e ngen dr ées pa r chaque ent rée u donn ée , dépe ndant d u tem ps. a lors qu e dan s les dé finit ions précéde ntes, on les t raj ect oires pour au moins une e nt rée. C 'est po urq uoi la noti on d'e nt rée int rod uite.
D éll n it ion 3.4 Une entree u [to, TJ--+li di/ /.' unic crs clle s i pour to u t cou ple d'ét als XIetx z, o nli
i
pourallm 011lslintE [10.TI
L'e xistence J e telle s ent rées a é té ét udiée pa r Cras seli et Isidori [361 pour les sys- les systèm es échant i llo nnés décrits pa r des re la ti o ns
pc Sussmann pou r les sys tè mes en
résu lt ats es t que ces e nt rées est dense da ns des ent rees a d m issibles pour une topologie convena ble.
Lorsqu 'of) a nalyse l'o bser va bilité pour une en t rée ut l). il nous fau t ad a pte r la définitio n de la dér ivée d... Lie. En tcomm e une variabl e supp lé mentair e. la dyna m ique du
sys tème(3.1) pe ut for me autono me:
[3.6)
16 C h a p . 3 . R ap p el s s u r]'o h:o; t>rv Rh iJit p Nous donc po uvon s défi nir un cha mp d e vect e urs as sociéà(3.6) pa r
t,=']( X,U )#;.+
r-tla c1;rivi-e d e Lie de h par ra p por t a u champ de vecteu rsf..es t do n née pa r
ah ah
L J. h=
a;f
+ai
In troduison s la défin iti on d e la codis tribution d 'obsc rve blüté [45 , 681 pa r la récu rr e nce suivant e
En nota nt les d imens ions deS'pa rri "no us pouvons définir pou r t ou ti ,'10
=
" 0. Ti,= n, -",-1
On montre facilem ent qu e la suite {no, " I" . .} es t non croi ssa nt e. No us po uvo ns d onc défi nir:k,=ce rd j s, l,j2':O} , ;::J
qui vérifie ntk12: 2:k,.e t k,:5Il .Lesk,sont a ppelé s indic es d'observabil ité.
Nous po uvo ns maintena nt do nner la définit io n d'un ifor me obser va bil ité.
D é fin iti o n 3 .5On dit que le syst eme (3. 1)(s iunij ormément localement IJbMT1'fl b1r 01 x pou r t'en tre e réguliereIl [to, T]>--->U . .,;'Il u iste d, s /.:12:: 2:: 2::kp2:':0 vénfi ant k,=nelunvoiSinage U dt.fIdqm;
i=l , , p;j=0, ,k,- 1}(z )=fi (3.7) po ur l ou l.rEU et pour touttE[tc.T ]
De plus, 0/1 dit quele,.y,. if m e (9_1)est complèteme nt ulllformimlll/ localement oh- s el'l!obhen x .si (3 . 7) est vénfià pou r un e farmll r d 'enh' Fes anml$slbles.
U n crit ère po ur v érifier l'uniforme observ a bilité. in t rod u it par Williarnson [911 pour les sys li 'mes bi linéa ires et gé néra lisée pal G a uth ie r e t Born e rd [33] po ur les ays tè mes non lin éaire s , co rrespo ndàl'exis tenc e de coord onn ée s da ns lesq uelles le sys t;' me s'e xp r imeSOII S une form e d iu ' canon iq ue. po ur laqu elle la co nstruc tio n d'o bser vate u r est cons idé ra ble men t si mplifi ée. Not ammen t , d an s le cas mon o-sorti e , les cha m ps de vecte urs de la for me ca no niq ue d'o bservabilit é associée au syst ème (3. 2) son t t ria ngu la ires et affines e n l' en t rée u.
T h éo eëm e 3 .4 [3:3, 35] Le .•y.•t ème mono -sorti r (3.2) l'si diff fo/ll OI'l,heilun s ystèm e de IIJ[arme :
(3 .8)
$1 et seulemen t si (3.!!) est ull/form ime lit obscrvllbll' pou r tout e entree.
Dan s le p ro blè me d e t ra ject og raphie , le por te u r pe ut m anœ u vre r d a ns la limite des co ntr -ainte-s d 'ac célé ra tio n imp osées pa r la nature d u porteu r ( ba t eau tr aî na nt u ne a n- t e nne, radar em bar q ué s ur u n avion , et c. ], ce q UÎ permet d ' u t ilise r su r d es d u rées , bie n q ue rel ati ve men t cou rte sl' IIg énéral. de , r-ntréos u niverselles . C'es t po urquo i nous nou s int ére ssons part.iculièrernen t la not ion d ' u nifo r me ob serva bilité.
3 .3 . O b s e r va b ili t é d e s systè m es l in é a ir e s i ust a tio uu ai r e s 17
3 .3 Obs ervabilit é d e s s ys tètnes lin é aire s in stat io n - n aire s
3.3 .1 Obs e r vab ilit é d e s s ya tè mes ll u éai re sà t emps var ia b le no n s in g u fie rs
Consid éro ns un syst ème liné ai reilte mp s varia ble non sing ulier
{ i = A(t ).r
v = C(t)x (3.9)
ouxE RnyE e t.1 E "nxnxHet.C E )( Hsont des mat rices d ont tous les élém en t s so nt des fonc tions réel!..s born ées pou rtEJC R. La dé fini tion clas siq ue d'o bse rvab ilit é po ur u n tel sys tè me est qu 'o n est capable d e déterm in er d e ma niè re u n iqu e l'é t a t ini tial,T O=x (to )à pal Lil d'observatio ns d a ns u n inte rvalle fini y"t€JC R,Jun intervalled t' tem ps co nte na nt10.Sicettecond iti on n' es t pas vérifiée, le sys tè me est d it ino bse r veble.
Nous pou von s é crir e e xplicite me nt la sortie d u sys te me (3 ,9)
11'
=
C (t) 'fl(f, fo)J"o, f to (3.10 ) o ù$ (/ ' / 0)es t lamatric edetra nsitionliéeà A (I).A
l'a id e d e la no t ion de G ra m nne n J 'obsen m blllU d éfin ipar[471(3. 11) ce q u i don ne , sicede rn ie r est inve rsiblepe ur 1 EJ
(3 12) Une co nd it ion nécessair e et suffisa nt e po ur q ue le sys tème(3.9)soit obs er va ble e st do nc q ue le Cr ammien d'observa bili té soi t inversi ble pou r t o ut 1 E1
C lair em ent ,les not ions d 'o bse rva bilité int rodu ites clans le pa ragr a p he pr éc édent en no nlin éaire coï nciden t d iU1Sle cas lin éair e-o ù l'obse rvabilité l'st ind épe nd an te d es entrées . En effe t, la sort ie d ' un sys tè me com ma ndé
{
.è "" .4(t) z
+
B (t )u!I
=
('(1 ).1' es t d onné e pa l'donc
18
D' Ol!notre re mar que .
C h a p . 3 . Ra ppels s u r l 'o b s e r va b il it é
On conclut q ue po ur é tud ier l'o bser va bili té d ' un sys tèmelin éaire,ilsu ffit de con sidé re r le cas sans commande (3.9).
Un a u tre po ur l'obser vabi lit é de systèm es liné ai res non sing uliers est donné pal
T h é or è m e 3 .5 [4-7, 76Jlntro dsusone t'opérate urslIi mm t G(l )
ftC (t)
+
C (t) A(t)+(t. :- 1C(t »)A(t). k::::2
(3.13)
A lorsle systèm e (3.9) cs! observable à l'instant ini tiaito et s eulement si
dim {ô : C (l ol 1 k2:O}=fi (3. 14)
T h é or ème 3 .6 [L6, 761
(1) SI k= 0, 1, , n -I l= n pour un c c t alorsIfGram mien
d"',,,,,,,,',,I'" ,G.I.,.
/,1est unI' ma /nce non smg1!/ière., n- eL]=n touttE 1,siftse ulement si pOUT to ul ndc r oal i e(1" I,le1
Da ns le cas sta tionnaire , l' obser va bilit é définie pa r la con dit ion de rang de K a lm a n et pa rIr-Grammien d 'o bse r va bilité son t é vide m me nt équ ival ent es .
1
dt.-
d, ds:
d.
y A(f)X G(t) .,
(3,15)
3 .3 . O b se r v ab ili t éd es sy s t è mes li n éaire s ln s ra tt on n al - es et en éc rivant
f (t . x )=
+A(O:r§;
le ch amp de vecteurs asso ciéà.(3. 15).
11,( 1,x)=C, (I )T. j=1, .P
19
les a pplioat.ions de sor ti e. la co ndition (le fa ng d'o bservebilitéloca le q ue nou s a vons p r ése n- tée pl us ha u t t'stéquivale nte à
x)1
i
=L .1);k ;::O}=n V(t.x )E /xX (3.16) Par u n calcul d irect . no us pouvonsla co dis tri h utio n d 'ob serv abilité do nnée pa r(3 .16)ét an t indé pen dante deJ'.
3 .3 .2 Obse rvabilit é d u l i n éa r-is é t an gent des sy s t è mes lin éaires
D an s Ce par ag raphe. nous e t ud ions l'obse rvabi lité d ' u n type pa rt iculier d e syst è mes liné ai res ins t.atio nnaires o bt ..nua pa l' linéari sa t ion t a nge nt e de sys tè mes non liné aires de la forme(3.1 ).
Soi ti( t)u ne tr aject oi re no minale-à par ti r de l'é tat in itia li(to )et de l'entr éeurt) .En no tan t
=J' - J:'.
""y -y.
le linéi'lrisé tangl'nt
nf'
(3.J) le long d e la t r ajectoir ei (· )est do nné pal(3.17)
!t.. = =
so nt les J ac ob ien s de f(I .u)et d e h (.rl pa r rap portâ .E.
P u isq ue(3.17) est un syslè me lineaire inst at ion nair e. les cri t ères d 'o bserva bilité que no us avo ns p rése nt es d a ns It' paragra p tw ]'1'Ù"l"<!enl s'a pp liq ue nt.
Pro p o s it io n 3 .7 Si (3.1 ) r.'/ 1'K:..lnu Hlt uni for mément ob:,;ert' ab/e,etque la traj ectoi re no min nlcreste to uj ours.I<lu,.le ,lQl/w ilieobserva ble à pa rt ir del' étatiTiiti al ct t' ent r éeude class eC"dnTl.'l[tu,
TI,
1..' fi",:,,,';""11I1I!JI,tllle I01lg de cette trajectoire est drms l'i n /er V(llhIt
o•TI
tin...if.'!mr/1lF .•indire»J·oiJsen)(Jbiliti.20 C h<lp. :l. Ha ppels. s u r l' ob se r vab i lité
P r eu ve Mont rons qur la cod istr ibut ion d'unifo rme observabili t é du sys tè me origi na l es t identiqu eil.celle du linéa risé tangent dan s un domaine conve na ble.
La cod ist rib ution d 'o bser va bili t é uniforme ML définie par 0 ;; {l.}. dh, l i ;;1. , p; j ;; O" . .k, - I}
Siliest de class e défin issons
les dérivées s'e xprim ent e xp liciteme nt comme
Lt dh,
ah.
s:
aziJr 8x al:
a ( Lf. dh, )?l
+ fT .!:!..-
( Ô( Lf ..dh,))T
fJx a;r
a;t· rh
+fiT
8u ().ra(L::'dh.) àl +f'!!- (aU;:'dh.))T
ih: ar d.T rh:
+fiT(!!- (8(L::'dh.1)T)T
, = 1. .p,' = 1.2 . ..Dit d:r
D 'a ut re pa r t , e n substit uantô fj ô x à A(I) et ah,jorilc,(t) . nou s o bteno ns L' dhf" ' [J:r 1;; 1. .p:k 2;O d 'o ù le résult a t .
R e rn a r -que 3 . 1 L 'inv erse de cell e proposvtum est vrai enUT jcutai" sens ( voi r ( 79, !l6j) . PrÜ l,Qfm rnl , si le linéarIsé lan gent d 'u n systeme nan linéai re le long de la trajectoire.ll est tota lem ent obse rvaMe dans "int en'all e du temps[to, TI , nlorsIrsy,Qth ,lf' original ('fIali lininil'e ) est: observable e n x ..,.
3.3. Observabilité des systèmes linéaires instationnaires
3.3.3 Formes canoniques
21
A =
Comrne dans le cas stationnaire (linéaire ou lion linéaire). on peut définir des formes dites par abus de en vue d'étendrf' les techniques linéaires associéesàde telles Notamment. ces Ullrôle important dans l'étude des systèmes instat.ionnaires et dans la construction des observateurs . Nous présenterons d'abord les
formes canoniques [9, 7/'i, 76], ct nous étendrons ensuite ces
résultats au cas le cas stationnaire par exemple par Kailath
[47]. Nous donnerons url pour déterminer le changement de coordonnées permettant de transformer le système sous forme désirée qui sera. très utile pour concevoir les observateurs.
Lin système mono-sortie:
(3.18) est dit sous forme canonique (l'observabilité si
[
0 1
() 01(i)
t
= (1 0 0)et sous forme canonique observateur si
A =
o
() j
C
= ( o
0 1)où i=1 ....11sont localement des fonctions
qUE'la matrice (l'observabili1.p du système est définie par:
Sous forme canonique observateur.UOLISpouvons déduire parUllcalcul direct que la
22
mat rice d 'ob serva bilité est de la form e suivan te [751
où
q.,k
q".
[
1 )ql.l Q"
1 q,,- q..- u
Q" _1 'O_1
t>;C = ( q•.•
'1...- 1 Q" .2q.,)
._ t + l k
(1. _ .+ 1+ an _Jq . _ t ., + l+ q ' _ I .t_J'!' l 1 :5 <1:51}
1 :5' $n
(3. 19)
(J .20)
La matr ice d'obs ervabilit é de la forme canouiqne<l'observabi lit é est donc to ut sim ple- men t la ma trice identité .
T h éo r èm e 3.8[9, 75)Le systeme(9 .9) dans leCIl Smono-sortie admet la f orm e canQnique Ob !;;f f Vul e u r SIetse ulementS I
pour to utlE[1o,
TI.
P r e u ve ;Nùe5ifdé.Supposo ns que le systè me (3.9 ) adme t te la forme cano niqu e o bserva- teur . A lors il e xiste un e t ra nsfor mation inversible z=H (l )x ,les é léments de 11'1 matric e inve rsihleH(I)éta ntdt'ç),"\.SS('C ldans[tn.
Tl,
de sorte qu e (3.9 ) est mis sous forme ca noni qu e observateur (3.18) avecA(f)=H (t) A( f )Il-1(t)
+
H ( t)H -1(t ) C(!) '" C (t)JI -1(t )Étalll donné q ue
e t que
( HA H -1+ HH-I)
(!!.- C
+CA) II -
Jd'
s .cn- :
k :2':1
(J.2 1)
3. 3 . Obs e rv a b i lit é d t.'s sys t pm e s lin é a i r e s in s tatio nn ;li re s
il vie nt
Q,It ) Q, JJ(II VI E
ltc.TI
P uisq ue(J"et}f (i )sont invers iblespo ur 1 E [re,
TI,
l'e sc.23
S uffisanl :t. La démonst rat ion de la par t ie su ffisa nt e est fa it e d e ma nière const ruct ive. Si (3.9)es tto t a leme nt ob se rvable pour 1 E [10 ,
TI.
et q ueQ"es t la ma t rice d 'o bser vabili t é de (3.18), lam at rice d éfin it' parH I ' ) (3 .22)
est in ve rsibl e pourtE [tc , 11 e r n 'est rien d'an tr e q ue la tre nsfurm atio n rec her chée . P ou r pro u ver que l'o bser vab ilité est une cond it io n s uffi.•ant e , il su tfil d e vérifier q u'il ex iste un en semble uni que de coêfficic nrsa, vérifi an t
(:1.23)
1' .24) L' u nicité de (3.24 ) est évide nt e. E n posantW (t)
=
H - l (t) ,(3.23)de vien tW A
=
- Ii·'+A WSo ient la ,.... co lon ne deH'et/1= (/I I' ,fl ,,)T (3.2,5) pe ut se rééc rir e comm e
W" = - Ül ,, _ l - lt',, )
+ (.1W1 ,4W2 A W.._1 A W.. ) E n com pa ra nt les de ux me-mbres de l'équ at ion ci-des sus . nous obtenons
La premiè re colonne de-West donnee par
puisque
w
Q;'Q .( Q; ' (O
(3 .25 )
(3 .26)
(3 27)
(.1.28)
Alors.W se détermin e par récurrenc e par (3.16) à pa rt ir du vect eur H') do n né par (3.28), eltes coefficients a, son t détermi nés un iq uem e nt par (3.27) .
F'ina .leme nt , on pe ul vérifi er dire ct em ent q ue les éléme nt s d eQ; I(I), el don c deW (t ).
a insi qu e son in ve rseH (t ).so nt bie n défini s lo ca le me nt . •
2 1 C h a p . 3 . R ap p e ls s u r l' o bse r va b il it é P as so ns ma intenant a u cas muh l-so rties . U n sys t è me (3 .18)est dit so us for me ca non lq ue d'observab ilité si .4 est une matric e tria ng ulai re et
t
di ago na leo
0_, (t )
o
o
o
o
1a:_ l(t )
o
0 i0:::l , . pe t sous forme ca nonique obse rva te ur si
a
Â
o
at _lit)__ ='-'---_1
o
C, ( 0 () Jlid , i= 1, ,jl
011 k,=1/ .et ,=1. ,P , )=;=1. , 11,son t des élé me nts éven tu e lle me n t n on nuls.
Noto ns tout d 'a bord qu e d a ns le cas muln-sonl cs une di fficulté su pplé men t air e es t d ue a ufait qu'une tran sform atio n non sing uliè re de sor tie'! est g éné ralemen t nécess a ire afin de mettre le sy st è me sous forme can onique défin ie par(3 .18).O n indi q u.. co m me nt calc ule r cette tra nsformati on" ta fin (le cette section
25 3 .3 . O b scrveb ili té d es s ys t èm eslinénircs.;.";::" ;:;' a,,':;;io"'''';::'";:;ir;:;, , ' - - - '''' D a ns le cas m ult i-sor t ies . si le sys t ème es t o bser va ble , no us avo ns
=
!I.Il se peu t a lor s q u'il exis te p lusie urs so us-ma trices dl" I"a ng plein. Do ncla matri ce d'o bse r vabilité nf' peut pas d étermin er une forme canonique observa teu r de m an iè re u nique . P Olir t rouve r la conditio n d'e xistenc .. d'un e telle fo rm e ca noniq ue o hser vate u r ainsi qu e la t ra nfor ma ti on de coor do nnées, nous d e vo ns ajo u te r des con trai n tes s upplé- men t.airr-sàla condi tio n d 'o bser va b ilit é. [] es t éviden t q ue l'o bser va bilité es t u ne cond it io n néces sa ire po ur qu\ LnCforme ca nonique existe,Res ledon c à t rouve r le cha ngem e n t de coo rdon née s.
Supposons q u' il exist e une suit e d 'enti ers {kr, . satisfaisant k,
=
TItell e q ue la so us-marnee d'observabilitéQ,
soi t de ra ng p le in
rangQ.=.'1 (3.29)
m ,=='2..:,kJ m o ""0 I/Ip==71 } ""1
,.,
, pLa matrice J 'o bserva bil ité d u sy st ème sous form .. ca no n iq ue observate ur s'éc rit
a a
1 0 Il 0a
0 Ijl,m , Q1."'.a
'1".'''' ._1 +1 0 1 q,,'t - l."', 1"" . _1+111 ",.2 Ij"" m q",,m
0 0
a
0 1a
0 '1",. _,+1·"'1a a
'1...,+2 ...'1...._ , +3,,,.,
0 1 '1....- 1.... .
a
q"'•.4, _ l .+1 1 1...m . _ l +1 '1.... ,....26 C ha p. 3 . R a ppe ls s ur j'obllf'rvabi lité où lesq,.}re prés entent d esélémentsévent uelleme nt non nuls. Alor s
Q,
es t d.. fa llg p lein . quel les que soie nt les valeur s deq',J"Pa r m i t ous les che ix qui res te ntànot re- disp osit ion pour obte nir une for me ca non - ique, n ous allo ns p résen t er d eux schéma s po ur déterminer la sous- ma tri ce d'o bservabili t é àl' ai de d' un rabl ..a u appe lé di agra m me d'Youn g qu'on u til ise pour les systè me s st at ion - na ir es[47]. CE'tableau est co mp os é parp colonnes re présent a nt l..s lign es d e la m at r ice dl" sor tieC (t)ctIllignes repr ésen tant les opéra teur s q lWnous a vons définis a u d é b ut de ce cha pitre. La (i , j) iè me cellu le re prése nte d onc l'o péee tion
S chéma1.L.-premier schéma choi sit le-s lig nes de la sous- matrice d'o bser va bilité pa r la constru c ti on d u t ab lea u suivan t. NOli Scornrnençon s par
=
Cle t l ' In diq uon s en me t tan t une croi x d ans la cellule(l. ]) . Ens uit!' . si es t liné a ireme nt indépendan t de Cl,nous me tt o ns une cro ix clans ce lt e cellule , e t no us con t inuo ns ce processus j usqu 'au momen t où nou s t ro uvo nsIll! Clq ui est liné niremen t d épendant des ligne s qu e no us a vo ns déjà rem p lies. Dan s ce cas . 0 11 md un0 ,Ianslacellule(k t . I ). Si k )<n , nous con - t inuons 1(' même"procé dé pourlade uxièm e colonne-r-tnous ar rêton s a il mom en t où no us tro uvo ns k,=11lignes in d épend antes . Cl' es t prés ent é da ns la figure 3.1.,
x x x 0
x x x
x x x
x
,
0x x
x 0
x 0
F igure 3. 1: Diagra m me d ' Yo ung du sché ma1.
Dan sceschéma , la sé lect ion de s lignes ind épe nd an t es est effeç t uée ,If' h a ut en bas su r
3 .3 . Obsen·ab i lit ê d es li né a ire !! i ns t ati o n n ai re s 27
la matrice
Sc h éma Il . CI" sch éma sélecrionne les vect eurs pa r c'est-à-dire que no us ga rdon s lesp pre miè res lignes de la ma t rice d'observabi lit" et mettons un 0 da ns la cellule co r- res pondantà la ligne qui M pl"nci linéair ..men t des lignes p réc éden t es. Nom cher chons ensu ite les nou velles lignf"!l Indépendantes j usq u'a u mome nt où nous t ro uvo ns =ri lignes ind':'poonciilnlt'S. Ce p rocédéM tprése ntédan s la figu re 3.2.
c c c , ,
· · ·
0· , ·
x,
x
·
xx 0 x
,
·
x·
0x
0
Fig ure 3.2: Diagra m me d'Young du schém a I L
Da ns re serond schéma , la sélect ion des lignes indé pe nd a nte s pst effectuée da ns l'o rd re de ha ut e n bas sur Ill.mat rice
(
".c c )
Q
=
OiUl!! leCMoù1.= 1.2= = 1., .les deuxsehémasprécéd ent s se rarn ètlt'ntàla mèm ..
sous-matrice d 'obse rvabilit é.
28 C h a p. 3 . R app el e s ur- l'obse rva bilité Comme d ans le cas mo no-sor tie , la t ra nsformation de coordonnées es t do n née pa r
T
Q;' Q.
0" IV= Q;' Q, ,
li/ A
= +
Alors , si no u s not onsIV}la J m"colonne deW ,nousavons
Il nou s rest eàchoi sir les vecte ur s initiauxW"".1=0, , p -l , pou r acheve r I{' calc ul.
Com me W est dét er miné uniq ue me nt par
.4.
nous pouvon s en par ti cu lier choi sirild e telle sor te que la ma t rice d' o bse rva bilitév érifieQ.e ...,_,=te"" i=1. .p
où cJrepresente le vecteur un ité avec 1 dan s la posit ionj Llo m '_l -ème colonne {je la m a n-iee d'obse rva bilité est donc un vec te ur unité ave c 1 Ja ns la. position m, . Les él ém..n ts res ta nts d e cette colon ne ainsi qu e ce-ux co rre spon d ant
a A
son t nu ls. L'initialisat ion de l'algor it hm e (3.30) est do nc donnée pa r(3.32 ) Noton s que da ns le cas mult.i-sor ties , 1".ma t rice de so rt ie
ë =
C Wn 'est pa s Io rcéme n t sou s for me défin ie d a ns (3.18). Ce pend a nt , par un cho ix conv ena b le dl:' bas e ,OILpeut to ujou rs me tt re la ma trice de so rt ie d ans [es no u velles coo rdonnées sou s form e suiva nt e [471c ; r:
0 j
Ct, 2 0 0 j 0
o
ct,p 0o
Ck,p 0 1Faison s un changement de sor ti e f; = Gy
alor s , comme
c
est l r iAflgu lai rf"su périe ure. o n pe u t t ro uve r u ne ma tric eGinversible telle que, J a ns les nouve lles coo rdonnées . la ma t r ice de"Oll ieC:' =
cC estso us fo rme so uhaitée.3 .1. A n a ly s e d e l' oh se r vab ili t é de s p ro b lè me s d e t r aj e ct og ra p hie 29
:lA Anal y s e d e l ' o b s e r va b il it é d e s p r o b lème s d e t r a - j e c t ogra p h ie
3 .4 .1 T rajectograp hie e n r epère fi xe 3. 1. 1. 1 C liSact if
Con sidérons d'a bo rdle syst ème composé de (2.5)et(2.8 ).
Pour vér ifier l'o bserva bilit é [uniform e] J ' un lei sys teme nous dét erminons la di m ension de la codts rr lbut ion
Par un ca lcu l dir ect nous obt enons
(- '- .o, _ Y_ ,o,- '- ,o)
JT!+7+?
_ _" _ _
'
il v ,1'2+t'di -Z l -t'r - Z )
vr-+?
2 ' J ( x 2+!/'+z : )3 . .,)x 1+
yi+
z l(
- ,ex - Y'
.Ji"+? )
(x 2+y2+lI)v'JT+?,0.( X2 + !l2
+
.;:2) (1'2 +yJ+Z2) ' 0+
ZX 2!12_Zy 4 _ZJ!/)
+
l'\I(3z y.x3+
3X Z y 3+
Xy l3 ) (:r2+y2+.;:2)2jïJl+
1/ )3+v, (.r·\ :l
+
Xy l;;2 _ _2.t·1.'12 - -_rx _ (.1"1+
y I+z2/
V ( x l+y 2j3 • (.1"2+
y 2+
V..(3Y ZX3
+
3Z X y 3+ .r y l3 )+
_:-.r4+
ZX2y2+
2Zy 4 _ X3 Z3 ) (Xl+)/2+.:;2)2J (x 2+y 2)3 V.{YX 2Z2+y 3.;:2 _ y.z4 _2.r1!/ _ -y z + ( X2+y 2+
z2i-l(x 2+
y2 )3 . (1'2+y 2+;:2)_ U.( X3
+
.ry2 _ x.z2)+
V,,(yx 'l+
y 3 _ YZ2 )+
+y 2)( r 2+y2+.:-2)2 J (l"l
+
y2)3 ,X2+
yl+
Z2( - J ' }:y2'0.O•O)
(
_!l2)
+
2J·Yv .- v
_ 11.(.1'2 _!l2) _2ryv" . r )(X2 + y 2j2 (l"1 + y2J'
Clairem en t , (dh ,dLJh ) est de rang plein alors(J II ("l' accélérat ion a ap para ît une dériv e- tio n plu s tard. La comma n deil l"peu t donc pas faire chut er If" ra ng , c'es t-à-dir e q ue
30 Chap. 3. Rappels sur l'observabilité
l'observabilité de ce système ne dépend pas de l'entrée. Il en résulte que .le svsteme (:2.5) est localement uniformément observable ainsi que localement
ment avec les indices d'observabilité = k2= cie l'axe des z en y définie.
L'observabilitéde 1:25) peut être vérifiée directement par le [aitqu'iJ existe un difféo- morphisme local
TCOSO"COS, r cososiuj r sin o
permettant de reconstruire l'étatil.partir des observations(7\ , .0") et leursdérivées cie Lie par rapport aux champs de vecteurs définis par(2.5)[57].
3.4.1.2 Cas passif
l={px().Ày(-), ),z(·J.L(·).r(-), ),v(·))1x E IR} (3.34) est contenue dans une sous-variété inobservable passant pa.r(x.y,z ,L:,
r,
v).L'ensemble 1peut aussi s'exprimerThéorème 3.9 [.57]Notons
(3.36)
ah.O".o-)=--=====
(3.37)
3 .4 , A n a ly se d e l ' o bs e r va b ili tt' d e s p r oblè m f's de tra j e c t o graph ie ;31
«lors 'lOus /won s
r =
(.3,38)
(3.39)
(H O)
(3.41)
(3.42 )
etIiisotl,s, v a r iitém obsc r vabtcpa.s.>un/ [Jar tou t pOInt est âonn ee11fI1"(3 .:14) .
Not on s:
( 1
= ;
(1= (3= =Er
e l r a p pelons que comme u es t ccnstente. nou s d éduiso ns de (2 .0)
1
\.
='"'("0' (, (1 =
(3 =
i.
= 0 (5= 0 et l'o bse rvation s'exprimel' Ilfon ct io n des no uvelle s va ria b les(3. 43)
(3.11)
D' e p r èe le th éor ème 3.9 , le sys teme (3.43) est loca lem e nt o bservab leàpar t ir de l'o bse r va t ion (3.41) seuf a ux point s corres po nde ntàl 'ax e de sz,
Nous re ma rquons finalem e nt qu .. co r nm.. l'obsc rva blilit é ne dépend pas des coor do n
nr..
s, la p ropriété d'obse rva bilité ne chang e pas pour les a u tr es m odè les q ui so nt localemen t difféomo rphesà.celui expr imé en coordonn ées cart ésiennes.3 .4 .2 'I'rajec to g rnp h ie pas s ive e n rep ère mob ile
Nous con sidéro ns le cas o ù le capte-ur pass if es t t.rainépar (o u em ba rqué sur) un porte ur mob ile . Nous faison s en plus les hypotbèses suivantes
32 C h a p . R ap p e ls s u r l'obse r vab il it é
• L'en sem b le "cap te urr ius por te ur" est un o bj et r ig id e d on t le cen t re de gr a v it é est sou m is à uneaccéléra tio n con n ue.
• L("por teu r est ca pa ble defaire-d esman œu vres a rb it ra ires .
Notons q u 'e n pr a t iq uelaseco nde hy po th èse n 'estvérifiéeque pe nda nt des durées lim - it ées pour d es rai sons éner g ét iq ues é vide ntes . L' a na lyse q ui su it se ra do nc nat ur elle ment restrein t ea ux inte rva lles de temps co ncs po nd a nt s .
Nou s é tu d ionslesys tème e n coo r don nées polaires modifi ées . 3.4 . 2 . 1 Poursuite d a n s 1(' p lan
Un cr it ère algéh riq ue po ur l'o bser vabilit é du systè me J e po ursuite e n dimension 2 est d onn é da ns le t héorème sui van t
3. 10
/1.
581 Le de pours uitepass lt'r en dl mo lslOn 2 (2. 13) est un i·[a rm em en t obs t n Jabiepou r lacom ma ndr u It o, l l l - H2" 1d H tde m t1lt s i ( 3.45)
OÙ "fest de t'azimut.
C o r o ll a ir e 3 . 1 1 Les C011dl/Wrt S su il'an ll"S ••ont éqlllv a/elltcs
(Il)J.'a altllesentré es du sys/è me vénjù:n t
oude manière équiva/ellte"IlCOO,-dOll ll ÙS pol airesmodifi ù s fiX: "'l (Ur cosI p....l
+
Uv sin .r"rnl)+G X pm2:rpm3(U rsi nI prn! - cosT"",I) + 3.r,,"'4(UrsinIp.... ! - :1:""'1)2+
sin .rpml - cosr"",d
:=0(3.47) 3.4 .2 .2 P ou r sui t e d a n s l te-ap nce
Po u r vé r ifier la. p rop rié té d' observa bilit é co rrespon d ant a u pro blème de po ursu ite passive da nsl'espace, no us pr ésen lo ns les p rincip alt"Spro p rié té s d u vecte ur un ité de LD V Le m m e 3 . 12[391L..vecteu runll éde 1. 01'l' les relation»SlI i l}(Hl l e.5
(1'i,T)r (1 -ffT) r :: 0
, T_ rT r <f,f>
(3.48) (3.49) (3.50 )
3 .4 . A n al y st! dl;' l'o bsl;'rvab il it é d e s p t' ob lèmes d e tra jeçtogra phie 33
R em a r q u e 3.2(3 .5 0)imp[iqut' qllt'ft'l'fctfl lrtes!toujo urs orthogonalàr .Nousen d édl1l$OflS i mméd la/t' m cfl t
( j'rT ) ;' = 0 (l_i'j'T)f = f
(3.51) (3.52) R emarqu e 3 .3La ma /n ee t' fT projctt e tou s le" vecteurs sur la droite LD V, par con tre la mat rice(l -i'fT )projet te fous les vecteurs sur l'espace M thognnalàla droite LDV L 'acti on de »rr et(1-rfT) SlI rIHlvecteur v estrepristlltieIlu rla fi!JUrt' 9.9
F igure .1.:J: Inte r prét at io n géornétri q ue- derf Te l de(1 _rr T).
La ma tri ce d'ob servabilitéQ"assoc iée au systeme 12.16) F ( xp", .u)
=
f ( x , ," )+
9(. 1",,")u avec l'o bse rva tio n (2.17) est donnée pa r:=. ...)
+
n (r , ...,u )'103 1 - (X;"'1.rp...
>l' J2 - 2 x"m JJh 3 - oJ.o JJ - 2 .l"p m J
