Première générale Travaux Dirigés 2 2019-2020

Première générale Travaux Dirigés 2 _2019-2020

Exercice 1⊲

Non corrigé

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Exercice 2⊲

Corrigé en classe

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Exercice 3⊲

f (t) = −30t ² + 1200t + 4000, t en jours.

1. f (15) = −30 × 15 ² + 1200 × 15 + 4000 = 15250 donc 15250 personnes sont touchés par la maladie au bout de 15 jours.

2. 10% × 130000 = 13000. Il s’agit donc de résoudre l’inéquation

f (t) ≥ 13000 ⇔ −30t ² + 1200t + 4000 ≥ 13000 ⇔ −30t ² + 1200t − 9000 ≥ 0

On applique la méthode vue en classe utilisant le discriminant : ∆ = 360000 et x ₁ = 10 et x ₂ = 30. On a donc le tableau de signes suivant puis que a = −30 et a < 0 :

t

Signe de −30t ² + 1200t + 4000

0 10 30 +∞

− 0 + 0 −

Pour t dans l’intervalle [10; 30] (entre 10 et 30 jours), −30t ² + 1200t − 9000 ≥ 0 donc la réponse attendue est : « Les crêches seront fermées entre le dixième jour et le trentième jour ».

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Exercice 4⊲

f (x) = −0, 2x ² + 0, 8x+ 15, 4, x ≥ 0. (f (x) hauteur en mètres du plongeur par rapport au niveau de la mer ; x distance horizontale parcourue)

1. La hauteur de la falaise est donnée par f (0) : f (0) = 15, 4 soit 15,4 mètres.

2. Pour cette question, on cherche le nombre x pour lequel f (x) = 0.

La méthode est celle du discriminant : on trouve ∆ = 12, 96, x ₁ = −7 et x ₂ = 11.

Ainsi le plongeur entrera dans l’eau à 11 mètres du pied de la falaise.

f (x)

x plouf!

bc bc

11 15, 4

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Exercice 5⊲

x nombre de dizaines de pièces fabriquées dans une journée. x ∈ [4; 10] donc l’entreprise fabrique entre .... pièces et ... pièces.

C(x) = x ² − 8x + 18, coût en euros.

1.(a) Le coût pour 50 pièces est donné par C(5) = 5 ² − 8 × 5 + 18 = 3 soit 3 euros.

(b) R(x) = 3x : Le prix de vente unitaire est 0,3 e donc la dizaine vaut 10 × 0, 3 = 3 e , et x dizaines rapportent 3x e .

2.(a) Pour x ∈ [4; 10], B(x) = R(x)−C(x) = 3x−(x ² −8x+18) = 3x−x ² +8x−18 = −x ² +11x−18 (b) Réaliser un bénéfice se traduit par . . . :

−x ² + 11x − 18 ≥ 0 : ∆ = 49, x ₁ = 9 et x ₂ = 2 et le tableau de signes qui s’en suit puisque a = −1 et a < 0

x

Signe de −x ² + 11x − 18

0 2 9 +∞

− 0 + 0 −

L’entreprise réalise un bénéfice si elle produit entre 40 (elle en produit au moins 4) et 90 pièces.

3. Tableau de variations de la fonction bénéfice B : On cherche les coordonnées du sommet de C B

ou on utilise la forme canonique.

Pour tout x ∈ [4; 10], −x ² + 11x − 18 = −(x − 5, 5) ² + 12, 25, x

Variations de B

4 5.5 +∞

10 10

12.25 12.25

(a) En utilisant le tableau de variations, le nombres de dizaines de pièces à fabriquer pour obtenir un bénéfice maximal est 5,5 soit 55 pièces.

(b) Le bénéfice maximal réalisé est alors 12,25 e .

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Exercice 6⊲

1. Expression de f (x) : Renseignements glanés sur le graphique, f (−1) = −1, f (−4) = 0, a < 0 et (−4; 0) est le sommet de la parabole C f .

On peut onc écrire en utilisant la forme canonique :f (x) = a(x − (−4)) ² + 0 = a(x + 4) ² et comme f (−1) = −1 ⇔ a(−1 + 4) ² = −1 ⇔ a = − 1

9 . Finalement, f (x) = − 1

9 (x + 4) ² = − 1 9 x ² − 8

9 x − 16 9

2. Expression de g(x) : Renseignements glanés sur le graphique, g(−4) = 0, g(0) = 0, g(−1) = −1 et a > 0.

On peut onc écrire en utilisant la forme factorisée de g :f (x) = a(x − (−4))(x − 0) = a(x + 4)x et comme g(−1) = −1 ⇔ a(−1 + 4) × (−1) = −1 ⇔ a = 1

3 . Finalement, g(x) = 1

3 x(x + 4) = 1 3 x ² + 4

3 x

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