Série 2-2019-2020

Université Mohammed Ben Abdellah Année Universitaire :2019-2020 Faculté des Sciences Dhar-Mehraz

Département de Mathématiques

Séérié dé TD n°2

: Algébré 3 (S2)

SMA-SMI

Exercice 1 : Dans ℝ3 [X] on considère les polynomes :

P1 = X3 + X2 + X + 1 ; P2 = X3 + 2 X2 + 3X + 4 ; P3 = 3 X3 +

X2 +4 X + 2

P4 = 10

X

3 + 4

X

2 + 13X + 7 et Soit E = Vect ( P1 , P2 , P3 , P4 ) 1) Déterminer rg ( P1 , P2 , P3 , P4 )

2) ( P1 , P2 , P3 , P4 ) est – il une base de E

Exercice 2 : Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie , et A et B deux sous espaces

de E de même dimension

Montrer qu’ il existe un supplémentaire C commun à A et à B ( on pourra raisonner par récurrence sur dim E - dim A) Exercice 3

Soit E un K- e – v , E1 et E2 deux s – e – v de E.

soit f l’ application de E1 x E2 vers E définie par f (x1 , x2 ) = x1 + x2

1. Montrer que f est linéaire

2. Montrer que : f est surjective ⇔ E = E1 + E2

3. Montrer que : f est injective ⇔ E1

∩

E2 = { 0 }

4. Montrer que : f est un isomorphisme ⇔ E = E1 ⊕ E2

Exercice 4 Soit l’ application f :

R

3 →

R

3 définie par : f ( x , y , z ) = ( x+y +z , 3x + y + z , y + z )

1. Vérifier que f est linéaire .

2. Déterminer le noyau de f , en donner une base et calculer le rang de f. 3. L’ application f est - elle injective

4. Montrer que Ker ( f ) et Im ( f ) sont supplémentaires dans R3

Exercice 5 Soit E un K- e – v et f : E → K une forme linéaire non identiquement nulle.

On note H = Ker ( f )

2. Soit a ∈ E\ H et F = Vect ( a ) . Montrer F ⊕H = E

Exercice 6 Partie A : Soient E un K – ev , et u , v deux endomorphismes de E

Montrer que : uov = θ ⇒ Im v ( ) ⊂ r ( ) .Ke u

Partie B : Soit f ∈ L ( E ) telle que

f

2 - 5 f + 6 id = θ , et f n’ est pas une homothétie ( c-à- d : ∀ α ∈ K : f ≠ α id )

1. Vérifier que f est un automorphisme de E et exprimer

f

−1 _{à l’ aide de f et de id}

2. Prouver que E = Ker ( f – 3 id ) ⊕ Ker ( f – 2 id ) .

3. Pour n ∈ N , on pose

f

0 = id et

f

n =

f

n−1 o f si n

¿

0 . Montrer que :

∀ n ∈ N , ∃! ( α n , β n ) ∈

K

2 /

f

n = α n

f +

β n id . Déterminer

α

n et

β

n

4. Exprimer

f

n _{en fonction de f et id pour n ∈ Z}

5. En déduire une base et la dimension de Vect ( { fn , n

∈ Z

} ) .

Partie C : ( facultatif) on prend K = ℂ , et soient a ∈C¿ et f ∈ L ( E ) /

f

3 - 3 a

f

2 +

a2

f

=

θ

1. Montrer que E = Ker ( f ) ⊕ Ker (

f

2 _{- 3 a f +}

_a

2 _{id )}

2. Montrer que Im ( f ) = Ker ( _f2 _{- 3 a}

_f

₊

a2

id

) puis déduire que Ker ( f ) et Im ( f ) sont supplémentaires dans E.

Exercice 7 Soient E un K – e -v et u ∈ L ( E )

Partie A :

1. Montrer que : Ker ( u )

⊂

Ker ( u2 ) et Im ( u2 )

⊂

Im ( u ) 2. Montrer que Ker ( u )

¿

Ker (

u

2 ) ⇔ Im ( u ) ∩ Ker ( u ) = { 0E } 3. Montrer que Im ( u2 )

¿

Im ( u ) ⇔ E = Im ( u ) + Ker ( u )

4. En déduire que si E est de dimension finie les trois assertions suivantes sont

équivalentes : Ker ( u2 )

⊂

Ker ( u ) ; Im ( u )

⊂

Im ( u2 ) et E = Im ( u ) ⊕ Ker ( u )

Partie B : On prend u = p un projecteur de E ( p

∈ L

( E ) / p2 _{= p )}

1. Montrer que E = Im ( p ) ⊕ Ker ( p )

2. Déduire que E = Ker ( p – id ) ⊕ Ker ( p ) et que si E est de dim n finie ( n ≠ 0 ) il existe une base B = (ei ) telle que pour tout 1

≤i ≤

n , p (ei ) = 0 ou p (ei ) = ei

3. On suppose qu’ il existe x0 ∈ E / p (x0 ) ≠ x0 . montrer que p n’ est pas inversible 4. Facultatif . Démontrer que pou = uop ⇔ Im ( p ) et Ker (p ) sont stables par u

Exercice 8 Soient E un K – ev de dimension finie n

≥

1 et f

∈ L

( E ) nilpotent d’

( ie : p

∈ N

¿ , fp ₌

_θ

_{et f}p−1

_≠θ

₎

1. Montrer qu’ il existe x0∈ E tel que (

x

0

, f

(

x

0

)

, … , f

p−1

(

x

0

)

¿

soit libre

2. On note r = rg ( f ) .Montrer que p ≤ r+1≤ n

3. En déduire qu’ un endomorphisme f est nilpotent ssi

f

n _{= θ}