Correction exercice 8 – Probabilités Un joueur achète 10 euros un billet permettant de participer à un jeu constitué d

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C. GONTARD – C. DAVID – H. MEILLAUD Proba – Correction ex 8 1/2 Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Correction exercice 8 – Probabilités

Un joueur achète 10 euros un billet permettant de participer à un jeu constitué d’un grattage suivi d’une loterie.

Il gratte une case sur le billet. Il peut alors gagner 100 euros avec une probabilité de 1

50 ou bien ne rien gagner.

G désigne l’événement "le joueur gagne au grattage".

Il participe alors à la loterie avec le même billet. Il peut alors gagner 100 euros, 200 euros ou ne rien gagner.

L1 désigne l’événement : "le joueur gagne 100 euros à la loterie"

L₂ désigne l’événement : "le joueur gagne 200 euros à la loterie"

P désigne l’événement ; "le joueur ne gagne rien à la loterie".

Si le joueur n’a pas gagné au grattage, la probabilité qu’il gagne 100 euros à la loterie est 1

70 et la probabilité qu’il gagne 200 euros à la loterie est 1

490. 1.

a. Faisons un arbre (complété)

D’après l’énoncé : p( G)= 1

50 donc p

( )

^G^Ò ⁼¹⁻ ¹

50=49 50 pGÒ

( )

^L¹ ⁼₇₀¹ ^{et p}_G_Ò

( )

^L² ⁼₄₉₀¹

b. Calculons la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie sachant qu’il n’a rien gagné au grattage.

L₁, L₂ et P forment une partition de l’univers donc pÒ_G

( )

^L¹ ⁺^pÒ^G

( )

^L² ⁺^pÒ^G^{( P)}⁼¹

donc pÒ_G( P) =1− pÒ_G

( )

^L¹ ⁻^pÒ^G

( )

^L² ⁼¹⁻₇₀¹ ⁻₄₉₀¹ ⁼²⁴¹₂₄₅

La probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie sachant qu’il n’a rien gagné au grattage est 241 245 .

c. Gain alébrique : voir arbre

2. On note X la variable aléatoire qui représente le gain algébrique total du joueur, après grattage et loterie, déduction faite du prix du billet.

GÒ G

P : gain : -10 L2 : gain : 190

L1 : gain : 90 P : gain : 90 L2 : gain : 290 L₁ : gain : 190

1 50

49 50

1 10

8 10

1 10

1 70

1 490

241 245

(2)

C. GONTARD – C. DAVID – H. MEILLAUD Proba – Correction ex 8 2/2 La probabilité des événements "X=90" et "X=190" sont respectivement 2

125 et 1 250

a. Montrons que la probabilité que le joueur gagne 100 euros à la loterie, sachant qu’il a gagné 100 euros au grattage, est égale à 1

10 càd montrons que pG

( )

^L¹ ⁼₁₀¹ ^.

D’après l’arbre, l’événement "X=190" est la réunion des événements incompatibles G∩L1 et ÒG∩L2. Donc p( X=190)=p

(

^G^∩^L¹

)

⁺^p

(

^Ò^G^∩^L²

)

^.

Or, p( X=190)= 1

250 et p

(

^G^Ò^∩^L²

)

⁼^pÒ^G

( )

^L² ^p

( )

G donc p^Ò

(

^G^∩^L¹

)

⁼₂₅₀¹ ⁻⁴⁹₅₀^×₄₉₀¹ ⁼₅₀₀¹

donc pG

( )

^L¹ ⁼^p

(

^G^∩^L¹

)

p( G) = 1 500

1 50

= 1 10

La probabilité que le joueur gagne 100 euros à la loterie sachant qu’il a gagné 100 euros au grattage est 1 10 . b. Calculons la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu’il a gagné 100 euros au

grattage, càd calculons pG( P)

L’événement "X=90" est la réunion des événements incompatibles G∩P et ÒG∩L1

donc p( X=90)=p( G∩P)+p

(

^G^Ò^∩^L¹

)

^.

Or, p( X=90)= 2

125 et p

(

^G^Ò^∩^L¹

)

⁼^pÒ^G

( )

^L¹ ^p

( )

G donc p( G^Ò ∩P)= 2 125−49

50× 1 70= 1

500 donc pG( P)=p( G∩P)

p( G) = 1 500

1 50

= 1 10

La probabilité que le joueur perde à la loterie sachant qu’il a gagné au grattage est 1 10 c. Déterminons la loi de probabilité de X.

X peut prendre les valeurs -10, 90, 190 et 290.

L’événement "X=-10" est l’événement " le joueur perd au grattage et à la loterie" càd GÒ∩P donc p( X=-10)=p

(

G^Ò∩P

)

=pÒ_G( P)×p

( )

G^Ò = 49

50×241 245=241

250

L’événement "X=290" est l’événement "le joueur gagne au grattage et 200 euros à la loterie" càd G∩L2 donc p( X=290)=p

(

^G^∩^L²

)

⁼^p^G

( )

^L² ^×^{p( G)}⁼₅₀¹ ^×₁₀⁸ ⁼₅₀₀⁸ ⁼₁₂₅²

D’où la loi de probabilité de X donnée dans le tableau suivant :

xi -10 90 190 290

p

(

^X⁼^xⁱ

)

²⁴¹₂₅₀ ₁₂₅² ₂₅₀¹ ₁₂₅²

Calculons l’espérance de X.

E( X)=

∑

i=1 4

x_i p

(

^X⁼^xi

)

=-10×241

250+90× 2

125+190× 1

250+290× 8

500=-14 5

L’espérance de X est -14

5 càd que le jeu n’est pas avantageux pour le joueur .