S S UITES UITES 99

9 9

S ^UITES S ^UITES

1 P

?

Les suites sont utilisées dans de très nombreux domaines ! Par exemple, l'étude des taux d'in- térêt dans le domaine bancaire, l'évolution d'une population au l du temps, la décharge d'un condensateur, la restitution d'un signal sonore, la datation au carbone 14...

2 P

Compléter ces suites logiques : 1. 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ;. . . 2. 0 ; 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; . . . 3. 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; . . . 4. 1 +¹₂; 1 + 1

1 +¹₂ ; 1 + 1 1 + 1

1 +¹₂

;. . .

5. 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; . . . 6. 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ;. . .

7. 1; 11; 21; 1211; 111221; 312211; . . . Compléter ces suites logiques :

1. 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ;. . . 2. 0 ; 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; . . . 3. 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; . . . 4. 1 +¹₂; 1 + 1

1 +¹₂ ; 1 + 1 1 + 1

1 +¹₂

;. . .

5. 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; . . . 6. 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ;. . .

7. 1; 11; 21; 1211; 111221; 312211; . . . Exercice 1

Option 1 : vous gagnez 1e le 31 dé- cembre puis chaque jour du mois de janvier, 1 000 000 e de plus que la veille.

Option 2 : vous gagnez 1e le 31 dé- cembre puis chaque jour du mois de janvier, le double de la veille.

Quel est le meilleur choix ?

Option 1 : vous gagnez 1e le 31 dé- cembre puis chaque jour du mois de janvier, 1 000 000 e de plus que la veille.

Option 2 : vous gagnez 1e le 31 dé- cembre puis chaque jour du mois de janvier, le double de la veille.

Quel est le meilleur choix ? Exercice 2

LYCÉEBLAISEPASCAL

1

S.DELOBEL

On peut obtenir les termes d'une suite à l'aide d'un tableur, d'une calculatrice, d'un algorithme,...

par exemple ci-dessous l'exercice précédent illustré sur tableur :

Pour repérer lestermes d'une suite, on nomme la suite par une lettre (souventu ou v) et on numérote chaque terme (le numéro s'appelle lerang).

u0 u1 u2 u3 ... un ...

le 1^erterme le 2^eterme le 3^eterme le 4^eterme ... le(n+ 1)^eterme ...

Parfois, on commence la numérotation àu₁...

Notation

On reprend l'énoncé de l'exercice 2. On note u_n la somme gagnée le n^e jour du mois de janvier avec l'option 1, et vn la somme gagnée le n^e jour du mois de janvier avec l'option 2.

Pour les deux options, le gain initial au 31 décembre est 1e, ce que l'on noteu₀ = 1et v0 = 1.

1. Donner les valeurs de u1,u2,u3,v1,v2,v3.

2. Donner le terme de rang 15 de la suite uet celui de rang 10 de la suitev.

3. Donner le 15^e terme de la suite u et le 10^e terme de la suite v.

On reprend l'énoncé de l'exercice 2. On note u_n la somme gagnée le n^e jour du mois de janvier avec l'option 1, et vn la somme gagnée le n^e jour du mois de janvier avec l'option 2.

Pour les deux options, le gain initial au 31 décembre est 1e, ce que l'on noteu₀ = 1et v0 = 1.

1. Donner les valeurs de u1,u2,u3,v1,v2,v3.

2. Donner le terme de rang 15 de la suite uet celui de rang 10 de la suitev.

3. Donner le 15^e terme de la suite u et le 10^e terme de la suite v.

Exercice 3

Pour chacune des questions 1 à 5 de l'exercice 1, donner en écriture mathématique la règle de calcul des termes de la suite.

Pour chacune des questions 1 à 5 de l'exercice 1, donner en écriture mathématique la règle de calcul des termes de la suite.

Exercice 4

lorsqu'on connaît chaque terme directement en fonction denon dit que la suite est dénie de manière explicite (ex : u_n=n²).

lorsqu'on connaît le premier terme et chacun des termes en fonction du précédent, on dit que la suite est déniepar récurrence (ex :un+1 = 1 +_u¹

n avec u0 = 1,5).

Vocabulaire

Ip.163 ex 1,2,4,6,7,10 ; p.164 ex. 21,22,26

a←1 b←1 Demandern

Pourk allant de 2 àn c←a+b

Acherc a←b b←c Fin Pour

Algorithme

1. Faire fonctionner cet algorithme à la main en complétant le tableau ci-dessous :

k 2 3 4 5 6

c 2

a 1 1

b 1 2

2. Quelle est la suite de l'exercice 1 générée par cet algorithme ?

3. En 1202, Fibonacci s'intéressa au problème de croissance d'une population de lapins dans des circonstances idéales :

on commence avec un couple de jeunes lapins ; un lapin âgé d'un mois est capable de se reproduire ;

un couple de lapins (en âge de se reproduire) donne naissance à un autre couple de lapins tous les mois ;

un lapin ne meurt jamais ( ! ! !)

Fibonacci se posa la question suivante : combien y aura-t-il de couples de lapins après une année ?

Si on note u_n le nombre de couples de lapins à l'issue du n^e mois, l'algorithme ci-dessus permet de calculer les termes u_n. La suite u s'appelle la suite de Fibonacci .

Combien y a-t-il de couples de lapins à l'issue du 6^e mois ?

4. Programmer cet algorithme à la calculatrice. Répondre alors à la question de Fibonacci.

5. Au bout de combien de temps y aura-t-il plus de 20 millions de couples de lapins ?

a←1 b←1 Demandern

Pourk allant de 2 àn c←a+b

Acherc a←b b←c Fin Pour

Algorithme

1. Faire fonctionner cet algorithme à la main en complétant le tableau ci-dessous :

k 2 3 4 5 6

c 2

a 1 1

b 1 2

2. Quelle est la suite de l'exercice 1 générée par cet algorithme ?

3. En 1202, Fibonacci s'intéressa au problème de croissance d'une population de lapins dans des circonstances idéales :

on commence avec un couple de jeunes lapins ; un lapin âgé d'un mois est capable de se reproduire ;

un couple de lapins (en âge de se reproduire) donne naissance à un autre couple de lapins tous les mois ;

un lapin ne meurt jamais ( ! ! !)

Fibonacci se posa la question suivante : combien y aura-t-il de couples de lapins après une année ?

Si on note u_n le nombre de couples de lapins à l'issue du n^e mois, l'algorithme ci-dessus permet de calculer les termes u_n. La suite u s'appelle la suite de Fibonacci .

Combien y a-t-il de couples de lapins à l'issue du 6^e mois ?

4. Programmer cet algorithme à la calculatrice. Répondre alors à la question de Fibonacci.

5. Au bout de combien de temps y aura-t-il plus de 20 millions de couples de lapins ? Exercice 5

ITP : suite de Syracuse (p.176 ex 99)

Comme pour les fonctions, on peut représenter une suite graphi- quement en portantnen abscisse et u_n ordonnée. On ne relie bien sûr pas les points obtenus.

Il existe d'autres types de repré- sentations (par exemple sur un axe)...

Donner, par lecture graphique, les neuf premiers termes de la suiteureprésentée ci-contre.

Donner, par lecture graphique, les neuf premiers termes de la suiteureprésentée ci-contre.

Exercice 6

n u_n

1 2 3 4 5 6 7 8

O 1 4

2.3 3.1

1 6

4.5 5 4

Ip.165 ex 39,43

3 S

Le triangle de Sierpinski est une fractale obtenue en répétant l'algorithme suivant à partir d'un triangle équilatéral :

pour chaque triangle colorié, tracer les segments joignant les milieux des côtés, de façon à obtenir 4 petits triangles équilatéraux, puis retirer le triangle central.

On part d'un triangle de côté 1 (son aire vaut alors ^√₄³).

On a représenté ci-dessous le triangle initial (n = 0) et les quatre premières étapes (n= 1,n= 2,n= 3,n= 4).

On note t_n le nombre de triangles coloriés après n étapes, et a_n l'aire de la surface coloriée après nétapes.

1. Que valent t₀,t₁,t₂,t₃,t₄? 2. Que valent a₀,a₁,a₂,a₃,a₄?

3. De façon générale, quel lien y a-t-il entre t_nett_n+1? Et entrea_neta_n+1? 4. En déduire t₅ eta₅.

5. Dans le cas général, pouvez-vous exprimer t_n eta_n de manière explicite (c'est-à- dire directement en fonction de n) ?

Le triangle de Sierpinski est une fractale obtenue en répétant l'algorithme suivant à partir d'un triangle équilatéral :

pour chaque triangle colorié, tracer les segments joignant les milieux des côtés, de façon à obtenir 4 petits triangles équilatéraux, puis retirer le triangle central.

On part d'un triangle de côté 1 (son aire vaut alors ^√₄³).

On a représenté ci-dessous le triangle initial (n = 0) et les quatre premières étapes (n= 1,n= 2,n= 3,n= 4).

On note t_n le nombre de triangles coloriés après n étapes, et a_n l'aire de la surface coloriée après nétapes.

1. Que valent t₀,t₁,t₂,t₃,t₄? 2. Que valent a₀,a₁,a₂,a₃,a₄?

3. De façon générale, quel lien y a-t-il entre t_nett_n+1? Et entrea_neta_n+1? 4. En déduire t₅ eta₅.

5. Dans le cas général, pouvez-vous exprimer t_n eta_n de manière explicite (c'est-à- dire directement en fonction de n) ?

Exercice 7

Une suiteu estgéométrique si on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par un même nombreq; c'est-à-dire que :

un+1 =q×un (pour toutnentier).

Le nombreq s'appelle la raison de la suite.

Vocabulaire

Exemple 1

la suite 1, 2, 4, 8, 16, ... est une suite géométrique de raison 2 ;

la suite t de l'exercice 7 est une suite géométrique de raison 3 et la suite a est une suite géométrique de raison ³₄.

Malgré les dégâts, peut-on dire si les suitesuetvci-dessous sont géométriques ou non ?

u : 1 3 9 25 75 225 675

v : 2 4 8 16 32 64 128

Malgré les dégâts, peut-on dire si les suitesuetvci-dessous sont géométriques ou non ?

u : 1 3 9 25 75 225 675

v : 2 4 8 16 32 64 128

Exercice 8

1. u est géométrique de premier terme u₀ =−2et de raison 3. Calculeru₄. 2. v est une suite géométrique de raison 0,5. On av₂₀= 24. Calculerv₂₁ etv₁₉. 3. w est une suite géométrique de raison (−2)avecw₀ = 3. Calculerw₁₂. 4. sest une suite géométrique de raison 2. On sait que s₅ = 7. Calculers₁₀. 5. t est géométrique,t₂ = 832ett₅ = 104. Quelle est la raison de cette suite ? 1. u est géométrique de premier terme u₀ =−2et de raison 3. Calculeru₄. 2. v est une suite géométrique de raison 0,5. On av₂₀= 24. Calculerv₂₁ etv₁₉. 3. w est une suite géométrique de raison (−2)avecw₀ = 3. Calculerw₁₂. 4. sest une suite géométrique de raison 2. On sait que s₅ = 7. Calculers₁₀. 5. t est géométrique,t₂ = 832ett₅ = 104. Quelle est la raison de cette suite ? Exercice 9

Ip.167 ex 49,50,51

Si u est une suite géométrique de premier termeu₀ et de raison q alors, pour tout n entier :

un=u0×qⁿ. Théorème 1.

Si le premier terme est u₁ alorsu_n=u₁×qⁿ⁻¹; si c'estu₂,u_n=u₂×qⁿ⁻², etc.

Refaire les questions 3 et5de l'exercice 9à l'aide de la formule du théorème 1.

Refaire les questions 3 et5de l'exercice 9à l'aide de la formule du théorème 1.

Exercice 10

Ip.167 ex 61,62,63 ; p.167 ex 59 ; p.172 ex 88, p.173 ex 91

4 S

,

1. Comme pour les fonctions, on peut parler du sens de variation d'une suite.

La suite test-elle croissante ou décroissante ? Et la suitea?

2. À l'aide d'un tableur, trouver à partir de quel rang N on aaN <0,01.

Que se passe-t-il pour la suite a lorsque n devient très grand ? Proposer une notation mathématique pour signaler ce phénomène.

1. Comme pour les fonctions, on peut parler du sens de variation d'une suite.

La suite test-elle croissante ou décroissante ? Et la suitea?

2. À l'aide d'un tableur, trouver à partir de quel rang N on aaN <0,01.

Que se passe-t-il pour la suite a lorsque n devient très grand ? Proposer une notation mathématique pour signaler ce phénomène.

Exercice 11 On reprend l'énoncé de l'exercice 7

Ip.169 ex 74,76 ; p.168 ex 72 ; p.174 ex 95,96