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Hauteur asymptotique des points de Heegner

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Hauteur asymptotique des points de Heegner

En l’honneur du Professeur Henryk Iwaniec, pour l’ensemble de son oeuvre analytique et pour son titre de Docteur Honoris Causa de l’Universit´e de Bordeaux 1.

Guillaume Ricotta et Thomas Vidick

Abstract. Geometric intuition suggests that the N´eron–Tate height of Heegner points on a rational el- liptic curveEshould be asymptotically governed by the degree of its modular parametrisation. In this paper, we show that this geometric intuition asymptotically holds on average over a subset of discrim- inants. We also study the asymptotic behaviour of traces of Heegner points on average over a subset of discriminants and find a difference according to the rank of the elliptic curve. By the Gross–Zagier formulae, such heights are related to the special value at the critical point for either the derivative of the Rankin–Selberg convolution ofEwith a certain weight one theta series attached to the principal ideal class of an imaginary quadratic field or the twistedL-function ofEby a quadratic Dirichlet character.

Asymptotic formulae for the first moments associated with theseL-series andL-functions are proved, and experimental results are discussed. The appendix contains some conjectural applications of our results to the problem of the discretisation of odd quadratic twists of elliptic curves.

1 Description de la probl´ematique

L’´etude calculatoire syst´ematique de la hauteur de N´eron–Tate des points de Heegner sur diff´erentes courbes elliptiques montre de grandes disparit´es. Si l’on consid`ere deux courbes elliptiques de mˆeme conducteurN, alors les points de Heegner sur ces deux courbes sont l’image des mˆemes points sp´eciaux de la courbe modulaire de niveauNnot´ee X0(N) par la param´etrisation modulaire et on s’attend donc `a ce que leurs hauteurs soient dans le mˆeme rapport que les degr´es de ces param´etrisations.

Cependant, la figure 1 montre que le comportement des hauteurs est tr`es irr´egulier:

mˆeme si les courbes 37A et 37B (dans la notation de Cremona [Cr]) ont le mˆeme conducteur et le mˆeme degr´e, les points paraissent l´eg`erement plus gros sur la 37B que sur la 37A.

Nous allons montrer que l’intuition se v´erifie asymptotiquement: `a conducteur fix´e1, la moyenne sur une certaine sous-classe de discriminants de la hauteur des points de Heegner est proportionnelle au degr´e.

Pour cela, nous allons proc´eder `a partir de la formule de Gross–Zagier [GrZa] et raisonner sur les s´eries de Dirichlet et les fonctionsLen nous servant principalement d’un r´esultat de H. Iwaniec [Iw].

Rec¸u par la r´edaction le 2 novembre, 2005; revu le 13 juin, 2006.

Classification (AMS) par sujet: Primary: 11G50; secondary: 11M41.

Soci´et´e math´ematique du Canada 2008.c

1Toutefois, nous prendrons soin de garder explicite toute d´ependance en le conducteurNde la courbe.

1406

(2)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

−5000

−4500

−4000

−3500

−3000

−2500

−2000

−1500

−1000

−500 0

Disriminant

ˆ hH

d(Pd)

37A

b b bbbbbb

b bbb bbbb

bb b bb bbbbbb

b b b bb b b b b b b bbb bb b b bb b b b bb b b b b b b b b b b b b b b bbb b b b b b b b b b b b b b b b bbb

b b b b b b b b b b b b b b b b b bb b b b b b b b b bb b b b b b b b b b b bbb

bb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b bbb

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b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

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b b b b b b b b b b b b b b b b b bb

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37B

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Figure 1: Comportement des points de Heegner sur les courbes 37A et 37B.

2 Pr´eliminaires

SoitX0(N) la courbe modulaire de niveauN classifiant les paires de courbes ellip- tiques (E1,E2) reli´ees par une isog´enie cyclique de degr´eN. Une description ana- lytique surCde cette courbe est donn´ee par le quotient du demi-plan de Poincar´e compl´et´eH∪(Q∪ {∞}) par l’action par homographies du groupe de congruence Γ0(N).

SoitEune courbe elliptique d´efinie surQ de conducteurNsans facteurs carr´es.

A. Wiles et R. Taylor [Wi, TaWi] ont prouv´e lamodularit´edeEdont un corollaire im- portant est l’existence d’une application non constanteΦN,E:X0(N)→Esatisfaisant ΦN,E(∞) = 0 appel´eeparam´etrisation modulairedeE. Ledegr´enot´e deg(ΦN,E) de cette application est un invariant important et il est int´eressant de connaitre la crois- sance de celui-ci par rapport au conducteurN. Selon la conjecture du degr´e [Mu] et [De, p. 35] qui est ´equivalente `a une des formes de la conjecture abc, on aurait

(2.1) deg(ΦN,E)≪εN2+ǫ

pour toutǫ >0.

Consid´erons l’ensemble

D:={d∈Z,d<0, µ2(d)=1,d≡ν2 mod 4N,(ν,4N)=1}

de discriminants. PourddansD, notonsHdle corps de classe de Hilbert du corps quadratique imaginaireKd:=Q(√

d) et souvenons-nous queGd :=Gal(Hd|Kd) est isomorphe au groupe de classesClddeKdde cardinal le nombre de classeshd.

(3)

D´efinition 2.1 Unpoint de Heegner de niveau N et de discriminant dest un couple ordonn´e (E1,E2) de courbes elliptiques muni d’une isog´enie cyclique de degr´eNtel queE1etE2aient multiplication complexe par l’anneau des entiersOddeKd.

NotonsSS(d,N) l’ensemble des racines carr´ees modulo 2Ndedmodulo 4N. Pour tout ´el´ementsde SS(d,N), d´esignons parn(s) l’id´eal entier primitif de normeN suivant

n(s) :=

N,s+√ d 2

.

Selon [Wa2, Th´eor`eme 2.6], l’ensemble des points de Heegner de niveau N et de discriminantdest en bijection avecSS(d,N)×Cl(d) de la fac¸on suivante : si [a] est l’´el´ement du groupe de classesCldassoci´e `a l’id´eal entier primitifadeOdetsest un

´el´ement deSS(d,N) alors (C/a,C/an(s)1) est un point de Heegner de niveauNet de discriminantd. Le point du demi-plan de Poincar´e moduloΓ0(N) correspondant

`a ce point de Heegner est donn´e parB+2Ad moduloΓ0(N) o `u (A,B,C) est la forme quadratique de discriminantdcorrespondant `a [a] et o `uN|AetBs mod 2N.

D´efinition 2.2 Un point de Heegner de niveau N et de discriminant d sur Eest l’image par la param´etrisation modulaireΦN,E:X0(N)→Ed’un point de la forme

(E1,E2)=(C/a,C/an(s)1), o `uaest un id´eal de l’anneau des entiersOddeKd.

NotonsPd = ΦN,E((E1,E2)). Ce point ne d´epend que de la classe deadans le groupe de classes deKd(une foisEetdfix´es). Notons ´egalement Trd =TrHd|Kd(Pd).

Les points de Heegner sont d´efinis surE(Hd) et sont permut´es parGd[Gr].

SiRest un corps de nombres, alorsbhR(P) d´esigne la hauteur de N´eron–Tate prise surRdu pointP `a coordonn´ees dansR. Ainsi, sibh(P) est la hauteur canonique de N´eron-Tate comme d´efinie dans [Si, VIII.9] du pointP `a coordonn´ees dansR, alors bh(P)= [R:Q]1bhR(P) de sorte que siSest une extension de degr´e fini deR, alors bhS(P)=[S:R]bhR(P). Le but de cet article est d’´etudier la valeur en moyenne, sur les ddansDdes deux objets suivants :

bhHd(Pd), hauteur de N´eron–Tate surHdd’un quelconque deshdpoints de Heegner d´efinis ci-dessus. PuisquebhHdest invariante sous l’action deGd, cette hauteur est ind´ependante du point choisi,

bhKd(Trd), hauteur de N´eron–Tate de la trace surKdd’un quelconque des points de Heegner Pdd´efinis ci-dessus.

B. H. Gross et D. Zagier [GrZa] ont reli´ebhHd(Pd) `a la valeur de la d´eriv´ee en 1 de la s´erie de Dirichlet obtenue en effectuant le produit de la fonction Lde Dirich- let associ´ee au caract`ere primitif r´eelχd(m) := (md) de conducteur|d| du corps Kd (le caract`ere de Kronecker du corps) par la convolution de Rankin–Selberg de L(E|Q,s) :=P

n>1ann−savec la fonction zetaP

n>1rd(n)n−sde la classe des id´eaux

(4)

principaux deKd, c’est-`a-dire Ld(E,s) := X

m>1 (m,N)=1

χd(m) m2s1

!

×X

n>1

anrd(n) ns

, (2.2)

o `urd(n) d´esigne le nombre d’id´eaux principaux deKdde normenpour tout entier naturel non-nuln.

Th´eor`eme 2.3([GrZa]) Si E est une courbe elliptique d´efinie surQ et d est dansD, alors

Ld(E,1)= 2ΩE,N

u2

dbhHd(Pd), (2.3)

L(E|Kd,1)= 2ΩE,N

u2

dbhKd(Trd), (2.4)

o`u L(E|Kd,s)est la fonction L de E sur le corpsKd,2u est le nombre de racines de l’unit´e deKdetE,N =Im(ω1ω¯2)est le volume complexe de E (c’est-`a-dire le double de l’aire d’un parall´elogramme fondamental de E(C)).

Remarque2.4. Plus pr´ecis´ement, l’´equation (2.3) est [GrZa, Th´eor`eme 6.1,§I] alors que l’´equation (2.4) est [GrZa, Th´eor`eme 2.1,§V.2].

Nous rappelons finalement la relation ´evidente bhKd(Trd)=bhHd(Pd) + X

σGd\{Id}

hPd,PσdiHd

entre nos deux objets d’´etude. Ici,h ·, · iHdd´esigne la forme bilin´eaire de N´eron–Tate surHd. Le troisi`eme terme fait intervenir l’angle form´e par les points de Heegner entre eux et il sera int´eressant de l’analyser (voir§5).

3 Les traces

3.1 Mise en place

Il est ici n´ecessaire de raisonner selon le rang de la courbeE. La fonctionLdeEsur Q pr´ec´edemment not´eeL(E|Q,s) =P

n>1ann−s est d´efiniea priorisurℜ(s)> 32. Selon les travaux de A. Wiles et de R. Taylor [Wi, TaWi], il existe une forme primitive cuspidalefde niveauN, de poids 2 et de caract`ere trivial telle queL(E|Q,s)=L(f,s) surℜ(s) > 32. Ainsi, les travaux de E. Hecke [IwKo, Th´eor`eme 14.7]) assurent que L(E|Q,s) admet un prolongement holomorphe `aCet satisfait l’´equation fonction- nelle

N

s

Γ(s)L(E|Q,s)=ω√ N

2s

Γ(2−s)L(E|Q,2−s), o `u−ω=±1 est la valeur propre de l’involution de Fricke de f d´efinie par

f

−1 qz

=−ωqz2f(z)

(5)

pour tout nombre complexezde partie imaginaire strictement positive. D´efinissons pour tout discriminantddansDla fonctionLdeEsurQtordue parχdsurℜ(s)>32 par

L(E|Q×χd,s) :=X

n>1

anχd(n) ns .

La fonction L(E|Q ×χd,s) admet un prolongement holomorphe `a C et satisfait l’´equation fonctionnelle

|d|√ N

s

Γ(s)L(E|Q×χd,s)d|d|√ N

2−s

Γ(2−s)L(E|Q×χd,2−s), o `uωd:=ωχd(−N)=−ω[IwKo, Proposition 14.20]. Avec ces notations, la factori- sation

(3.1) L(E|Kd,s)=L(E|Q,s)L(E|Q×χd,s) est valide [GrZa, (0.4),§IV]) d’o `u

L(E|Kd,1)=L(E|Q,1)L(E|Q×χd,1) +L(E|Q,1)L(E|Q×χd,1).

Ainsi, l’´etude de la hauteur des traces des points de Heegner en moyenne sur les dis- criminantsddansDest ramen´ee `a l’´etude de la valeur au point critique des fonctions Ltordues lorsqueEest de rang analytique 1 et `a l’´etude des d´eriv´ees au point critique des fonctionsLtordues lorsqueEest de rang analytique 0 car alorsω =+1. Men- tionnons que le rang analytique deEest l’ordre d’annulation deL(E|Q,s) au point critiques=1.

3.2 Courbes de rang analytique0

Rappelons le th´eor`eme obtenu par H. Iwaniec [Iw]. Avant cela, fixons une fois pour toutes les deux notations

γ(4N) :=#{k2∈Z/4NZ,(k,4N)=1}, et

(3.2) cN:=3γ(4N)

π2N Y

pP p|2N

1− 1

p2 −1

,

o `uPd´esigne l’ensemble des nombres premiers.

Th´eor`eme 3.1 Si E est une courbe elliptique rationnelle de conducteur N sans facteurs carr´es et de rang analytique0et F est une fonction lisse `a support compact dansR+et de moyenne strictement positive, alors

X

dD

L(E|Q×χd,1)F|d| Y

NYlogYNY+Oε N2314Y1314 ,

(6)

pour toutε >0o`u

(3.3) αN :=cNL(1)

Z + 0

F(t)dt6=0, et

βN :=cN

Z + 0

F(t)

L(1) +L(1) log√

Nt

−γ dt, avec

L(s) := L(Sym2E,2s) ζ(N)(4s−2)

Y

pP p|N

1−ap

ps −1

1−ap2 p2s

P(s),

et

(3.4) P(s) := Y

pP p∤2N

1

1 + 1/p+ 1 1 +p

1 +p24s−(a2p−2p)p2s 1 +p12s

.

Remarque3.2. Dans [Iw], la fonctionLest d´efinie par la s´erie de Dirichlet suivante L(s)= X

n=kℓ2 k|N (ℓ,N)=1

bn

ns avecbn:=an

Y

pP p|n p∤2N

1 + 1

p −1

pour tout entier naturel non-nuln. Celle-ci peut se r´e´ecrire sous la forme L(s)= Y

p∈P p|N

1−ap

ps

1Y

p∈P p∤2N

1 +

1 + 1 p

1X

i=1

ap2i p2is

Y

p∈P p|(2,N−1)

1 +

X i=1

ap2i p2is

ce qui permet de retrouver l’expression deLdonn´ee dans le th´eor`eme en fonction du carr´e sym´etrique deEet du produit EulerienP. Signalons que l’holomorphie de la fonctionL(Sym2E,s) dans tout le plan complexe a ´et´e prouv´ee par Shimura [Sh] et que le produit EulerienP(s) est absolument convergeant surℜ(s) > 34 et y d´efinit une fonction holomorphe.

Remarque3.3. La valeur de la fonctionL(Sym2E,s) au bord de la bande critique est reli´ee au degr´e de la param´etrisation modulaireΦN,E:X0(N)→EdeE[Wa, (1-1)]

par la formule suivante analogue `a celle du nombre de classes de Dirichlet L(Sym2E,2)

πΩE,N =deg(ΦN,E) NcE(N)2 ,

o `ucE(N) est laΓ0(N)-constante de Manin deEqui est un entier relatif uniform´ement born´e [Ed]. Ici, on utilise le fait queNest sans facteurs carr´es `a deux reprises :

(7)

les fonctionsLdu carr´e sym´etrique deEmotivique et analytique coincident car les termes correctifs apparaissent seulement en les nombres premiers dont le carr´e divise le conducteurN,

lorsque Eest une courbe de Weil X0(N)-forte et N est impair, la constante de Manin vaut ±1 selon les travaux de A. Abbes et E. Ullmo [AbUl], alors que J. Manin [Ma] a conjectur´e que cette constante vaut ±1 pour toute courbe de WeilX0(N)-forte.

Remarque3.4. Il semblerait que quelques petites erreurs de frappe dans la formule pourαN(et en fait pourcNetL) se soient gliss´ees dans [Iw]. La valeur donn´ee ici est corrig´ee.

Remarque3.5. Dans [Iw], la d´ependance en le conducteurNde la courbe dans le terme d’erreur n’est pas explicite. Cependant, il suffit de reprendre les diff´erentes majorations pour restituer celle-ci.

Corollaire 3.6 Si E est une courbe elliptique rationnelle de conducteur N sans facteurs carr´es et de rang analytique0, alors

X

dD

|d|6Y

bhKd(Trd)=CTr(0)Y32logY+CTr(0)

2 log (N)Y32

+L(E|Q,1)cN 3ΩE,N

L(1)−L(1)2

3+ log (2π) +γ Y32

+OεL(E|Q,1) ΩE,N

N2314Y2014

, (3.5)

pour toutε >0, o`u CTr(0)est la constante d´efinie par CTr(0):= 2

πcNP(1)L(E|Q,1)L(Sym2E,2) πΩE,N

LE

en notant LE un produit de facteurs locaux correspondant aux facteurs Euleriens de L(E|Q,s)et de L(Sym2(E),s)en les nombres premiers divisant le conducteur

(3.6) LE:=Y

pP p|N

1−ap

p −1

1− 1 p2

−1 1−ap2

p2 .

Preuve Il suffit d’appliquer la formule de Gross–Zagier (2.4) et de prendre pourF une approximation lisse de la fonction qui vaut 32

t sur [0,1] et 0 en dehors de cet intervalle. Le corollaire d´ecoule alors de (3.1).

Remarque3.7. `A conducteurN fix´e, le terme principal dans (3.5) estCTr(0)Y32logY avec

C(0)Tr = 6

π3cE(N)2P(1)Y

p∈P p|2N

1− 1

p2 1

×L(E|Q,1)LE×γ(4N)

N2 deg(ΦN,E)

(8)

et est donc proportionnel au degr´e de la param´etrisation modulaire. Par contre, si N =Yaavec 0 <a < 231 alors le deuxi`eme terme de (3.5) est du mˆeme ordre de grandeur que le premier et le terme principal devient

1 +a

2

C(0)TrY32logY.

C’est la principale raison pour laquelle nous avons rendu explicite la d´ependance en le conducteurN de la courbe dans le terme d’erreur. Il serait aussi int´eressant d’´etudier l’influence des valeurs extr´emales deL(E|Q,1) sur la moyenne des hauteurs des traces des points de Heegner. Malheureusement, cela ne semble pas v´erifiable num´eriquement ´etant donn´e le temps de calcul n´ecessaire par les algorithmes `a util- iser.

Le produit EulerienP(s) varie peu. En effet, si l’on effectue un d´eveloppement limit´e du facteur local en le nombre premierpdeP(1), on obtient

Pp(1)=1−a2p−2p

p3 +O 1 p2

,

d’o `u l’existence d’une constante absolueC > 0 ne d´ependant pas de la courbeE consid´er´ee telle que

CY

p∈P

1− 2

p2

<P(1)<CY

p∈P

1 + 2

p2.

Finalement, les termes importants sont le degr´e de la param´etrisation modulaire, la valeur de la fonctionLde la courbe au point critique 1, ainsi que le conducteur qui intervient enγ(4N)/N2. `A conducteur et degr´e fix´es, les petits nombres premiers qui divisent le conducteur ont un rˆole d´ecisif et les hauteurs des traces ont alors ten- dance `a ˆetre plus ou moins grandes suivant queEa r´eductionmultiplicative d´eploy´ee ounon-d´eploy´eeen ces nombres premiers. Cette influence se voit tr`es bien dans le cas des deux courbes de conducteur 26 (de rang analytique 0) dont les param´etrisations modulaires ont mˆeme degr´e 2 alors que les traces sont presque trois fois plus grosses sur la 26B que sur la 26A. Ceci s’explique analytiquement par le fait que 26 est di- visible par 2 et que la 26A a r´eduction multiplicative d´eploy´ee en 2 alors que la 26B a r´eduction multiplicative non-d´eploy´ee. Ceci induit un facteur 3 entre les produits pour les nombres premierspdivisant le conducteur de ces courbes des facteurs Eule- riens de leur fonctionLenp. La figure 2 illustre cette diff´erence de comportement.

On voit ´egalement que la courbe repr´esentant la somme des hauteurs des traces est tr`es proche de la courbe th´eorique mˆeme si elle est relativement irr´eguli`ere. Rap- pelons que 0.0018 et 0.0050 sont les valeurs num´eriques de la constanteC(0)Tr appa- raissant dans le corollaire 3.6 pour les courbes 26A et 26B.

3.3 Courbes de rang analytique1

Lorsque l’on consid`ere une courbe de rang 1, on est amen´e `a estimer la moyenne des valeurs en 1 des fonctionsLtordues et non de leurs d´eriv´ees.

(9)

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000

−10000

−9000

−8000

−7000

−6000

−5000

−4000

−3000

−2000

−1000 0

Disriminant

Pd∈D

|d|6Y

Kd(Trd)

26A

0.0018·Y3/2·logY

26B

0.0050·Y3/2·logY

Figure 2: Hauteur des traces en moyenne sur les courbes 26A et 26B : pratiques et th´eoriques.

Th´eor`eme 3.8 Si E est une courbe elliptique rationnelle de conducteur N sans facteurs carr´es et de rang analytique1et F est une fonction lisse `a support compact dansR+et de moyenne strictement positive, alors

X

dD

L(E|Q×χd,1)F|d| Y

NY+Oε N2314Y1314 pour toutε >0o`uαNest d´efinie en(3.3).

Id´ee de preuve du th´eor`eme 3.8 Il n’est pas difficile d’adapter la d´emonstration de [Iw] `a ce cas. En reprenant les notations de l’article, il suffit de remplacer la fonction V(X) [Iw, p. 369] par la fonctionVe(X)=e−X. On a alors,2

A(X, χd)= 1 2iπ

Z

(s)=3/4

L(E|Q×χd,s+ 1)Γ(s) X

s

ds.

La majorationA(X, χd)≪√

X, qui d´ecoule de l’in´egalit´e de H¨older et d’une esti- mation desan tient toujours, et ainsi les majorations successives effectu´ees dans la d´emonstration ne posent pas de probl`eme. La seule diff´erence notable vient [Iw, p. 374] lors du calcul deB(X). On a alors

Ress=0L(E|Q×χd,s+ 1)Γ(s) X

s

=L(E|Q×χd,1), et il n’apparaˆıt pas de terme en logX.

2`A noter une erreur de frappe dans [Iw], il s’agit bien de` X

´s

et non de son inverse.

(10)

On en d´eduit comme pour le rang 0 le corollaire suivant.

Corollaire 3.9 Si E est une courbe elliptique rationnelle de conducteur N sans facteurs carr´es et de rang analytique1, alors

(3.7) X

d∈D

|d|6Y

bhKd(Trd)=CTr(1)Y3/2+OεL(E|Q,1) ΩE,N

N2314Y2014

pour toutε >0o`u C(1)Tr est la constante d´efinie par C(1)Tr := 2

πcNP(1)L(E|Q,1)L(Sym2E,2) πΩE,N

LE, o`u cNest d´efinie en(3.2), LEen(3.6)etPen(3.4).

Remarque3.10. `A conducteurNfix´e, le terme principal dans (3.7) estC(1)TrY32 avec CTr(1)=

6

π3cE(N)2P(1)Y

pP p|2N

1− 1

p2 1

×L(E|Q,1)LE×γ(4N)

N2 deg(ΦN,E) et est donc proportionnel au degr´e de la param´etrisation modulaire.

Remarque3.11. Il est intuitivement ´etonnant que les traces en moyenne des points de Heegner sur une courbe elliptiqueE soient asymptotiquement plus grosses par un facteur logarithmique si le rang de la courbe elliptique est minimal. Donnons une tentative d’explication de ce ph´enom`ene. SiEest de rang 1, alors Trdappartient

`aE(Q) et il existe un entier naturelℓdappel´emultiplicit´e de Trd satisfaisant Trd = ℓdR+Tdo `uRest un g´en´erateur de la partie libre deE(Q) etTdest un ´el´ement de E(Q)tors. Ainsi,bhKd(Trd)=ℓ2d×2bhQ(R). L’ensemble des hauteurs des traces est donc inclus dans un sous-ensemble discret deRce qui constitue une contrainte forte sur la distribution de la hauteur de ces traces. Notons aussi que le corollaire 3.9 nous informe que la taille moyenne de la multiplicit´eℓdest|d|1/4.

Les deux courbes elliptiques de conducteur 91 ont mˆeme rang 1 et on a repr´esent´e sur la figure 3 les hauteurs des traces Trd sur ces deux courbes ainsi que la courbe th´eorique donn´ee par le corollaire ci-dessus. On constate que les courbes sont beau- coup plus irr´eguli`eres que dans le cas du rang 0 (figure 2) mˆeme si elles suivent la courbe th´eorique de tr`es pr`es. La figure 4 illustre les diff´erences de croissance des hauteurs des traces sur les courbes 37A (rang 1) et 37B (rang 0). On remarque que le comportement est tr`es irr´egulier. Ceci est en partie d ˆu `a la division parY3/2qui rend les irr´egularit´es plus apparentes que dans la figure 2. De plus, pour la courbe 37A de rang 1, il arrive fr´equemment que la trace soit nulle, ce quihhcasse la moyenneii. Il est conjectur´e que la proportion d’annulation deL(E|Q×χd,1) (ce qui correspond aux cas de trace nulle selon la formule de Gross–Zagier et la conjecture de Birch et Swinnerton–Dyer) tend vers 0 lorsque le discriminant tend vers l’infini3mais cela ne se voit pas dans l’´echelle de discriminants ´etudi´ee.

3Le type de sym´etrie de cette famille de fonctionsLest orthogonal impair.

(11)

0 500 1000 1500 2000 2500

−10000

−8000

−6000

−4000

−2000 0

Disriminant

P

|d|6Yd∈D

Kd(Trd)

91A

0.0011·Y3/2

91B

0.0020·Y3/2

Figure 3: Hauteur des traces en moyenne sur les courbes 91A et 91B.

0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06

−20000

−18000

−16000

−14000

−12000

−10000

−8000

−6000

−4000

−2000

Disriminant

1 Y3/2

P

|d|6Yd∈D

ˆhKd(Trd)

37A(×20) 37B

Figure 4: Hauteur des traces en moyenne sur les courbes 37A et 37B.

(12)

4 Estimation asymptotique de la hauteur des points de Heegner

Nous d´emontrons une formule asymptotique pour les hauteurs des points de Heeg- ner Pdsemblable `a celle que nous avons donn´ee pour les traces. SoientEune courbe elliptique d´efinie surQ, de conducteurNetL(E|Q,s) :=P

n>1ann−ssa fonctionL (de rang analytique quelconque). On s’int´eresse `a la valeur moyenne des d´eriv´ees en 1 des s´eries de DirichletLd(E,s) d´efinies par (2.2).

Th´eor`eme 4.1 Si E est une courbe elliptique rationnelle de conducteur N sans facteurs carr´es et de rang analytique quelconque et F est une fonction lisse `a support compact dansR+et de moyenne strictement positive, alors

X

d∈D

Ld(E,1)F|d| Y

=αfNYlogY+βfNY+Error+Oε N154Y1920 ,

o`uError=Oε NY log (NY)12

pour toutε >0et o`u f

αN:=cNeL(1) Z +∞

0

F(t)dt6=0, βfN:=cN

Z + 0

F(t)

eL(1) +eL(1)

log Nt

2

−2γ dt,

o`u la constante cNest d´efinie en(3.2)avec eL(s) :=L(Sym2E,2s)

ζ(N)(2s) Pe(s)× (4

3 si N est impair, 1 sinon,

e

P(s) := Y

p∈P p∤2N

1 +

1 + 1 p

1

(p4s−2−1)1 .

Remarque4.2. `A conducteurNfix´e, il semble que l’on obtienne un d´eveloppement asymptotique du premier moment par rapport `aY `a un seul terme et non `a deux termes comme dans le Th´eor`eme 3.1 de H. Iwaniec. Cependant, les r´esultats num´e- riques d´ecrits dans la derni`ere partie du paragraphe 5 et notre intuition analytique nous permettent de conjecturer queError = o(NY). Pour pouvoir prouver cela, il faudrait notamment ˆetre en mesure de d´eterminer le comportement asymptotique de moyennes de la forme

X

16u6U 16v6V

X

dD

au,vχd(u)rd(v)F|d| Y

pour tous nombres r´eels strictement positifsU,V et toute suite de nombres com- plexes

(au,v)16u6U 16v6V

(13)

(lire ´egalement la discussion autour de l’´equation (5.1)). Les auteurs projettent de s’int´eresser dans un avenir proche `a ce type de moyennes qui sont en r´ealit´e un cas particulier de quantit´es beaucoup plus g´en´erales. En outre, il ne fait aucun doute que la d´ependance enN dansOε N154Y1920

peut ˆetre am´elior´ee en ´etant plus soigneux, mais une croissance au plus polynomiale en le conducteur nous suffit.

Preuve du th´eor`eme 4.1 B. H. Gross et D. Zagier [GrZa,§IV, (0.2)]) ont prouv´e que la s´erie de DirichletLd(E,s) d´efiniea priorisurℜ(s) > 32 admet un prolongement holomorphe `aCet satisfait l’´equation fonctionnelle

s∈C, Λd(E,s)=−χd(N)Λd(E,2−s),

o `uΛd(E,s) :=(N|d|)s((2π)sΓ(s))2Ld(E,s) est la s´erie de Dirichlet compl´et´ee. Re- marquons que commedest un carr´e moduloN, le signe de l’´equation fonctionnelle vaut−1 d’o `uLd(E,1)=0. Ceci va nous permettre d’exprimerLd(E,1) en fonction de deux sommes convergeant exponentiellement vite en suivant une proc´edure an- alytique d´esormais classique (see [IwKo, Th´eor`eme 5.3] pour plus de d´etails). Pour X>0, posons

V(X) := 1 2iπ

Z

(s)=3/4

Γ(s)2X−sds, et

Ad(E,X) := 1 2iπ

Z

ℜ(s)=3/4

Ld(E,s+ 1)Γ(s)2 X2

s

ds.

Le d´eveloppement de Ld(E,s) en s´erie de Dirichlet absolument convergente sur ℜ(s)>32 assure que

Ad(E,X)= X

n=1

anrd(n) n

X

(m,N)=1

χd(m)1 mV

2nm2 X

.

On d´eplace la ligne d’int´egration jusqu’`aℜ(s) = −3/4 croisant un unique pole en s = 0 de r´esidu ´egal `aLd(E,1) puis on revient ens = 3/4 par le changement de variabless7→ −s. L’´equation fonctionnelle entraˆıne alors que

Ld(E,1)=Ad(E,X)+Ad

E,(Nd)2 X

, et en particulier que

Ld(E,1)=2Ad(E,|d|N).

BornonsV(X) pourX >0 de la mani`ere suivante : V(X)= 1

2iπ Z

u=0

eu u

Z

v=0

e−v Z

(3/4)

(uv X)s1

sds

dvdu

≪ Z

0

e(u+X/u)

u du

X1/4exp −2√ X (4.1)

(14)

et en faitXjV(j)(X)≪jX−1/4exp −2√ X

pour tout entier naturelj. Posons

SN(Y) :=X

d∈D

Ld(E,1)F|d| Y

.

Commedest dansD,dest un carr´e modulo 4 et est premier `a 4 doncdest congru `a 1 modulo 4. Ainsi,Od=Z+ 1+2dZet un calcul ´el´ementaire montre que

rd(n)=#

(u,v)∈ N×Z

∪ {0} ×N

, u2+|d|v2=4n .

On observe que sinest un carr´e, alors (2√n,0) est une solution de l’´equation ci- dessus alors qu’il n’existe pas de solutions de la forme (0,∗) ce qui prouve que

rd(n)=1 + #

v∈Z, |d|v2=4n + #

(u,v)∈ N×Z

, u2+|d|v2=4n :=1 +rd(n)

et que

X

dD Y≪|d|≪Y

rd(n)>#{d∈D,Y ≪ |d| ≪Y} ∼Y→+∞CY

pour une constante absolueC>0. Sinn’est pas un carr´e alorsrd(n)=rd(n). Dans chacun des cas, si (u,v) est une solution contribuant `ard(n) pour undinf´erieur `aY dansD, alorsu62√

net `a chaque telucorrespondent au plus deux couples (d,v) (cardest suppos´e sans facteurs carr´es) d’o `u

(4.2) X

dD

|d|≈Y

rd(n)64√ n.

On ´ecrit alors4SN(Y) :=TP1+Err1o `u TP1:=2X

n>1

an2

n2 X

(m,N)=1

1 m

X

dD

χd(m)V4π2n2m2 N|d|

F|d|

Y

et

Err1:=2X

d∈D

X

n>1

anrd(n) n

X

(m,N)=1

1

mχd(m)V4π2nm2 N|d|

F|d|

Y

.

4Au cours de cette preuve,TPid´esignera la quantit´e d’o `u provient la contribution principale etErriun terme d’erreur.

(15)

Estimation du terme d’erreurErr1.

D´ecouponsErr1de la fac¸on suivante : (4.3) Err1=2 X

(m,N)=1

X

16n6NYψ(NY)m2

· · ·+ 2 X

(m,N)=1

X

n>NYψ(NY)m2

· · ·:=Error+Err3

pour toute fonctionψpositive et tendant vers 0 en +∞. Les estimations (4.1) et (4.2) assurent que

Error≪(NY)1/4 X

16m6

NYψ(NY)

1 m3/2

X

16n6NYψ(NY)m2

|an| n54 exp

−4π m

NY

n .

L’in´egalit´e de Cauchy–Schwarz entraˆıne que le carr´e de la somme ennest born´e par X

16n6NYψ(NY)m2

a2n n2

X

16n6NYψ(NY)m2

nexp

−8π m

NY

n .

La premi`ere somme est estim´ee parO log (NYψ(NY))

alors que la deuxi`eme est trivialement inf´erieure `a

Z NYψ(NY)

m2

1

texp

−8π m

NY

t

dtNYψ(NY) m2

3/2

.

Ainsi, on a prouv´e queError≪NY(ψ(NY))3/4 log (NYψ(NY))1/2

. De la mˆeme mani`ere,

Err3 ≪(NY)14X

m>1

1 m3/2

X

n>NYψ(NY)

m2

a2n n2+ε

12 X

n>NYψ(NY)

m2

n12exp

−8π m

NY

n12

pour toutε >0. Une int´egration par parties assure que Err3≪(NY)1+ε(ψ(NY))12exp

−1 2

pψ(NY)

et on choisit alorsψ(x) :=(logx)aavec 2ε <a< 23 de sorte queErr3=o(Error) et queError≪(NY)(log (NY))3a4+12 =o((NY) log (NY)).

Contribution du terme principalTP1

D´eterminons le comportement asymptotique de TP1 en appliquant une m´ethode d´evelopp´ee dans [Iw]:

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