 MQBL 23 312  AOOMMB DQDC AMAC  13 ﻲﺑﺮﻐﻟا يزﻮﻓ

(1)

ﻢﻗر ﻦﯾﺮﻤﺘﻟا 1

ةﺮﺋاد ﺮﺒﺘﻌﻧ ζ

ﺎھﺰﻛﺮﻣ O

ﺎﮭﻋﺎﻌﺷ و 5cm

و [AB]

و ﺎﮭﻟ ﺮﻄﻗ I

ﻦﻣ ﺔﻄﻘﻧ ζ

ﺚﯿﺤﺑ BI=6

1 ( ﺚﻠﺜﻤﻟا عﻮﻧ دﺪﺣ ABI

ﻚﺑاﻮﺟ ﻼﻠﻌﻣ

2 ( ﻦﻜﺘﻟ C ةﺮظﺎﻨﻣ B

ﻰﻟإ ﺔﺒﺴﻨﻟﺎﺑ I

و G ﻦﯿﻤﯿﻘﺘﺴﻤﻟا ﻊطﺎﻘﺗ ﺔﻄﻘﻧ (AI)

و (OC)

أ ( ﻮھ ﺎﻣ ﺚﻠﺜﻤﻟا ﻞﻘﺛ ﺰﻛﺮﻣ ABC

ﻚﺑاﻮﺟ ﻞﻠﻋ ؟

ب ( ﺐﺴﺣأ IG و OC

3 ( (AC) ﻊﻄﻘﯾ (BG) ﻲﻓ J سﻮﻘﻟا ﻊﻄﻘﯾ و [AC]

ﻲﻓ M , ﻦﻜﺘﻟ H ﻊطﺎﻘﺗ ﺔﻄﻘﻧ (BH)

و (AI) نأ ﻦﯿﺑ OIJA

عﻼﺿأ يزاﻮﺘﻣ

4 ( نأ ﻦﯿﺑ (CH) و (IJ) ناﺪﻣﺎﻌﺘﻣ

5 ( (CH) و (AB) ﻲﻓ نﺎﻌطﺎﻘﺘﯾ Q

, ﻦﻜﺘﻟ P ـﻟ يدﻮﻤﻌﻟا ﻂﻘﺴﻤﻟا I

ﻰﻠﻋ (AB) , ﺐﺴﺣأ

IP و CQ

ABCD هﺰﻛﺮﻣ عﻼﺿأ يزاﻮﺘﻣ

O و I ﻒﺼﺘﻨﻣ [AB]

. (ID) ﻊﻄﻘﯾ (BC) ﻲﻓ M

1 ( نأ ﻦﯿﺑ 1

A M 3A C

2 ( ﻦﻜﯿﻟ P ﻂﻘﺴﻣ M ﻰﻠﻋ (AD) ﻰﺤﻨﻤﻟ ﺎﻘﻓو (BD)

. نا ﻦﯿﺑ 3MP=BD

3 ( ﻦﻣ رﺎﻤﻟا ﻢﯿﻘﺘﺴﻤﻟا M

ـﻟ يزاﻮﻤﻟا و (AD)

ﻊﻄﻘﯾ [CD]

ﻲﻓ Q . ﺐﺴﺣأ DQ

DC

4 ( ﻦﻜﺘﻟ F ةﺮظﺎﻨﻣ A

. نأ ﻦﯿﺑ O و F و Q ﻘﺘﺳا ﻰﻠﻋ ةﺪﺣاو ﺔﻣﺎ

ﺮﺒﺘﻌﻧ ﻢﯿﻘﺘﺴﻣ ﺔﻌﻄﻗ [AB]

ﺚﯿﺤﺑ AB=9cm .

1 ( أ ( ﻘﻨﻟا ﻦﺑا ﺎ ط O و M ﻦﻣ [AB]

ﺚﯿﺤﺑ

3 1 2

AO OM MB

 

ب ( نأ ﻦﯿﺑ O ﻒﺼﺘﻨﻣ ﻲھ [AB]

ج ( ﺐﺴﺣأ AM

2 ( أ ( ةﺮﺋاﺪﻟا ﻦﺑا ζ

ﺎھﺮﻄﻗ ﻲﺘﻟا [AB]

ﺔﻄﻘﻧ ﺎﮭﯿﻠﻋ ﻦﯿﻋ و K

ﺚﯿﺤﺑ AK=6cm

ب ( ﯿﻘﺘﺴﻤﻟا ﻢﺳرا ﻦﻣ رﺎﻤﻟا ﻢ

M ﻰﻠﻋ يدﻮﻤﻌﻟا و (AB)

ﻊﻄﻘﯾ ﺚﯿﺣ (AK)

ﻲﻓ P و

(BK) ﻲﻓ Q

3 ( نأ ﻦﯿﺑ (PB)(AQ)

4 ( ﻦﻜﺘﻟ I ﻊطﺎﻘﺗ ﺔﻄﻘﻧ (AQ)

و (BP) , نأ ﻦﯿﺑ I ﻦﻣ ﺔﻄﻘﻧ ζ

5 ( ﻦﻜﺘﻟ J ةﺮظﺎﻨﻣ I

ﻰﻟإ ﺔﺒﺴﻨﻟﺎﺑ B

. (MJ) ﻊﻄﻘﯾ [AI]

ﻲﻓ S . نأ ﻦﯿﺑ (AJ)//(BS)

6 ( ةﺮﺋاﺪﻠﻟ سﺎﻤﻤﻟا ﻢﯿﻘﺘﺴﻤﻟا ζ

ﻲﻓ B ﻊﻄﻘﯾ (AI) ﻲﻓ L . ﯿﺑ نأ ﻦ 2 3 MQ

BL 

ζ ﺎھﺰﻛﺮﻣ ةﺮﺋاد O

و [AC]

ﺚﯿﺤﺑ ﺎﮭﻟ ﺮﻄﻗ AC=10cm

و B ﻦﻣ ﺔﻄﻘﻧ ζ

ﺚﯿﺤﺑ AB=cm

1 ( ﻦﻜﺘﻟ M ـﻟ يدﻮﻤﻌﻟا ﻂﻘﺴﻤﻟا O

ﻰﻠﻋ (BC)

أ ( نا ﻦﯿﺑ (OM)//(AB)

ب ( ﺐﺴﺣأ OM

2 ( [AM]

و [BO]

ﻲﻓ نﺎﻌطﺎﻘﺘﯾ K

, نأ ﻦﯿﺑ AC=3BK

3 ( (AM) ﻊﻄﻘﯾ ζ ﻓ ﻲ I , (IC) ﻊﻄﻘﯾ (AB) ﻲﻓ H . ﻞﺜﻤﺗ اذﺎﻣ M

ﺚﻠﺜﻤﻠﻟ ﺔﺒﺴﻨﻟﺎﺑ ACH

(2)

4 ( ﻰﻠﻋ يدﻮﻤﻌﻟا ﻢﯿﻘﺘﺴﻤﻟا (BC)

ﻦﻣ رﺎﻤﻟا و K

ﻊﻄﻘﯾ (BC) ﻲﻓ R و (AC) ﻲﻓ S . ﺐﺴﺣأ RS

ABC ﻲﻓ ﻢﺋﺎﻗ ﺚﻠﺜﻣ A

ﺚﯿﺤﺑ AC=2AB

1 ( ﺔﻄﻘﻨﻟا ﻦﺑا D

ﻦﻣ [BC]

ﺚﯿﺤﺑ 2

3 DB DC 

2 ( ﻢﯿﻘﺘﺴﻤﻟا ﻢﺳرأ ∆

ﻟا ﻰﻠﻋ يدﻮﻤﻌ (BC)

ﻦﻣ رﺎﻤﻟا و D

. ∆ ﻊﻄﻘﯾ (AC) ﻲﻓ M ﻊﻄﻘﯾ و

(AB) ﻲﻓ E . نأ ﻦﯿﺑ (CE)(BM)

3 ( ﺚﻠﺜﻤﻠﻟ ﻢﺋﺎﻘﻟا ﺰﻛﺮﻤﻟا دﺪﺣ MBE

ﻚﺑاﻮﺟ ﻼﻠﻌﻣ

4 ( ﻦﻜﯿﻟ I ﻒﺼﺘﻨﻣ [BC]

.

أ ( ﺔﻄﻘﻨﻟا ﻦﯿﻋ H

ﻦﻣ [AI]

ﺚﯿﺤﺑ

2 1

AH HI



ب ( ﻞﺜﻤﺗ اذﺎﻣ H

ﺚﻠﺜﻤﻠﻟ ﺔﺒﺴﻨﻟﺎﺑ ABC

ت ( نأ ﻦﯿﺑ 1

A G  3BC ﺐﺴﺣا ﻢﺛ

AG BD

5 ( ﻦﻣ رﺎﻤﻟا ﻢﯿﻘﺘﺴﻤﻟا I

ـﻟ يزاﻮﻤﻟا و (AC)

ﻊﻄﻘﯾ [AB) ﻲﻓ F . نا ﻦﯿﺑ C و G و F ﻰﻠﻋ

ةﺪﺣاو ﺔﻣﺎﻘﺘﺳا

ζ ﺎھﺰﻛﺮﻣ ةﺮﺋاد O

ﺎھﺮﻄﻗ و [AB]

ﺚﯿﺤﺑ AB=8cm و

M ﻦﻣ ﺔﻄﻘﻧ ζ

ﺚﯿﺤﺑ BM=7

1 ( ﺚﻠﺜﻤﻠﻟ ﻢﺋﺎﻘﻟا ﺰﻛﺮﻤﻟا دﺪﺣ ABM

ﻼﻠﻌﻣ ﻚﺑاﻮﺟ

2 ( ﺔﻄﻘﻨﻟا ﻦﯿﻋ I

ﻒﺼﺘﻨﻣ [MB]

. ﻢﯿﻘﺘﺴﻤﻟا ∆

ﻦﻣ رﺎﻤﻟا B

ـﻟ يزاﻮﻤﻟا و (AI)

ﻊﻄﻘﯾ (AM)

ﻲﻓ N . ﻢﯿﻘﺘﺴﻤﻟا (ON)

ﻊﻄﻘﯾ (BM) ﻲﻓ K

أ ( ﻞﺜﻤﯾ اذﺎﻣ K

ﺚﻠﺜﻤﻠﻟ ﺔﺒﺴﻨﻟﺎﺑ ANB

ﻚﺑاﻮﺟ ﻞﻠﻋ ؟ .

ب ( ﺐﺴﺣأ BK

3 ( (BN) ﻊﻄﻘﯾ ζ ﻲﻓ E . (AE) ﻊﻄﻘﯾ (BM) ﻲﻓ H . نأ ﻦﯿﺑ (HN)(AB)

4 ( ﻘﺘﺴﻤﻟا ﻦﻣ رﺎﻤﻟا ﻢﯿ N

يزاﻮﻤﻟا و ـﻟ

(AB) ﻊﻄﻘﯾ (BK) ﻲﻓ S . ﺔﻄﻘﻨﻟا ﻦﯿﻋ T

ﻦﻣ [MS]

ﺚﯿﺤﺑ MT=MA

أ ( ﺚﻠﺜﻤﻟا نأ ﻦﯿﺑ ANT

ﺔﯾواﺰﻟا ﻢﺋﺎﻗ

نا ﻦﯿﺑ M ﻒﺼﺘﻨﻣ ﻲھ [BS]

1 ( ﻦﻜﯿﻟ ABC ﺚﯿﺣ ﺎﺜﻠﺜﻣ AB = 2

و 2 4

 و AC BC = 6

أ ( ﻢﺳﺮﻟا ﺰﺠﻧأ

ب ( ﺚﻠﺜﻤﻟا نأ ﻦﯿﺑ ABC

ﺔﯾواﺰﻟا ﻢﺋﺎﻗ

2 ( ا ( ةﺮﺋاﺪﻟا ﻢﺳرا ξ

ﺚﻠﺜﻤﻟﺎﺑ ﺔﻄﯿﺤﻤﻟا ABC

ﺔﻄﻘﻨﻟا ﻦﯿﻋ ﻢﺛ E

ﻢﯿﻘﺘﺴﻤﻟا ﻒﺼﻧ ﻦﻣ [BA)

ﺚﯿﺤﺑ BE= 6 ﺔﻄﻘﻨﻟاو

D ةﺮظﺎﻨﻣ E

ﻰﻟإ ﺔﺒﺴﻨﻟﺎﺑ B

.

ب ( ﺚﻠﺜﻤﻟا نأ ﺖﺒﺛا DEC

ﻲﻓ ﺔﯾواﺰﻟا ﻢﺋﺎﻗ C

3 ( ﻢﯿﻘﺘﺴﻤﻟا (DC)

ةﺮﺋاﺪﻟا ﻊﻄﻘﯾ ξ

ﺔﯿﻧﺎﺛ ﺔﻄﻘﻧ ﻲﻓ I

.

أ ( نأ ﻦﯿﺑ (EC)

و (BI) نﺎﯾزاﻮﺘﻣ

ب ( نأ ﺖﺒﺛا I

ﻒﺼﺘﻨﻣ [DC]

ﺐﺴﺣا ﻢﺛ BI

4 ( ﻦﻜﺘﻟ F ﻦﯿﻤﯿﻘﺘﺴﻤﻟا ﻊطﺎﻘﺗ ﺔﻄﻘﻧ (BI)

و (AC)

أ ( نأ ﻦﯿﺑ EC = 2 BF

(3)

ب ( ﻲﻋﺎﺑﺮﻟا نأ ﺖﺒﺛا EFDI

ج ( ﻲﻋﺎﺑﺮﻟا نأ ﺖﺒﺛا EFIC

ﻞﯿﻄﺘﺴﻣ

) ﺮﺘﻤﺘﻨﺼﻟا ﻲھ ﺲﯿﻘﻟا ةﺪﺣو (

ABCD ﺚﯿﺤﺑ عﻼﺿأ يزاﻮﺘﻣ

AC=12 BC=8 AB=10

ﻦﯿﺘﻄﻘﻨﻟا ﻦﯿﻋ ﻢﺛ E

ﻒﺼﺘﻨﻣ [AD]

و F ﻒﺼﺘﻨﻣ [BC]

. ﻢﯿﻘﺘﺴﻤﻟا (BE)

ﻢﯿﻘﺘﺴﻤﻟا ﻊﻄﻘﯾ (AC)

ﻲﻓ I ﻢﯿﻘﺘﺴﻤﻟا و (DF)

ﻊﻄﻘﯾ (AC) ﻲﻓ J

1 ( ﻲﻋﺎﺑﺮﻟا نأ ﺖﺒﺛأ BEDF

2 ( نأ ﺞﺘﻨﺘﺳا (IE)

ـﻟ زاﻮﻣ (DJ)

نأ و (IB)//(GF)

3 ( ﺐﺴﺣأ IA

و IJ JC . JI ﻰﻟإ ﺔﺒﺴﻨﻟﺎﺑ ﺞﺘﻨﺘﺴﺗ اذﺎﻣ I

و J

4 ( ﻦﻜﺘﻟ O عﻼﺿﻷا يزاﻮﺘﻣ ﺰﻛﺮﻣ ABCD

أ ( نأ ﻦﯿﺑ I ﺚﻠﺜﻤﻟا ﻞﻘﺛ ﺰﻛﺮﻣ ﻮھ ABD

ب ( نأ ﻦﯿﺑ [ID]

ﻊﻄﻘﯾ [AB]

ﮫﻔﺼﺘﻨﻣ ﻲﻓ N

5 ( ﻢﺳرأ ﻦﻣ رﺎﻤﻟا ﻢﯿﻘﺘﺴﻤﻟا A

ﻰﻠﻋ يدﻮﻤﻌﻟا و (BD)

ﻟا ﻲﻓ ﮫﻌﻄﻘﯾ يﺬ H

ﻢﯿﻘﺘﺴﻤﻟا و

ﻦﻣ رﺎﻤﻟا O

يدﻮﻤﻌﻟا و ﻰﻠﻋ

(AB) ﻲﻓ ﮫﻌﻄﻘﺑ يﺬﻟا K

. (AH) ﻊﻄﻘﯾ (OK) ﻲﻓ L

أ ( ﻞﺜﻤﺗ اذﺎﻣ L

ﺚﻠﺜﻤﻠﻟ ﺔﺒﺴﻨﻟﺎﺑ OAB

ﻚﺑاﻮﺟ ﻞﻠﻋ ؟

ب ( نأ ﻦﯿﺑ (BL)(AC) ﺔﻄﻘﻧ ﻲﻓ

M

ج ( طﺎﻘﻨﻟا نأ ﻦﯿﺑ A

و H و M و B ةﺮﺋاﺪﻟا ﺲﻔﻧ ﻰﻟإ ﻲﻤﺘﻨﺗ .

1 ( ﺎﺜﻠﺜﻣ ﻦﺑا ABC

و I ﻒﺼﺘﻣ [BC]

ﺚﯿﺤﺑ AB=5 AI=6 BC=8 ﺔﻄﻘﻨﻟا ﻦﯿﻋ ﻢﺛ

G

ﻦﻣ [AI]

ﺚﯿﺤﺑ AG=4

2 ( ﻦﻣ رﺎﻤﻟا ﻢﯿﻘﺘﺴﻤﻟا I

ـﻟ يزاﻮﻤﻟا و (AB)

ﻊﻄﻘﯾ (AC) ﻲﻓ J .

أ ( نأ ﻦﯿﺑ J ﻒﺼﺘﻨﻣ [AC]

ب ( نأ ﻦﯿﺑ B و G و J ةﺪﺣاو ﺔﻣﺎﻘﺘﺳا ﻰﻠﻋ

3 ( ﻦﻜﺘﻟ D ةﺮظﺎﻨﻣ G

.

أ ( نأ ﻦﯿﺑ 2

DG  3AI

ب ( نأ ﺞﺘﻨﺘﺳا G

ﻒﺼﺘﻨﻣ ﻲھ [AD]

4 ( ﻢﯿﻘﺘﺴﻤﻟا (CD)

ﻊﻄﻘﯾ (AB) ﻲﻓ E

أ ( نأ ﻦﯿﺑ BG AB

ED AE BJ AB و

EC  AE

ب ( نأ ﺞﺘﻨﺘﺳا 2

ED  3EC

(4)

ﻦﯿﺗرﺎﺒﻌﻟا ﻦﻜﺘﻟ

2 2 6 2 5 ( 2 3)( 2 1) E  x  x F  x x

1 ( أ ( ﯾدﺪﻌﻟا ﺔﻤﯿﻘﻟا ﺐﺴﺣأ ةرﺎﺒﻌﻠﻟ ﺔ

E نﺎﻛ اذإ 2

x 

ب ( ةرﺎﺒﻌﻠﻟ ﺔﯾدﺪﻌﻟا ﺔﻤﯿﻘﻟا ﺐﺴﺣأ F

ﺚﯿﺣ x=-1

2 ( أ ( نأ ﻦﯿﺑ



²^x^³



²^{ }⁴ ^E

ب ( ةرﺎﺒﻌﻠﻟ ﺎﻜﯿﻜﻔﺗ ﺞﺘﻨﺘﺳا E

3 ( نأ ﻦﯿﺑ

2 ( 2 1)2

EF   x

4 ( أ ( ﻲﻘﯿﻘﺤﻟا دﺪﻌﻟا ﺪﺟوأ x

ﺚﯿﺣ

2x26 2x5 = ( 2x3)( 2x1)

ب ( ﻲﻘﯿﻘﺤﻟا دﺪﻌﻟا ﺪﺟوأ x

ﺚﯿﺣ 2 2 EF 

دﺪﻌﻟا ﺮﺒﺘﻌﻧ 5 1

a 2 ﻲﺒھﺬﻟا ﺪﻌﻟا ﻰﻤﺴﯾ يﺬﻟا 

أ ( نأ ﻦﯿﺑ

2 1

a a نأ و

1 5 1

a 2

 

ب ( ﺐﺴﺣأ ( 1) a a ﺳاو نأ ﺞﺘﻨﺘ

1 a

بﻮﻠﻘﻣ ﻮھ a

ت ( نأ ﻦﯿﺑ

1 1 5

1 a a   



ث ( ﺎﯾﺪﻋﺎﺼﺗ ﺐﺗر a2

و و a 1

a

1 ( نأ ﻦﯿﺑ



^{a b}^



²^



^{a b}^



² ^⁴^ab

2 ( دﺪﻌﻠﻟ ﺎﺑﺎﺴﺣ ﺞﺘﻨﺘﺳا

2 2

1000.001 999.999

3 ( دﺪﻌﻟا ﺐﺴﺣأ نأ ﺖﻤﻠﻋ اذإ ab

18 a b 

و

4 a b 

4 ( نأ ﻦﯿﺑ

2 2

(a1) (a1) 4a

5 ( نذإ ﺐﺴﺣأ

2 2 2 2

10001 9999 , 1001 999

ا ﺮﺒﺘﻌﻧ ﻦﯿﺗرﺎﺒﻌﻟ



^{3 1}

 

² ³



²^,



^{2 1}



^{2 1}



A x   x B x  x 

1 ( ﻦﯿﺗرﺎﺒﻌﻟا ﺮﺼﺘﺧاو ﺮﺸﻧأ A

و B

2 ( ةرﺎﺒﻌﻟا ﻞﻣاﻮﻋ ءاﺬﺟ ﻞﻜﺷ ﻰﻠﻋ ﺐﺘﻛأ A

3 ( ﺔﯿﻘﯿﻘﺤﻟا داﺪﻋﻷا ﺔﻋﻮﻤﺠﻣ ﺪﺟ x

ﺚﯿﺣ A=0

4 ( ﺔﯿﻘﯿﻘﺤﻟا داﺪﻋﻷا ﺔﻋﻮﻤﺠﻣ ﺪﺟ x

ﺚﯿﺣ A ﻞﺑﺎﻘﻣ ﻮھ B

) لﻮﮭﺠﻤﻟا دﺪﻌﻟا (

ﺪﺟوأ x و y

(5)

ﻢﻗر ﻦﯾﺮﻤﺘﻟا

6

ﻮھ ﺮﻤﺣﻷﺎﺑ نﻮﻠﻤﻟا ءﺰﺠﻟا ﺔﺣﺎﺴﻣ نأ ﻦﯿﺑ

( )( )

A   R r R r

) صﺮﻗ ﻞﺧاد (

ﺮﯿﺒﻜﻟا صﺮﻘﻟا ﻞﺧاد نﻮﻠﻤﻟا ءﺰﺠﻟا ﺔﺣﺎﺴﻣ ﺪﺟوأ

ﻊﻈﻧ CM=x . ﺪﺟوأ x نﻮﻜﯾ ﻰﺘﺣ AM=MB

) نﺎﺑﻮﺒﻧأ (

ﺣأ نﺎﺑﻮﺒﻧأ ﮫﻋﺎﻌﺷ ﺎﻤھﺪ

R ﮫﻋﺎﻌﺷ ﻲﻧﺎﺜﻟا و r

ﻦﯿﺒﻣ ﻮھ ﺎﻤﻛ ﺎﺿرأ ﺎﻌﺿو

ﺐﺣﺎﺼﻤﻟا ﻢﺳﺮﻟﺎﺑ .

1 ( نأ ﻦﯿﺑ

2 4

d  R r

2 ( ﺐﺴﺣأ d نأ ﺖﻤﻠﻋ اذإ R=135 mm

و r=60 mm

1

نا ﻦﯿﺑ

2 2

(x  y) (x y) 4xy

1

نأ ﻦﯿﺑ

2 2 2 2

(x y) (x y) 2(x y )

ﻢﻗر ﻦﯾﺮﻤﺘﻟا

2 1

(6)

ﺄﻄﺧ وا باﻮﺼﺑ ﺐﺟأ

أ

2 2 (

2 1 ( 1) x  x   x 

ب

2 2 (

2 1 (1 )

x x x

    

ج

2 2 (

12 9 ( 3) x  x    x

د

2 ( 122237958 122237960 122237959  1