Solution élémentaire d'un opérateur différentiel

(1)

Scientifique

universitd

₈

_Mai

_rg4s

_Guelma

_Facurt;d

cres

Mathd'matiques et de l'Irrformatiqu:e et des

Slciences

de la

Matidre

_{D6partement de}

_{N{athdrnLartiques}

_i

Pr6sent6 en vue

ffiffi"n

_dtu

_diptonne

_de

Master Acad6migue en

Mathr6matic;rues

Option

:

Math6martiques

_apptiquries

Par:

M"rr"

ABDrroUl

lmane

Intitul6

piriqe

_eqr

_{: Dr}

_HA|MLAOUI

_t\.Hamicl

PRESID]ENT

RAPPOIiTTETI

,EXAMII\{ATI|]

Devant

le

jury

Dr.

_{BADRAOUT Satah}

Dr.

HAMLAOUI

A,.Hamid

Dr. DEBOUCH

Amrar

Proll

MC,{

MCA.

Uni'v-Guelma

Univ-Guelma

Univ'-Guelma

(2)

Je

p16:,;id

Remerciement

tout d'abortd

i

remercierALLAH qui m'a donrr6 le courager, la sant6, et la volont6 pour rdaliger ce modeste travail tout au long de mes ann6es d'6tudes.

LAOUI A.lilamid, que je remercie de m'avoir inspir6 lc' cftoix de ce sujet, pour son

ement et ppur ses pr6cieux et judicieux conseils qu'il n'ia cess;6 de me prodiguer

tout au long de ce tra'vail.

honor6 que Prof BEDARAOUI Salah, ait accept6 de rarpporter mon travail et de

n jury de M6moire, je le remercie pour ses conseils et ses pr6cieuses remarque. mercie Dr DEBOUCH Amar d'avoir acceptd d'elxaminer nrc,n tTavail, je suis tres

heureux de le voir participer a mon jury.

ments vont 6galement a torus mes enseignants det I'univr:rsit6 de Guelma qui

m'ont aide pendant mes ann6es d'6tud,e.

tous qeux qui ont particip6 de loin ou det prds

i

la r(ralis;ation de ce travail.

(3)

ehAYl

₉

:--Jl

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_-'Le

r-,eJAl

I

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I

p

:l:c;-9l;:sl

UdSl...gL^*rll

diE,j,...cr;Yl

iS)l.o

,=jtj,ii

(4)

der$

matidres

torique

Th

1"

Inl;

1.1 3 3 .1 .2 .3 8 8

I

10 .1 .2 .3 12

t2

L2 13 14 15 15 L7 19

t9

19 2T 22 23 23 27 27

de

tla{e

fondhnientaux Espa(e

C'(0),

r

:

0, 1, ..., oo Espage

D'(CI)

Espa{es des fonctions Lebesgue-int6grables

tC de

₄₍₀₎

dans les espaces fonda.rnentanx

Co:rvdlution des

fonctiors

R6guJarisation....

Tbon{ature

de

_['unit6

butiorfs

ion et propriet6s Ol6mentaires .

1.1

Exer$pies de

distributions

1.2 Lirnite

de

distribution

1.3

Restdiction

et support

des

distributions

ivationL dbs

distributions

2.L

Distrfbution

r6gulidre

2.2

SuiteF

et

s6ries de distri'butions

2.3 Disrtflbution

a suPPort born6

D€finition

(5)

'LN

.D 27

:i3

4to ,t0 *0r {5 45; 5.2

.'t

Convolution

,der solurti.on

forrdamentale

ion de Lapkrce

.1

Solution fondarnentale d.e

la

chaleur

(6)

(l

Int

duction

l){otre pre,rnidre dans ce m6moitr:,

€tait

d'6ctlaircir les liens entre des obiets

mat;hil

rnatiqu,ers

_{, sitrilaires, d}

_{savair les}_{foncl;ioru de}

_(]reen

_{(Green puirs}_Riemann),

les sohrrtbi _{6l6rnentaires des}_op6rateurs

_{(Hadarnarrl),}

_et

_les_{so.lutions fondanrrentales}

dr;s

iels

(Schwartz).

La

taciie

parfit vite sortir du

cadle d'rur

m6moire c[e Iv4a^ster Ies prdlinrinaires semblent interminables, et, nous nous sommes conte.nt6s cl'u,n

blef

ra

historique,

de

l'introduction

des ingr6dients essentiiels

d

ra

cc,mprrSherxion du

d6linition finale

adrnise de

la

soluticn

fon<lamentelk:

cl'rrr

op6rateur,

et

de son

sujet,

ck:

a4rplicatbi

dtx

_exemples_de_{probldrnes relevant; des 6quietionis}

_aux

_d6.riv6es_partiellt,s

cknsiq plus usit6es.

11,,1

torirque

L,er, th6crn:i

distributions a

prouv6,

aujould'hui,

son imp6r'ieuser n6cessit6, clans 1'6t1de

aux

d6riv6es

partieiles.

En

1975,

R

-8.

Browcls:

_{alffirma: 'En}

consid.6r:mt

des 6qu

ies appli de I'analyse fonctionnelle dans les 6quations

au;

d€riv6es p,artie,lles

et

cleu:s

I'a,nalys,e _ier,_la_th6orie_des

_{distributions}

_{s'avdre comme le t;oru:nant le plus}

_important,.

Les

pour le

d6veloppement

de cette th6orie,

A

savcir,

le,

calcul

op6rationnel de

d6riv&ls gdndralis6es

et

les srolutions g6n6ralis6es des iiquatiorLs dilf6rentiellesr, Iller,avisi<le

les trans de

]lorlrier

g6n6ralis6es,

_la

rffonctionlrdelta de

_{f)irac, et}

_d'autres

_foncticns

ient cl'utilisation

fr6quente,

jusqu'en

1950, qua,ncl l.e p'remie,r xnonographe sun

distribtitions

fut

publi6 par

L.

Schwart:2. Depuis Lors, les math6maticiens e;h

s'attel)rer*

A,

utiiiser

les

dir;tributions

_{{lou fonctjlons}_{1g6.n6rali.s6es)} _clans_le.turs lar

les

(7)

les protilAmes des math6,rna,tiques appliquOes

et

d,a lau physiqne thL6orique.

te

hist;orique, J.e dGveloppement de l'arralyse fonicl;ior:melle cr:rntm(lnga avec ,a

t,}L6orie 6g:alm.

<le fonr:

ique

(i.,e.,

non-distributionnelle)

du

calcul variationncl

et

der; 6qrrations

intl!

(190(i), d6veloppa

la

th6orie des espaces foncticnnels abstreuits el;

du

concept

,

qui

est

une

fonction

A, 'valeu's r6e.1J.es, d6finie

sul'

un

€spr616s de fonctiorrs

(1'enserrr des fonctions admissibles).

Il

s'attendait,

A,I'aide <1u. r:alcul variiationnel, d

trou-ition

de la diff6rentielle d'une fonctiorurelle (qui es1; tuLe int6grale variationnelle), e eus$€) un extr6mum erl un

point

critique. Hilbert

(1912), motiv6 F,ar la th6r:rie

cle Fleclholm,

trouva

une &privalence entre les 6qrrer,ti.ons int,6rgrak:s et les sys-d'6cluations alg6briques d, u:re

ir:finit6

d'inconnuex.

Sa rccherche Ie rnena rrers de carr,3 int6grable, et les suites au carr6 sommabJe, <1ui leur so,:nt atisoci6*s. Lrls espacest

bert

el;ia th6orie des

6quatio

s int6grales devinrent sipprificatils da:rs les a,nn6,es

d.eveloppe,ment de

la

m6can.iqrre quanti,clue, quarrd

von

Neurr:Larrn (1927) 6tata

axiomatique des espaces de

llilbert

s6pa::ables. Ses recherthesr

furent

pr6c6cl6,r:s

p{}l UII{} axiornatique, des €spa,c€$

I?

deBanach dans les 6<1uatio.rui intOgrales, due d r/(lr un€l de sortr: <lr;s 1;trrnes i les fon<: :1.920, JRiesz ( t:r 932), rrr.aine, lfuirent lFIilbert, tionnel te,rfd rebstrait

L'un

<les plus grands compl6ments e ce

travail,

firt; .[a

publication, per

Banar:h

th6orie des espaces lin6aires. Cependanr[, la pluprart des rech€:rchesi dans ce dr>

, pl.us

tard,

dans les arur,6es 1960, lor:sque les r6sul1;ats, les phrs int6ressanbs

dans

la

th6orie des espaces norrn6s.

La

th6orie, iles op6raterurs funt6graux, tle

sur bs travaux

de

Murry

(.1935)

et

de

von

Neurn.arur (1935), ent;raina, alols, l.e d6ve cle

la

th6onie des op6ra1;euls.

En ll. Sobolev, dans ses recherches sur'les .E.D.P, comnrenqa l'utiLlisation des

fcrnc-fonctions g6n6ralis6es. -L'absence

d'un

fondement rigoureux de

la

foncl;ion

rl:ita

cik:

ac,

et

une

incompr6hension

de

la th6olie

des espurceri

duals,

fut

cause

de

re-ddvelcppernent de

la

th6orier des fonctio,ns g6n6ra,1is,3es. Cependa,rLt,

ia

th6orie

la dualit6 des espaces n'est pas, d elle seule, A I'origi:re de la th€orie des

distri.bn-rbions de:

.

I-,'espace

Cf,

ainsi que I'a,nalyse frrnctiomrelk; arranc6e,

fulent

6galem,ertt,

tlr6orie abstraite

des op6reiteurs, appli.qu6e

aux

cpr6::ate.urs r:liff6r:entiels? cotl-:nut des

isatigns. En

1927

et

1930, von Neumann ddvekippa

la

th6orie des op6rateurs .nr0II da.ns les espaces de

Hilbert,

et

prouva

le

th6ordmr: spectral

pour

le,s op6rateurs iar:to-ar:1j Fliedrich.s (1934), trourra une m6thode

pour'6tendle

un opd:rateur syrn6triqre

(8)

, et; consbmisit l'e.xtension aut,c-adjointe d,e cet op6r'a1;eu:: (trliedr:ichs, L939). Phrs

l;arrd, en,

_,

il

prouva l'6quivalence entre les exten:sions faib,le

et

forte,

d.e

tout

op6rat;eur

rilff

u

ler

cx'dre, A coefficients de classe C1.

f,es

th€oriers

cle

Sobolev

(

fonctions

)

et

Schwartz

(distributions)

sont

lles

foncleinrents

de

tra

th6orie

mrocl-diffdrentiels.

Bim

que SoboJ"ev

et

Schnrart:z aient ,(:tend.u _leconc:ept

elrte

<le foncr

et

certaines op6rations classiques sru les jfonctionrs d

un

domaine plus 1arge, rafm le probliirne de Cauchy, les aubres math6maticiensr rntilis,brent di'rerses g6n6ralis,a-tirons des fonctionnelles lin6aires continues sur

lln

icertain espace fonctionnel, Il:s op6ratt

rn:nta

:r.1)82).

ioints, et la convergence dans cet espace de foncl;i,crLs. 'On

dit

quettlJobolev

irr-,

dams sie trTh6orie des

Distributions

(19150), cl6finit uuLe

solution

fondarnerrllale (l"un

cliff(rentiel

Jl,

relative

d un point

_{,

comme, rurt;

distribu.tion

ut

telle

qrre

)|,(dt)

=,= masse

unit6

au

point

{.

Si

tr"

est

l'arljoi:rt

de I'op6rateur

tr,

aJ.ors l:r solutior:L <le

I'ilquatii

-(u)

:

_{g) ,}pour

toute

g

e D,

est donnde

par

u({)

== uii(rp). Si

l,

est

ii

coefficienbs

consta,n

tr,''

:

t4li

solutio:r fondaurentale relati'i'e A

_{

peut 6tre d6durite dle la solutiLon fondamentale

tive d I'origine, par une simple

translation,

La

th(krr:iel rnoderr:re ders

solutiorm

d6pend essentiellement

de

la

distribution

r5.

(]n

se rlerma,nde c;ornn:ent le fonctions de Green,

introcluit

il

y

a

longtemps, err .[828, peur George Gree:n, dr:r

dirts

son scr'lutio:ns I'onction

t\.*u(n,ti

I'(quad.r

et

coilsb ) ltvec

butbions,

mais

Schwarl;z

cr€a la th6orie

deri

djistribul;ionsi" (Liitzerr,

des probldnles

aux limites en

6lectr:ostatique, cle'irint sigpificertif

pour ltx

,{)

e

Cl3(ft\{{})

,

d6finiepar:

u(r,€)

:

_Fh*,7(r,),

ot1€

ff(CI)

, v6rifia,rrt

0

,

pour'tr €

fr\

{{}.

n

d6finib donc, sans

la

nomrmrer:, Ia fonc{;ion de Green

porr

Laplac,e, au

facteur

_*

pter.

C'est

Riernann

(1.ti513159)

qui

lr-ri donna le nrrnr,

t

la

forrction de Green du prc'bldme hyperboiique tr1iu)

:

u.w -- m(u,*

*

ur)

.:

6

initiales de

n, et

_ff

sur AQ.

Il

prouva que:

.

Quand les solut.ions fondarnLentales s,rn.t s,ltunisesi d de,s conditiorm

aru

lirril. elles sont, souvent, appel6es fionctions de Green, bien que la disl;inction entre })s

{lt)ux, 1,'i

'un auteul

d

I'autre.En

s'int,3ressant au

potentiel

dl.ectrique "[/ dans une r6gion

{1 ,

t

confront6 d

l'6quation

AV

-

0 dans f,) , avec des rlor:m6es su:r Of,),

Il

trouvrela

f[r.'r:

--

'uL*(;))df,

-

--

[unlo(*

-

m,u)rtr

+

u(H

+

n'Ir,,)dti

(9)

p()ur

A

zurr6e 1€r, cl(ifiniti rrot.ion (:lrsrnen ( 1 e32)

I,l'(r,

{,f sicrlutioi:r hl.per Itie:marr:n lbrrne u*(r,, oti U''

{r'

-- 6or, I)anrs

sol

Ie

cas sicr,it, le < lecherc

i'6qua,tion des ondes dans j?2

et

.R3.

d€finition

dtune solution fiondamentale ntest

alpp:rrue

avant :t918.

Cette

introduisit,

dans

stn liwe, trois

objett;

inrpo'rtarts, rlui

sont:

(L)

la

'un

proh,l0me

bien pos6;

(2)

La dEfiniti(n

d'une

solrntion 6l:nnentaire;

(3)

['a

fitrie

d'ture int6grale divergente.

Pal

exem.p'le, e.n d€fi:rirssant

la

solutic,n de 1'6quation

elliptique

Au

1-

A(r,y)u*-F

B(r,y)uo

-l'C(r,U)'tr':0,

Hadamard

comrno solution 6lementaire, la fonction de _{Green: tl*(ir, €)}

:

l'"I(r.{i)

log

_i;i*i

+

U

et,

W

sont

des fonction-s

r6gulidres.

Un

autre

€ixeruple est' son choix der Ja

ire U

log[(r

_-

€o)(fy

-

r/0)]

*

]F

,ot s

,:

(r,

'y) et ,f

:

({o, r7,r'), pour

l'6quaticn

:

.L(u)

_-

Irau

*

Au*

-f BW

* Cu:

0 .

I)ans les cleux cas, U' est

la

fonction

c[e I'op6ra1;eul

adjoint,

i.e:

U

v€rifie

L-(U),:

0 .

Cr: qrri

Atabiit

une

relation

entl:e de Gre,:n

et

rie Riema,nn.

En

consid6ranLt

l'6quation

g,3n6rale ,lans

.B"

_,d6fiLntie

\' 1.. 6'u

-r.

\-

Bu#

+

,Cu

:

_f

_,

il

trouva

lzl r;c,ltLtion dlemenrbaire sorxl ,Ja

ift1

""'Ar"A*o

'

_n?,

I

u(1'5L"

_po*

_n

imrpaire

)

T(,'t)-T

\

-.,

| +{%-

-

}'logf

(",

€) p'our rz paire

\

f(c,t;)-z-sont deri fonctions holomorph,es, ii valeur <1orur6e en

_{

, et

f

(r,

till

: l(r,

U, €0, t?o) '= rla)

:0

_{, est}

I'dquation du

cone caract6ristique nonla1,, A sornrnet au

point

_{.

, ce;tte solution se

r6duit

,4,

_i;h

+

_r"(r)

,

ot

? e Ctili0)

(vue p.Lus

haut).

Il

es&,

,

prouv€

que a*(r,

_f)

_,

d6finie

plus haut,

est

la

formra

g6nr6rale de, ila

de

l'6quation

rdu

second

ordre

elllillt;irtrue. Cepenrdant,

darus

la solution

€lemientaire

u*1,n,{)

ntest pas une solul;ion

fonrda-elle ne

v6rilie

pas

.L(z*')

:

_{d ,}

pour

une diistbributiort'dr*.

tQuoiqu'il en de solution 6lementaire d'.Hadarnard, a 6t6 un r:6el p'rogrds '1i;',ers le traitem.erit

distribut

el des op6rateru:s.

d, ou fonction

de

Dirac,

est Ie

prinr:ipal

ob.le:t r6r'6lateur de I'incoh6renr:e des t.ravaux scientifiques de

l'6poque.

Sa d6finit;ic,n. comme rfilasse) ou cha:rge,

ltr.tnctu,e

6t6

utilisAe dans

tous

ces

travaux,

sans

rigur:ur :m.ath6rnatique.

pt15

srr3s

rn6ca,lLique quarrtique, concr:mant une anaiogie tnbr:e les varii:r,blet O't.t61es

l*

(1926),

la ddfinit

cornme

6tant

une:fonction (,irnpropre)

vilrifiant:

d(r)

_'=3

,

*t

_.f A{,"

}

d,r

:

1 ,

aver une

multitude

cl,a p,r,opri6t6s ii.nclururt

d

et

ses

e:

I

(10)

cl6rivfus,

side

(11 tr.:1

En

,a1;

_J

At -oo Dirac]. F

I

f

(*]

E(,

-

()

rc* -oo

-

/({)

,

*

_{_i.f1'}}

6'(*

-

€)

d*

-

-/'({;)

.

Si<m

ubi

,

dans lres

travaux

de

Maxwell

sru

las

mutip0leri

l:,Mi:M#68;-d

6tant

la

distri-tnrtion

electriques

du

multitrrole,

ori

M,i, est

la

,charge,

de

la

particule

i

et lii

tttr""

drD d.e cette

particule),

de

Fourier

qui

n€r:esr;ite, entre autr€r, loexistence

<le

limites,

_'P+&*!corrrme

ti* *99 :

r6tr

- {)

(""

nobatio:n moderne), de

HearrSr-,

qui

obtielt,

pax exemple,

le

potentiel 6lectriQlt)

,0rl

un point

fi

,

d

l'insta.rrt

1;

,dfiri

oo

,f

f,

_sin

charge plac6e

au point

€

d'rrn

cable de longuetu

l' ,

comrne:

d(r

-

€)

:

sin';"{;

, e.t d.'autres expressions

incluant jusqu'd la

tlansforrrr6e de Fourier'

,

la

forrction d.elta a connu, avant 1-945, quatre dr3finitions, a, savoiir:

(t

'lt(

:-*H(r),

[Heavyside];

(ii)

5(r): jgg/,,,ru

5

==

Ef*

po'ur

certaiines

;ti

oo

,fForuier,Kirchhoff, Heaviside,Jordan

et

Paulil;

(iii)

5(r)

: 0

pour n

_'*

O

:

1 _lDirac,

Heavisidel;

(iv)

f tb)

d("

- il d*:

/(€)

fFourie:r, Heavisid,e, d6fin.itions

ont trouve

f":f;ncation

dans

la

ttLfui:ie d.es d-istrilcutions.

(11)

Co

2.1 Lemrrre

ment

(,t

En On :2.1..1

si

el

si

el

Ai

==

itrr:

2 pts

de

base

pac€|s

fondarnentamx

L

(pr€,lhni,naire) Soi,t

{l

un otwert

nort, vide dans

W,

attnrs 'il er;iste

un

recowne-de

dl _{lsar des ouuerts relat'iuernents compacts}tels qu,e

Di

C

ai+{@o:0}.

, alors

uj: Bj:

{r

€

iR"l

_l"l

<

j},

j

e

I$*.

,

on pclse

Ai: {r

_e

{l:

d,(r.

("))

>

_*,

j

e

N"}

alors

t4i C

Aiyl

_,<tt

0f

,

+*11

est ouvert dans {-1.

donc:

w

j :

Aj

n

83,

i

€ N*,

alors _{c..'3}v6rifie

,car .43 C

f).

, car .4r.

et

By

le sont.

pact, car

Ai

C

At n

-B3 fermti dans .B3

qui

est comlpact. 3'.r1

,

calr

Ai

C

A5

n

Bi

C

Ai+t) Bi4t:

ui+t.

l UJji

.

al

o d)r'

tfrj

rf,)=-

ttJi

_,

_{ca',l: .-U-.ari}

:

_lim

(A1

n

B;i):

lim

Ai

r'l

lirl

Bi

="

{l fl

lR"

:

Q.

JeN J*oo 1+@ J+6

C'(0),

r

:

0,

1,

...,

N

On que,

C'(f,I)

est

l'ensemble des

fonctions

/ : fl -r

C,

.f

de

classe

Cr.

(12)

lD"

f

(r)l

ori

rn

(

r

et

K

est

url

compact cle O.

Don.c, convergerrce da,ns

C({l)

se d6.fi:rit

par:

une

suite

(/,)r

c

C'(n)

converge ri/ers rl]te

_f

e

C''{Q}

ssi: Vor

€

N', l"l

S

r

,et

pour tout

c'mps61

.K

de

fl,

la

srnite

I.D" 7"1 vers

DoJ,

uniform6ment;

sur

K.

2.2 {YtA)

est

un

espaee de. Fr1chet.

(ud':

e.u.t, Iocalement conuere, s€po,r4, d base dEnombrable d,e,. ao'is,inages, et comptet).

il

suffi.t de

montrer

que C'(CIt) aclmet une

farniile

drinombrable de semi-nonne"s

il

est complet.

'j

_:

₆

_j

_orl_les

crr3 sont d6finies dan*s le

lemme.

Alo:rs

_irk;,-][ff

est une famirte de serni-nonnes corrtinues sur

C"(f,})

puisque:

VK

de

0, ljo

e

N

tel

que JT

c

Kio,

d'ori

Px,,",(.f)

1 Px,on,(f)

_,et,

d'aurtre

mt

identiquer

_{A {P3}}

or) prart _{J:l

_I

_C

_{Px,^}.

Remarquons

qlre

sur

C*(Q),

_{Pxo,-}

PiU)

=

_lD"f

(")1.

Mon que

C"liQ)

est complet.

Soit

r

Vrt,rrn;,

;

(f")

suite de Cauchy dans

r3(fl),

cdd,

VK

compract de CI, Ve

>

0,1n6 tel

que est

Px{f"

-'

f*)

:

su!

_lf"(*)

_-

_}'*,(r)l

<

e _;donc

(/"(,r))

est de Cauchy dans

C

,qui

t€I{

d'ori 33r(r)

:

_)ryf"p),

Vr € I{,

ce

qui

d6finit;

la

fo:nction

/

sur

K ,

et

la

d.

fn

ve,rs

jf

est uniforme

sur

K,

cdd

_/,"

--+

_/

_diurs_C(O).

sup

_l/(r)l

engendre la topologie de la convergence r:onrpacte sur

C(fl)

: classiqrre!) K

K

la

corlergence uniforme sur

K

entraine que

Vi.

e:!"

=

PL.

Ct:ti dzi

;

(f")

suite

de Cauchy dans

C'(f,))

signifie que pc,ur

tout

rr fix6,

_lcl

(

r,

l;a est de Cauchy da,ns

C(fl),

donc

Dofn

'l*f-

dzurs

O(fl).

: f

,,

et

urontrons

que.f"

:

D"f

_,

par

r6clre1ce,

sur

_lrrl.

f^- f

darrs C(CI),

donc

_fa:

Dof

:

_f

.

que

pom

_l*1

: *<

r,

on

ait

_/"

:

Do

_f.

P,(f)

_-

sup

sup lal<mn eK

En

con

(P*(,f)

On sai

Soit r

sui.te

(I)"

Poso:ns

lal

:o

(13)

alors

f*:

_fr;(Df)

-

_h,(f"):

**n"f

:

Do'f

:,/,,',donc,va,

lal

llr,

D"frr--+

.D*f

f,)), ce,qui

signilie

_eue

_fn

+ /

dans C"(CI).

"2.1.2

:D6flni

Sir

bests.

dans C]').),.

On que

supp/

:

_{r

€

f}:

_/{r)

_+A}.

Mruri

la

norrrre

et du produit

des

fonctions,

et

de

la

multipiicatior:.

par un

scala,ir:e,

D'(rt)

alg6bre

(topp,f

'!

Csupp/

n

supp

g);

c'est auss.i

un

mqrdule

unitaire

sur

.l',annecrr,u

c,"(a).

,

,*(lfr)

se

note

t(fr)

et

s'appelle espace des fortctions d'essai,

ou

fonctjions

D'(C))

2.I

On, note

D'({7)

I'ensemble des _{foncti,ons de}clo$se

C'(A)

tt, support compa:,ct

1.

(Eremple

type) /,rl,,)

: { fr

lol>r

l. ce i-lcl- pour lnl<1

oti

_lrl

:

_Jd

+...

+

r':f; et

_I

T:t"F

_dr

l'€,lCment standard de

D(IR")

,anr elle u1ri,f'e:

_f

1

€

D(SL"),

0t{*)

2 0,

Vr

€

W,

supp

01:

B(0,

l.)

et

"l

0{r)ttr:7.

$|.4

O, on a!,6finit

0"(n):

_*et(:),

alors

0, €

,(R'),

9"

)

0,

6(0,

e) et

_[o"{u)ar

: t

]Rfl

Poztr sup)l?

de

D'(10)

Soit

K"

pact

de

{t

et

Di*:

{f

e

C'(fl)

:

supp/

C

K},

eilors

D'(fl):

llnD|(0)

,:ri '6tend 5, tous les compacts der CI.

hl

Dkil

munjL

naturellernent de

ler,

topologie

induite

pa:r cr;lle

de

C'(fi|), cdd:

une

suite

(l

C

D}(f))

converge

vers

/

,lans

Dfr(O) ssi: Vo,.

_l*l

<

",

(D"

f

,,)

converge

v'ers D'o unifonnriment

sur K.

2.9 D'k({l)

est

un

esI}ace

'Ce Fr€.chet.

(14)

fcK.

.Rema

2.!

Er'v pr"en'ant K.i

:6j

_,oil'

les

ui

sont d6fi'ni's ala"ns l'e lemm'e' on' a:

.

D't

:

_-u

tl(-(f))

)

c

Dftr*,(ft)

Enr

rtrue D'[g

.Dk

En

d.e

fl,

,"(cr)

restrit.

ll

u

vri

0 danr,l

y-r11r)

,D'(f,r,), IN

(ii)

En suite

ryo(fl)

c

c''(CI) et

c'(ft)

est

un

espace de Frachert. 11

sufit

donc dLe remaxctuer

est fenn6

dans

c'(f,I)

,car

si

f

est

limite

d.'uTle

suite

(/,,,)

c

Dir(fl),

on

a

, une

suite

(f*)

c D'(t})

converge vers

/

clans

D"(f,}),

ssi,

:l fil

com;pa'ct

dans

D[(ft).

(/r,*) converge vers

_/

des

_{Epplications linEaires}

sur

D'(fl)

2,4

,Joit

X

un

espCI,ce aectori,el topologique(e.a.t,,1, Iocalement conuete,

elilll

:

x

une

appli,cati,an

li,neni,re.

Alors,

T

est continue

stti, v

K

compact de

d|,

Ia

de

T

d,,D[(f])

est conti,nue.

?

cont.inue.

nces:

(i)

La topologie de

O'i(0)

ne d6pend pas de ku suite de ctimpacts

_{(K3), .l}

€ ogierde

.D'(f))

est plus fine que celle

induite

par

C"(f,t)'

:

(i)

Soit

r

la

topologie d6furie pa,r

(Kr)

et

r'

!a, topologie d6finie .par une au'tre

pacts

({)

te}s que

X,

C:

Kr4

et

f} c

_-U

-fir, Alors I'injection

canorri<1ue

t

Ia, d,e

Di,

(fl)

esf

id"entr,qae d, celle i'nd,ui'te

par

L)ia",rr({l)'

En

uencei

la

topologie naturelle de

D'(Q)

est la lin:iI;e incluctive

stricte

des

top'olo

gies dtr

_,(fl),

et

c'est

Ia

seule

qui

enL

fait

urr

espace

de Ifo'5chet'

Rappelons que pour

cette

ie,(I

est

un

voisinage de {} dans

r'([]),

ssi

u

n

tlj(Q)

voisinage de

0

dans

D?j(f,lr),

j€N'

En

soit

I/

un voisinage de 0 da,rLs

X,

aiors

?-1(V)

vcrisina,ge de 0 da,ns

D'(0),

rJc'nc

de

0

dans

D'(fl)

telque

LL

c

T-I{V),

or

Vj,

'ttri':

11n

Dki(f,I)

voisinag,e de

(fl),

d'c,ri

rlj

c

T-r(V)

n

Dk,!ft)

:

f;LV)

ori 7r1

='Tln;r.(n)

=*

4

co:ntinuer, 'Vj'

lnv _,

soit

V

u1voisinage

d.e {} dans

X

qtti

est lo<xulerme'nt

corlexe,

alors on peut

corlvexe. On a

f;t(V)

voisinage

de

0 dansl)ir,

(fl),

V7

e

N,

_'tt

T;r(\') :

(15)

i,

:

(D''{

r)

*

(,D'(fl),

r')

est

contimre

car

v

K

compact die

0,

si

v

est rrn

voisinage

r:l:

0

(fl),"'), y

n J)i.(0)

est

trn

voisinage

de 0 pour

r'

et'-I(V

r'l

I)k(O)'t

-v

n Di;,,(( est un voisinage de 0

pour

r

car sur

Dk({l),les

deml to,pologies sonrb confondlues (les voJ.si de 0 sont dGfinis

par

les boules

{f

I

P,(f)

.:

t}).

(A)

* r/(fl)

continue <+

V

.K

compart

de

f,),

I

:

I'fr(O)

-*

C'(fr)

continue'; ce

,qrri est car la topologie de

Dio(Q)

est

cele induite

par: .la topologie rle

C"(()).

des

fonctions

Lebmgue-int6grabl:s

iSoit

p

,2 p

*

rc.

(-)n d6furit l'espace Cp(:ft)

:

{/

rnesurable srur'

{}

:

f

_lf

(r)le

dr

l

oo} muni

c,

,de

_la

1vo(/)

:ff1/(")loarli

CJ

sip

, On d6i&nit l'espace

C*(Cl)

cornme 6tant I'esembk: des fonctiorrs esr;entiellement

f,|.

On

dit

que

_{/ ' ft}

--+

_C

est

essentiellement

bom€e

sur

0 si

_=l

M

>

0t 1;el

(ii)

;

: born6e,s que

_l/(

inf{M

L'i

2.2 2.2.L

Soient

/

f*g(

I

M,

pp sul

f).

.C""(CI) est

nruni

dela

semi-nonrie:

li*(/):

"ti.3,tol/(r)l

:

,

_l/(r)l

:3

M

pp

sur

{t}

tria,n1rylaire

polu

les

semi-normes

I{p, 1

<

_.P

i!

oo,

s'appelle

in6galitd

de Le norn,bre q

v6rifiant

_i

*

_i

_'=

1 est

clit

conjugu6 htr'rtnLonique <le

p'

de Htrlder

s'6crit:

ffl(/'g)

<

Ifr(/)

'Nr(S)

oi.f

€ l'.u, g

Q

[q.

ensite

de D(O) dans

les

espaces fcrndamentanrx

vol'ution

des

fonctions

€ ll,"(nR").

Le

produit

convolutif

de

/

et

g

est d6:Fli

par:

poujt' c.

€

R",

:

_.[

_{f k)S(a}

_-

r]dn

lorsque I'int6grale existe.

IR4

(i')

_f

9:9f

ttl)

f

*g(a):

{

,,

ot}

a-$qpp.S:{tt'-t:1:<isupgt

f

I

{a-sr.qp f)n*pp s

(i,ii)

nrpp

(f

*

_s)

c

tw,pj-+

suw-g

(i)

(/

*,g)(a):

_I

_f

_@)s(a-

n)dn:

_!

f

(CI,- x)gt1v)

'l(-1)"ld',q

RN R@

(o):

_{tft"-n)s(r)dn}

lRrr

,rI

En

-

\.'r'

(16)

:T€

(iit

J'oi@

lr}n

Vj

e

N,t. donc supp

{it^',

or; t

En

clente

etl

a

lieu pour

tous les

r

tels

que

_J(a

_{- r)'}

gl'.*)

_*{i,

donc a,

-

x:

€supp,f

et

d'ori

r

r=

(a-supp

/)n

supp g,

d'ori

(ii).

o

_t'

supp

_,f+

supp g, alors

(a-

supp

_/)n

supp g == tfi =>

f

*9(a)

:

0'

2.2.2 lsoii

(e3) une

sriite positive tendant

rrers

0 (par

exempll

,?.i

:=

_#),

ott

dCfinit

la

suite

(tlr')5esr

(B:)i.nl

(lR')

p*

03fu)

:

_{1t1"er({',1ori}

d1 est 1'6l6ment standard de

D

(lFl") .

La

suite suit,: ragularisarrte,

et

elle v6rifi.e: A

i

_@)

)

0,

\lr

€

.R'n; supp

gi

'= l3(0,

ei)

et

1.

2.2 sait

_/

e

rf"(re|,

h

J'onction

fi:

_"f

*

gi

s'altTtelle

la

r€,gulari,s6e d,e f ,

2.6 \ff

€

Ct"(R"),

_fi

€

C""(R")

et le

suppori

dt:,

fi

est

contenu' darut un 'ordre

ei

du support de

_f.

ll

l/i(r)l

,=ll!(r)ri@-t)dil<

f

l/(t)l'lTi@-t)latr<c

_{

l/(it)ldt'<

m

In"

I B{r,e;)

E(o'ei)

r)

est bien dAfinie,

Vr

€ IR'

eh on a:

Lebesgue:

rf&)li"lfutg#at:-[f$)#("_t)d1:.=f*Htx:}.Etpirrt6currence,

fi""

"4.-o

a

lRi

ueD"(;f

x0i):f

x(D"|i),

Vcv€N^

+

_{fi€C"'(lR*)'}

C

supp

_.f*

supp

0i

: {r

€

lR'o :

d(r,supp

f)

3

e

iI,

:

Soit

A >

0

et

A6

:

(0, .., (1,

_A,

_0,

_{'..0) €}

R',

_alors:

lget*e

:

x*$f

t 71e i b+

_^;-9-o

i {z-t)

o,

^i)-d;(v)l

_a

_I

: l*fell

_ltuit='l

<

pr(gr)

(

oo,

d'ot,

d'apr6sr [e th,Sordme de la, convergence

Yt1'a_or;t

P

2.7 ,SiJ

e

C.(R")

(resperti,uementD'(R'),

frrlBl"),

t"(R")/ ,

alors

(/i)r.^'

cnnaerge uers _J' C' _{(1R"), {resp}e*tiu ement

r'

_{R'

_),

Cp

(lR),

fp (R.) _J'

:

(a)

Soj.t

/

e C'(lR").

Le m6me raisonnement qrre <lans

la

d6rnonsl;ra1;ion p:r6c6'

dorme:

vc

€ NI',

_lol

1r, pofi: D'{f

*0i.1

:,

D'uf * di. Donc.il

su-ffit de

si/

€

C(R"),

_fi

converge

versf

cla.nsC(lR').

SlojLta

€R*e;b

/

c

C'(IR') ralors

):

J

f

@-

r)0/r)d,r-

f(olf si@)ar:

!lf

("-

r)-

f{a\ei(n"td'n pourtout

lRn IRn IRn

(17)

-(l0mParilt rmemerrt

donc

(b)

f

iavuq

,de 1R", sup

_l/3(a)

-

_/(a)l

S sup

_lf

("

-

t)

-

f (a)l

_,

3- 0

cat

,f

est

unifo'r-a€K'

' .

tr,EK,

_lnl(ei

3+oo

inue su.r

le

compact

Kr'

converge vers

/

dans C(lR").

(R'),

Vj

€

NI, supp

_fi

C

R\

voisinage compact

d'oxlre

1 <le

K

_==sllFP

/

;; on

Cr(,(lR")

+ fi

_{- /}

d*t

l)"(R").

(R'),

1

lp

<

m;

alors Ve

),0,

1,4

compact de IR"

tq: {

_lf

(*)lo d,r

<

(f;',tn Rn--A

:l

'f(r)pour

re

A

_,arors/e

_{o.(re*)et.^./eriJ}

_-f)<3

[

0pourre

R"-A

i,

alors

ii - i

dans

D"(lR')

donc

'(o)1"

s

(::p

_|tf,

-

r)

-

ikilf

.

f;f +

No(ii

-

i',t.

t

l$l<Ej

S

Nr(ii- i)

+

NoG

-/)

<

_;

*i :'.

2.8 t(fi)

est

partout

d'ense dans

)

pour

sa t'opologi,e,

Yr

:0,

..trc.

)

pour

sa topologi,e, Vp

) l,

1t

f x.

(iil,r

₎

pour

sa topologi,e, Yp

₂

7, p

_{* x.}

En

le cas

f,):

IR"

fait I'objet

de Ia

proposition

pr6ctulerate.

lR"'. Soit; J _.: J

j

-+ (c) .f Soit

t.

_-.

JJ -"

lf,t.-l

No(ii

(tv

j(")

== (i,) (i,i,)

D'(f,}),

supp

/(u),

:r

e

f,l

0,

r€nR*-fl

ei<d(

)

, (orL

a:

limcj

:0),

J+e

Donc --+

/

dans

D'(fl).

(ii)

r(o)

D'(fi)

est pa,rtout dense aans

lp(fl)

(et

le(fl)]l

pout

F

t' x,

(on I'adrnel;) et

(ft),

ators

D(fl)

est dense dans

Ip(f,}).

2.2.3 nciature

2.9

lioi,t

K

un umpact

de

JR',

F

un _ferwr'dde

lR"

telque

K

{\

F

:

A. Alo'rs

(i)

_'t)

€

D(llf')

kIIe

que:

f : K c

f),

alors

/

est

la

rest:riction

de

f

e

D'(lR")

,:r)

et

_{ii -- /}

ar

,l)'(R')

avec

supp

ii c

K",

c il

dds que

P

(18)

Soit Pos<

iFe

D'an iP(o) En '0

:1

En

La

'pa,ftout Soit SUP]P Pour

vr

),:

(di)

v

sur un, voi,sinage d,e F.

(i,ii)

I

sur u,n aoi,si,nage de

K.

En

K

et

F

ferrn6s

disjoints

+

d(K,

F\

:

_{*.]tt.rl, -}

lyl == d

>

0'

*

u

==

F(0,e),

ators

(K

+u

+

U)

n (F

+

u

*Lr)

:

tl

fonctiorL

indicatrice

de

K

*

Lf

+tJ

et

9"

telle

que sr:pp6"

:

[/

et

_!,#":

L

Soit

e

:

_X*d",

alors 0

S

V(r)

(

1et

tF:0

sur

F

+Lf

+U

)

car

s'uppV

c

supex+

s-uWE:

K +

U

+

U

+Ll

:

Voe

K+U,

a-(K +l/+U))-U

-[/,drorLc,

1(r)d"(a

- r)d,r: I

0"(a

- )d,: f

A,,(y)dy: [0"(a)da

:

I. K+U+U

a-K*U-U

U

uence: Si

K

est un compact die

il

ouvert de

IR',

3{

e,

D(R")

telque 0

<

iF

S

1 et voisinage compact de

K.

On I'appelle fonction plateau

sur

,kl.

ier,

si

K

:

fri,

ators -{r/,r3} suite <le fonctions da:ns

Dt(fl)

_,

te,.lles q'ue 0

₃

zl,'5

₃

.L

et

tp, sur

un

voisinage compact de tl3.

{ fr'

}

s'onrrelle suite tranqua,rr--he'

E

DaruslR,

v(r)

:

ITt(t+i)

-

0{t-f;)dtutirifi,etF

e D(R),0

<

{i

<

[-2,21

et

fi

:1

sur

1-i,

l].

Donc

V

est une

_fonctirtn

platenu

sur

_[-1,

1].

2.lO

D({l)

est

partout

d,en:se dan^s

C'({l),

Vr,=, Cl,.., oc.

En

On sait que

D(f))

est dense d.ans

D'({-l).

Il

suffit

donc cle

montrer

qrue

D'(0)

est dans C'(CI).

C'(fl)

eb

soit {d7} ,ttu

suite tranquante

sur

fl.

'i:

rltiJ' la

tranqu6e de

_/,

alors:

supp

_1/rrl

supp

_.f

C Oj*1

+ fi

€ D'tfi) et

fi:'.f

sur

{-)r'.

compact

Kde0, lioeNtei

que

K c}io"t fi -,f :0

sur

K. ,fj

converge vers

/

dans C"(CI).

2.3

2.3.1

Soit ₁

de

l'unit6

he.r

url

recouwement ouverl; de

fl

C

IR".

On

appelle

pa,rtition

de

l'unit6,

sut> recouvreulent

_1,

une

suite

_{ou}4.;

de fonctions, irulex6e

par

le rn6me enserntrb

(19)

d'indic,es

(1)

oo

€

C*(f))

et supp e4

C

ni,,

Vi

€

_"f

(2)

a6(r)

)

0,

Vr

€

f,) et

Vi e J

tout

c,cmpact

K

de

fl,

seul

un notrbre

fini

des tr4 IL€ s'arurule pas (326

e J

telque Yi'

)

i's,

arlr

:

0)

(a)

Vr

e

f),

_!rc;(n)

:1.

2.!!

Pour tout

rercuwement

₁

:

_{u1}rct

drl

f)r,

i,t!, eri,ste une parti,ti,ora _'de

,ltunit€,

_{

_{ias subordonnde d,1.}

Soit _B==

{f,l,;h.s

le recouwement

habituel

de f,} tel. qlue f,lo

:

0,

f)1

{-

Oa11,

Vi

}

b:

f,h

t;t

.Q

-

Qe

-

f,)r-r

Alo:r:s

est

conrpact

dans

Q

et

Q

<l

_u!*4,

donc

fri;

€, Ni

tel

que

4 c-

tjrul

sous

J-:rt)cou ouvert

fini

de .F)

extrait

_{de 7.}

r

I

ui

=,

uf

n

(f,Ji11

-

0,;-r)

I

L

V,'

>2,

I1i1na

Alors tJ'i

_{C tl';}

IU;IEi<"t

est

un

recouwenlent ouvert de

fl,

plus .fin que

fi

et

_I

cat

Uj

C

zf, et

o

est Localement

fili.

Pour

_,

_{U;}

recouvle

_S,

donc Y:r

€

Fi,1

_i

e

{1,2,...,

rli}

telque

r

e

U}

+

fe*

)

0telq

e

B*(7) c

B(e)

cu;.

'r,c,loB,(\),

_1mi€

Ntelque

₄

cArap|'f)

,(oo ef

:t,,r)

)]r.*.",,,

est un recouwement ouvert

fini

de -F] et chaque

B(*f ,ef)

est contemue

wLr!.

e

t(A)

telque _Vr,.n

₌

1 sur

E(zf

,*)

"t

suPP fe,*,

':

B(r$,ef)

{1,...,4'o} t

O:

_u?**u,

alors

CI.

f:.tp;e1:rtf

,$}l

ille

r/:

_{gr,*

e

A}

est localement

finie,

car:

3p

e

$tr telque

r e

Fe;

A

==

('{t:

'U

Mr\U(

U iFl 'Ep+Z

oo

u

Mi.l

*ol

:o)I*, (

oo et

Yi,>

p

-t 2,

pi,1"(r)

:

0 car

I

i=r

VLx

(l

{$ c

{16*1

_-

{l*z

C- f}a-..1

-

Opi

3 un

noutbre

fini

de pe.x telles que

_V*@)

A

:

_{rLr,..,

rTt

, r!2, ..,

rT

, . .. ,

r}

, ..., nlf;" l

(]!:

WLt, &O

:

0, Aj

: Lmt

et

Si

{ti-t I

k:L cdd:

+0

,...]

d*, sc,rte

qu'on

ait

u-rr seul inclice,

k

1 ai,

()n Pose

x:k:

:xf-ou-t

{B(r

dans au

Soit

r

Soit

. alors

I

rr, I

t

I l..

YrtZ

(20)

(r1

"-I'f

u

lr

i€N l,.k

et

g'* €II pto

*)

r,et {,1'

.,,trmL -=

*Tt

_tfimrl,l:

frl,r..rJlp7r11y1o:

_{fiY r...)}

dtorl

..1

@i,tf)):

U

B(zr,er)

i.,j

oi

i

-

k

-

CI;-1, cdd

d

:

{Pr}*.w.

,b@)

:

_E-p*(t)

somme finir: et

,lr()

: ffi,

on obti,ent la

partition

de I'runit6

tr€S{

"2.4

ppeJls

_{sur le dual}

.E e.v.l;.

E'

sotr

dual topologique

(espace

de

applications linSaires continues

sur

,D A 'nileurs

tE

i

de deux topologies: faible

et forte

E*(

u"(

parbie de

E]

norm€, alors

E"

est norm6 pa"r'la noflne:

)

est ddlinie

par la

farnille de semi-normes

{p,(/)

:

l/(.")l

,

r

€

E,

_f

e

E'}

est ddfinie

par la

farnille

de semi-normes

_{{ppr(f,f ,= nrp}

_l/(")l

oiL

M

est ure

ilfil

-ilJ il -

ip

l/(r)l

:

Pep,s(f)

:

,,i]il,l/(")l

:

ilp$#

rSi

.

E''

.E'

E

e.u,

r

Le,s o Les

r

Les n.-l tlne qus

6r.

plet.

oEC

eE

reflexif

si

J

est un isomorphisme

et

un hom6ornorphiLsme de

E

durs

(E'")'"

rtE+E,

par

|urJectLort

r

_l;.ejt6:p

_i

ou

.f,l1:Hr1]y:11r)=ff,*)

E

e.'u de di,m _fini,e

+

E

refi,erif

con4tlet

1 E

non r4fi,eri,f

si

.E

C

F,

alors

F'

c

E'

et

en cons6quence,

pour'les

espaces lbnctiorurels,

suite <f injections continues::

der

D'(Q)

s'appellent les

distributuions

sur

f).

de,

D"(f,|)

s'appellent les

distributions d'ordre

r

riur f).

de,

D'"(fl)

s'appellent les mesures de radon

sur

fl.

La

tt.fonctiontt _{de Di,rac}

₆

_d4fi,ni,e

_sur

_D"(Q)

rnesure, d,onc

un

cas parti,culier d,e di-stri,buti,on.

p(a)

est

(21)

Iaa

sui,tp, _11.t,

\lt,vj

,

butipn

ip

duale

_fqlbte

szr

D'"(fl)

s'appelle topologie d,e

Iu

mnuergence uague,

md:

une

D'"(fit)

fnnuerge uaguement uers

une

nzesure

p,

dans

D'"(CI)

ssi

(Fi,V)

o_i,"

€ir"(fl).

(O"(O)

'*

D"(O))

Soi,t

I

€

,t.(O),

alors

T7

dLf,ni,e par (71,,p)

:

_f

(r)p(r)d,r

est

une

(22)

C

Le

3.1

Cln est

I'

est la l c{e

fl.

zbro,

("t

-r

(A?i,

istributions

it;ion

et

propriet6s

6l6rnentaires

, toute forme lin6aire continue sru

D(0,).

L'ensemble des

distributions

D'

muni

des lois usuelles:

(p)

:

('Tr,vj

*

(Tr,,g) ,,

Tr,

'72

_e

D'({I}, g

€

r(f})

:

(Tr,,\p)

:

)

(ft,

p)

_,

,\

e

C,

D(fr)

_-'

C

une forme lin6aire.

)

eYI(

compact dans

fl,

]

c>

0

et

frn

€

N

tenclue

lF,V)l

S.

_"'pk,,n(g),

(*)

p)

:

srrp

_lD"v@)|.

D(0)

est

mlni

de toutes

les topologies induit;es pa^r: les espaces fonctionmels

sa topologie

propre

_,qui est la plus fine et

la

se,ule

pour

laquelle il. est com;plet,

incl1c:ti.ye stricte des topologi'es de

D6(fl)

,oi

K

p,aircicurt' l'e'nsernble des comprar:ts

uence, 1ne forme

lin6aire

?

sur'

t(CI)

est t;c,fi;inue ssi elle est continue en

relatiur (*).

les de

distribut:ions

,f e f!,"(g)

engendre urle

distribution

7i

ilen.tifiee

d,

.f

_{,pal la}

fonmule

f

(r)qfu:)dr:

(f

,v) ,

Yp

€

])(CI).

ulier, les espaces

C'(0)

(r

e

N),

fp(ft)

(p

>

0) sont <les espaces de

distributions.

, 6l6ments cle

D'"{(-})

sont des

distributions.

Soi1,

T€,

ori En 6tudi6s,

It.1.1

1.) Torrr

\Tt,pl

En

I;€.S rX.

(23)

,S, de 2) La,,

pax:

(d,

3)

Lel

lTr,g

rfs dtarrt 4) Si (T,

f

_v,)

5)

l,e

(f

6', E1 =t=t Alo:rs Alo.rs fcnction Yg'e,

En

,

si

/(0)

:

0, cAd

f(r)

:,

r'

g(r),alors

/d

=' t0

Reci uement,

montrons

que

si

unt;

distribution

?

v6rilie

r7l

:

0,

alors

?

:

cdi

orf ,C'est t tante.

En

V9

e

D(0),

_\*T,p)

:

_\T,ryt|

:0.

Posons

€

l)(fi),

p(0)

:

0]

et

Ez:

1,,p

€

t(CI),

9(0)

I

0]

0):EreEz

et -Ez sc,nt der-rx suppl6mentaires topologiques dans ,D((}). En posant tp2

€

E2 ,}a

.D(fr),

telque,pr(0)r:

1,

On

a:

),

p(nl:

p(0)

+

r[9'ftr)dt:

]p2(0)

*

rpt@]

€

Ez*

E1

_,oi

.\

==

p(0).

de

Dirac

d

d6fuie par

d((,r)

:

p(0)

et

6"(tp) ==

tp(r)

qu'on note abusivement

d(p)

:,

_f

6(r)9@)d,r

:

p(0) et

(6*, p1

:

_{f 6(t}

-

,n')tp(n\dr: p(o),

Vo

e fl.

nO

ibution

de rnasse,

potentiel,

ou matidre en g6n6ral:, d.6finie par:

[g@)l(r)ds

,

pour

une

r6partition

sur une courlbe

f,

de densit6l.indaire

.l(r),

f

d.'arc;

ou

_\Ts,p)

:

_f

,p{x)p{*)dA

,,

pour

rm.€

r6partition

sur une surlla,:e

s

superficielle

p(r),

d'6l6ment, d'ave d'4.

D'(0)

e,t

_J

e

C'"(fl),

le

produit

f

T

at

r,ure distributio:a, d€finie

par':

\f

T,V)

:

uit

d'lme fonction

continue

,f p*

la

masse de .D'irac ,est _une

_distribution

(5,

f

v,):

_/(0)p(0)

+

_"fd ==

/(0)d

€ JJ(ft),

_V:

l9z*

nqr

ori

.\

€ C

d6composition r:rLique'

V):

\T,ipr

* rgz):

\\T,ytr)

*

\rT,9t)

:

I

(7,

pz)

:

_\7,9r)

g{at)

fix6e, 6l6rnent g6n6rateur

de

82, on

a:

_{?,

_{Vz}: (l}

=+

{rT,V}:

C

(A;,p} que d n'est pas rme

distributiori

r6gulidre, cAd 1l

f

€

th"(fi)

telq.

,P):Jf@)e@)tu.

En

a

*rrppo*oo, le contraire, ciicl

-.f

e

t,1,"({t)

tq

(d,

gl

:

_I

_J'@)p(r)dr

==

p(0).

[7

d'oii

?z 6)

lim

l' e+O'(,

d'

a convet:gence domin6e de Lebesgue;

or

<p(0)

:

s'-'1,

corrtradiction-ibution'r

valeur

principale

(de Cauchy)

d"

_*"

I

osi

_{lrl >e}

ion

p(r)

: { -"2

_'

on a:

t

eP=t,P

si lrl

<

e

)dr: _f

f

(r)t$efu)d,r:0

B(0'e) 7)1

(24)

(rpzl,

f

_!Y'(rldr:

_lill

"1"

e\D)

_d't

_{existe car:}

;--opt1>"'

-oo +oo

It4

-oo

D'

Exem

tion,

on, 0 soi,t _{J",,

7

_,pou'r De

La

r,ryasse de Di,rac 5 a 6t6, dEfini,e covnrle la li,'m>i,te de Ia d,ensi,t€. tle r4partii"ti'on rne,sse,

de

phrc

en

phn

concenty'Ee au uoi,si,nage al,e I'o'rigi,ne. PIus pr€c'is€,rnent, sui,te d,e _{foncti,ons positi,ues telles}que

lirn

sup

l.f,(t)l

:0

et fim

i

f*@)d,t:

(rp.[

La

,up] est

singulidre,

"at

fi

f e lt.(R)

teJle ,que

up]

:

Tf,

puisqr-re

avec la fonction

j

sur iR*

et

j: n'est int6grable sur i&{tcllrt voisinage de 0. Par

con-tle,

la

bution

upf

peut Otre considdr6e comme la

limite,

Iors;qur: e --+ 0 ,des distributio:ns

(, I

f

(*):

I

*

n"*

i"l

>'u

[

0

pour

_lrl

<: e

giln6rale,-on montre que

toute

distribution

sin.guJidre est limiLe de

distrit>

:

_I

_a+

_{trydr+rp(o)'fupf*).}

lrlle

-e

-€

le

|

1.1

|

:

0

et

_|

_/$3(9).d,rl

:

_ll$v'

_ft

r)d,t)

d,rl<

2e p1(<p)

<

oo,

l-E

I

l-.0

| utions

,3.1.2

de

distribution

U*ne su

_L)

c

D'

_6r)converge vers une

distributionT e

t'(l())

ssjr

vg

€

D(fi),

(7.,

g)

converge

vers (11',

Il

s' la convergence simple dans le clual cle

D

_{,et on}sait que

D'

muni de la topologie faible r: est cornplet. Dans

t'"(f,)),

on parle de

la

conrnelgenrce vag1e des mesuresi.

f,"

"l$sinri.r

n'ed,ste pas en

tant

que

_fonctiort,

r,rya'i,s en

tant

que

di'strib'u-+co

sinn,r

:

O, car, d,'apr€s Ie th\orcrne de Reimann Lebesgue,

lim

_/

sin

nr

_9(r)dr

:

?**j"o

,

on sa.it

_uur,

_{1i1y|.IYr@\rlr:}

p(0),

Yp

€ D

..

1 sin

nr

que

hm -

----'-*

_-

6

n+co?T :X

n-elr,l>a

a

)

0. Alors

_Jggfi

:

t.

bype de suites

(/")

est tr6s g6n6ral dans les applications

(25)

1)

_f",t*)'

(

J

r

si,

lrl

\

|

0

s'r

_lrl

t€

s

:

_fte--f,

-n2tZ

l<*

l>*

2)

_l"(

3) J"(

Alors

oil0

"

l,i

et

:l

l*oc'

l{,'

<e(

s.l-.3i

Soit

[,,'

1)'(U)

On

ry.24-e2

+s

q"-

_ii:*"{

_f"(r)e@)d's:

rt(0),

ve

e D(R)'

au. cas on

p(0)

:

0

,en lernplaga,nt, au besoin,

p(r)

par

9(u)

est continue, prenons a

tel

que

_lp(t)

_-

p(0)l <

6:

_,Vr

tel

que

_lrl

"

f,{n)d,r <

M

,car

_-liry

J

f"fu}dx:\.

o n*F-a

m sup

_{/'(r)l :}

0, alors

-

ns,

Yn'

)

nn,

-

e(0))

<< d,, Iv"t e T Jn a

loo

I

lf

f"@)v,tr)drl

<

e >(l

(r).p(r)arl

<

e

v,

'

n1,

l|"t-t.lo"-

tl

...

(rld,*-

e(0)l

= l",i*(r),p(r)dr|

+?"f()lp(,,)

-ee(o)ldr+l<p('o)l

li/'rl")a"

-

tl

M

+

l(p(0)l)

*

j5g

[*f"(r)v(u)dr:

rp(O)

:

alrpr;.

ricrtion

et support

des

distributions

ouvert

,1e

fl

et

"

e

D'(CI). La restriction

de

?

d'

lI

est

la distritrution

T

_Iu

€

pw

_\Tlu,V|:

_\T,V),

p

c D(U).

T

e

D'

(tl)

est

nulle sur

U

si T _{f u}

:

0, cdd

si

(?,

p)

:

0

Vp

e Ll(U),

€

,'(n)

urrer

distribution

nullle

sur

chraque

Soit

j€r

une

familte d'ouverts

de f,)

et T

4t.

En

n4, cdd

or(

est nulle

sur

[/

:

Hror.

Soit _{ora}rure

partition

de

l'rurit6

sur U.

Vg

€

e

Dtai,t

+

_lT,arv)

:0,

Vi

D(CI),

_*

:

+ou,

et' suPP

(ootd

c

/\

:(T,Doog):t(T,a4p\:0

\i/i

pelle

gn'il n'y

a qu,un nombre

fini

de termes

6.n5

,se.t1be solnme. et

(26)

La de tous

lm

ouverts cle

fl

_{,sur lesqueis}

T

est nulle, s'appr:lle

I'ouvert

d'armulation

cle

T,

et compl6tnentaire

le

support de

?.

A

dit,

si

r

e

suppT

alors

?

n'est nulle

dans aur:un. vc'isinage

ouvert

de

r

_,et,

sirgf

, alo.rs

I

tr/

voisinage de

r

telque

Tf

y:A'

1)

ntptrt

d:

_i0)

car,

si}

(

suPP

_V,

_\5,9)

:0

q)!

_upp

_f

.=

_I

_,ott

_f

est _{une fonc.tdon,}alors

suppT|

C

I,

car:

VV

e

D(f))'

sl

te'upp Vl

,e):

If

k)eb)d,r:o

,l

gf)srrypT:0,

alors _\7,9',1

:0

du

recollement des

morceaux: si

_{fli}ie"r

est rrn lre'cou.vTement

ouvert

de

fil

,et

{Tiliirt

famille

de d.istributions telles que

4 e

D'(fti)

,r:t

v'i,

i

e

J

avec fl6

nfJli

+

alors

3)

fhi, A, Tol En D(CI),

_Doup

L

{ri,

j€J alor"sr Soil;

L{ru,

.i

(t

et

<le

4lnnn,or.

Alors

1T

e

D'(ft)

telle

que

Tln,:l'i'

Soit

_{a3}95.7

nII€

partition

de

I'unit6

C*

subonlonn6e

a

{Ai}

,alors

Vie

6

ieJ

,i*

"u,r tm nombre

fini

cie f,).; rencontre le support, r:ourpact cie cp. On pose {?, 9r)

:

)

D'(fl)

car

supp

aip CAi.

D(f,'u), avec f,);

nfri

*

0.

Alors

su'ltp

aip

C

{^t,;

flfl;

et

tT,d :|)\Ti,ai(P)

:

_\Tr,)ioid

:

_\Tr,e)

_T,

:].2

iva.tion

des

distributions

$.2.1

Sioit

f

strib,ution

r6guli6re

-(f))

_,ccrrnment

d6finir

_&ft

Upartir

deTv?

)

:

_;*:r@)d'n:

-f

r

Ho*:

-

(+,#)

(r,#*,.e)

:

-

(r#,,#)

:

(r',

_#fr)

ett

(27)

8.1

So,if

?

e

D'(C))

et

a

€N".

CorDrrue I'op€rat'i(lf1:, t1)

'''

(-t1t"tp'*t

est lin€tt'ire

<:t

D

d,arus

D,,

alors Ia foncti,onne.fie.

D*T

est une d,istributi,on sur f,) E:t'i' est

d€filn'i'e

Ttar Ia

ft

f

_{(-1)l*, {}

_r.Do4d,r:

_(-t;l"l

_{T,D'p),

vip

t:

t(ft)

)

:

_J

DoT

'Pdr:

, -,

-l

3.t

cette

d,Efi,niti,on est conforme d,

la

d'Ef'ni,tia'n cltt'ssi'que d'e Iu' dEriaEet

'ce

on a

Lw

que,

si,

/

e

C'(CI),

sa

dEri'u€'e

D"f

, l"l

S

r

{nL

sens des

distribu-ttons, {nJffi sa, d'Eri'u€e classi"que.

C'

nt,

en

tant

que d;istributi,on,

f

possdd,e d,es d,6ri,u(xts sueeessi'ues de to'us les orahe's,

interuer,tir

l'ord,re d,e

d,€rtuation.

Ce

sont

d,es forzcti'ons

qui

coi'ncident

aua:

r!'es d,Eria€&s de

f ,

lorsqu,elles eri,slient, et d,es d,i,stri,butittns s"i,nguliires lorsque

f

vt"est plus FYEche:h,,

et

on Sa'i't O ::=i "f (s') c&,0,

T!,

l{'(r)

== .-(g(cxr

+7'

H

foncti,a,n d,e rhparti,tion d,'une d,i,stri,buti,on d,e ma,sse (de trtrobabi,li'tE), consti't'uEe