L'ét ude des obs erva te urs non linéairesil.commencé par Je travail de Thau [82] a u des années 70. Il existe une abo ndan te littérature sur cc sujet (voir la b ibliog raph ie ).
méthodes sont de u x grandes classes : la m ét hodes de
Lya punov et
La mét hod e de Lyapu nov esttilleidée intu itive. Son principe repose sur la const ruct ion d'une fonct ion inject ive dont Iii dérivée 11' longdela dynamique d'erreur est st ricteme nt voisinage de 0, o u, ce q ui revient au même . qu i décro ît If' long des tr ajec to ires de Une tell e fonctio n dr- Lyap ounov pe rmet donc de conclu reàla stabili t,é de la dynami q ue d'erreu r. L'a pplica tion des méthod es de Lyapun ovilla const r uction d 'obs ervateurs sem ble êtreun pr obl ème t rès com pliqué, en particulier parce qu e j'é ta t de système a ppa ra ît dans J usqu 'à présen t, seul s des cas par ticuliers o nt été résolus sous des pe u ex plic ite s et difficiles à vérifier [43, 50 , 82, 84 , 85 ], La mé thode de li néarisat ion est un prolonge ment de l' idé e de Luen be rge r. Cette mét ho de est bas ée sur la not ion d 'équiva lencefiune d'e rreur linéai re . Peu dt"
classes
desystèmes
a dmet tent cepend an t une équatio n1;
linéaire par im mersion ou difféomorphisme d'éta t et : 52, 55,64 ,65 .91,93, Da nsle m ême ord re d 'idée s, des obser vat eurs rédu its de ne linéar iser qu'u n
l'a utr e de perturb atio ns
variab le)[ï7, la
l'este toujou rs ouverte. C' est un de nos pr inci pau x sujets
No us a llons J'appeler d'a bord deux concerna nt la linéa risa tion exact e de d' er reur. que l'o n ten tera au p ro hlème de tra jectographie au 6, e t q uelques éléments detep procnc LY' IP" " 'W" .
4 .3 .1 Li néa r is at io n exacte de la d yn amiqu e d 'erreur Co nsidéro ns If' problème dt" constru ire un observat eur pour le systeme (3.1). Su pposons q ue l"..nt rée u est de classe et notons
Alors, s'ilexiste un difféomo rphis me' d'état
=\'F (x , i't), ( 011.1.'=
4.3. Observateurs non linéaires
etune injection non linéaire de sortie (3.1) sous [orme canonique observateur avec l'observateur dans les nouvelles coordonnnées est donné par
[ =Aê
+
ory, u)+
l<.(y -cê) (4.24)La dynamique d'erreur(4.8)lui est associée. comme dans le cas linéaire.
Le difféomorphisme et l'injection de sortie qui transforment le système (3.1) en sa forme canonique observateur sont les solutions des équations aux dérivées partielles suivantes:
= 1=1, .p:)=1, .i,-1 (4.25)
Les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il existe un observateur sous forme de
Théorème 4.2 exacte de la [ormémeni
52] Une condition ponr que le de linéarisation
derreur admette des solutions est que système(3.1) soil
uni-(:U) admet. par un difféomorphismel'= X(z),la forme
(4.28)
C h a p . 4 . R ap p el s s u r le s o b s e r va te urs
= j=L, lesindices d'ob servabilité . On no t eP( z)
l'auneau poly nômes en zà en la sor tie el les dé r ivées deti Le de gr é deZ' Jest défini pa rj - 1et le deg réd 'u n mon ômez,,), ' z,,;.est défini par la somme d es de gr és de ses fa ct e urs , (JI- 1)
+ +
(J,. - l) .Pk (Z)d ésigne donc les poly nômes de d eg ré infér ie u r o uégala
k.En fin, désigne les po ly nôm es deP k( Z)q ui sont e ngen d rés par ],'Séléments dep k- I ( z ).Pa l' co nvent ion,Z'(k+l)est danspk (z ),ma is pas dan sP ; (z ).P ro p o sitio n4. 3 Une condi tion /10111' Idque dans les nouneiies coordonn éesIII obso'vable est qu'en coordonnée obse1'11(lble
Preu ve d 'ét atz
=
IJOU ' " =l , ,p .
systèm e (4.28) es t mi s
Çll ( 12
( l'l (13
(lk,
i
1((, u )1
YI
(n( pl ( pl Ye ( pl
( p2 (p3
i""
ip((. U)(4,29)
·1.3. O bs e r vat e u r s n o n linéaires 47 -t a-tlOu form e obsen tablt: spici lilf.
'I'b éo r ême 4 .5 [94] qlif. fe I;yste me(3 .l)estloca fem ent unif orm ém ent ob-servable. A /or... fe problè me de 11'li ansation c:ra d e de fa dy nam ique d 'erre u r admet un e S OIUtÎOIIs'I l existe des champs dteecte ursyI , "q" vérifi ant
tel qu e
48 C h a p ..j . R a p p els s u r les ob s e r va t e urs Co nsidé rons un systè me affine analytiqu e
{ x
fi·')+
I: g,lx)",4 .3" O b se r va t e ur s no n lin é air e s 49 k,=»im pliq ue q ue . a près avoir réo rdon né les so rt i" si nécessair e . la co distri-bu t.ion su ivan t e'
f>st d e di me n uon n da nsUa.EIIpart ic ulie r.
e-stu n difféo mo r phism e d'état loca l. D'a ut re pa r t ,
=
R -di m(1i o) im pliq ue,e st u ne base d.. l'es pace1io, e t q ue le systè me or igina l s'iunucrge parf}da ns u n sys te me o bse r vabl e don t l 'pt a t est de d ime nsion ; ga leilr elie de1i1) .L'immersio nè=6(.1') contient d on cOcet0 :R"-+HNest u ne injec t ion , so n inve rse0-1 :R'v ... unesurjecti on. Ccci nou s d onn e
Thé o r è me 4.8
1551
Sife r /.:j Sjestfocalrm f fll ob.>t n '(lble en,1'0et'l U'ileMi m-m erg e«bfe danslH Is ysti m e(.1..'16) de d' ffle',swn fi m t da n.• (Jo. u/Ot si lenst e un obs ert'a -U u re.l'po fl enll dpt>1lrt o ntecon dvuo n IlIIt Hd e .r (t o)IIIqur .l'(t)EUapou r l ou t1 ;:: 10.E n e ffet l'o bserva te ur assoc ié au syst em e (4 .:16 ) est donne pa l
{ i
F(+ 1C (' - HO + t,C.u.i = O.;' (() La dyn am iq ue d'erreur es t linéa ire s ta t ionn aire
i = (F - l\ "H )e
(U !!)
(4.4 0) Con sid éro ns unsysti -mc do nt la d y nam ique es t linéai re et l'o bse rva tion un po ly nôme dedegrér
Par lin ca lc ul di rect . nous ob tenons
+
h,,,"" h= J
X,. (4.4 1)
ave c
AL.
••" ".,. ER Ppo ur t o ut e, . il , .r, Ainsi H o es t enge nd r é pa r les cc m biu aisc ns lin éaire s à coêfficle nrs const a ntsdesmonô mes d l;' degré in fér ie ur ou éga lil.r •C les t do n t' de d ime nsionfinie.E n conclu sion, o n11
Chap . 1 . R up p els s u r le s o b s e r va te urs T h éo r èm e 4 .9 ['; 71S I le s ystèm e(.f. 4J)e.sllucalem ent o/lst'l't'ab/e, d adm et un obs erv a-IflJr/XArllnm ersio n
Rem arq ue 4 .1Enter mes dlffh cnf idlt ,Fliess{eS}fldOJlnr!/n t'cOlldili on nécess aireftlJujJisa llt r si mi lai re celles du th éor ème4-6,pour qlJt lesystème (.1.9;;]
e 'im me rq erdansti tis yst ème bilinéaire. Ln construction d 'u'l l'obserlJutcur non l ltd ll i l "fseréduit elarsàla constru ction d 'un observat eur pour le "ys /èm e bi/inéain asso-cié. linéaires par la mét hode de Lyapu nov.
La pr em ière méth ode de co nst ruct io n d 'u n o bs..rva teu r a été p roposée va r T ha u [821.
Con sidérons le systè me su iva nt
{i-<;; A.r + 'P(x ) + 8 u
y <;;
ex
(4.42)oùA, BetCso nt des matr ices cont an tes de t ailles appropriées e t( A,C )est un e pa ire co m p lètement ohser vablo . Si la fon ctio n non liné aire'Pest loca lem e nt Lip-chltaienue, on pe ut co ns tr u ire un observ at e ur asymptoti queàga in co nst ant.
4 .3 _ Observat e u rs "n o:;:n,,''''ill''-';:;n i;.:,,;;;., 51z;
Si les compos an tes non linéairo;>s .,,( ·).tb. ( ·l . . sont glob a lement Lipschizlen ne s , u n observa te u r asy m p to t iq ue à gra nd ga in est construit par des t ech nique s de per t ur ba t ions sing ulièr e s . Cf'tle approche s'a pplique hie n e ntend u a u x sys tè me" équ iva len t sà(4.43) par difféomorphisme
Ces résu ltat.s o ntétééten d us par Ba rna rd pt Ha m rno ur i [12] d a ns le cas multi-emrécs et mul ti-so r tics .
La t ech n ique de s Systèmes à St ruct ure Variable (SSV ) ilétéint rod ui t e par Siotinc , He d ric kel 17i]et Wa lcot t et Zak [89J en ce q ui cour-erne les ob ser vat eu rs .l es non linéar it és et les pe rt u r ba tions du sys tè me son t sup posée s bor nées L'observateu r obte nu es tils truc tur e variab le.
52 Chn p. 1. R a p p e ls s u r les o bse rvateu rs