Probl ˜ A¨me

(1)

MPSI A - MPSI B Ann ˜A ce 2014-2015. DS commun 1 le 21/11/14 16 novembre 2019

Exercice

Pour tous n∈N^∗ et (a1,· · ·, an)∈]0,1[ⁿ, on appelle produits de Weierstrass les expressions

Pn =

n

Y

k=1

(1 +ak), Mn =

n

Y

k=1

(1−ak).

On note aussiSn=a1+a2+· · ·+an.

L’objet de ce probl Ã¨me est de pr Ã csenter des in Ã cgalit Ã cs faisant intervenir ces objets ou des expressions analogues. Les parties sont ind Ã cpendantes entre elles.

Partie I. In ˜A cgalit ˜A cs classiques.

1. Encadrement deM_n.

a. Montrer par r ˜A ccurrence que 1−S_n≤M_n. b. Montrer par r ˜A ccurrence queM_n≤ _1+S¹

n. 2. Encadrement deP_n.

a. Montrer que 1 +Sn≤Pn.

b. On supposeSn<1, montrer quePn≤ _1−S¹

n.

3. a. Pour (x1,· · · , xn)∈]0,+∞[ⁿet (y1,· · ·, yn)∈]0,+∞[ⁿ, montrer l’in ˜A cgalit ˜A c de Cauchy-Schwarz

n

X

i=1

xiyi

!2

≤

n

X

i=1

x²_i

! _n X

i=1

y_i²

!

en utilisant

t7→

n

X

i=1

(tx_i+y_i)².

b. Soit (a₁,· · · , a_n)∈]0,1[ⁿ tel quea₁+· · ·+a_n = 1. En remarquant que a_i= (√

a_i)², montrer que

n²≤

n

X

i=1

1 a_i en utilisant l’in ˜A cgalit ˜A cde Cauchy-Schwarz.

Partie II. Images et fonctions.

Dans cette partie, on noteI= ]0,1[ et on consid ˜A¨re P=

(1−x)(1−y)(1−z)

xyz tq (x, y, z)∈I³et x+y+z= 1

.

1. En consid Ã crant un syst Ã¨me d’ Ã cquations aux inconnues r Ã cellesu,v, w, pr Ã cciser des r Ã celsa,b,ctels que

∀z∈I, (1 +z)²

z(1−z) =a+b z + c

1−z.

L’unicit Ã cdu triplet (a, b, c) n’est pas demand Ã ce. Dans votre r Ã cdaction, toute proposition induisant l’unicit Ã cd Ã cvalorisera votre copie. Soyez at- tentif au sens des implications que vous Ã ccrirez.

2. Former le tableau de variations de la fonctiong deIdansRd ˜A cfinie par :

∀z∈I, g(z) = (1 +z)² z(1−z).

3. Pour toutz ∈]0,1[, on d ˜A cfinit une fonction fz de ]0,1−z[ (not ˜A c Iz) dansRpar

∀t∈Iz, fz(t) =Kz

1

t −1 1

1−z−t −1

avecKz= 1 z −1.

Former le tableau de variations defz.

4. a. Rappeler la d ˜A cfinition defz(Iz) avec des quantificateurs.

b. Montrer que

P = [

z∈I

fz(Iz) = [

z∈I

[g(z),+∞[ = [8,+∞[.

c. Montrer que

∀(x, y, z)∈I³, x+y+z= 1⇒8xyz≤(1−x)(1−y)(1−z).

Cette cr´eation est mise `a disposition selon le Contrat

Paternit´e-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 S1404E

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Partie III. In ˜A cgalit ˜A c de Ky Fan.

Dans cette partie, on veut montrer l’in ˜Agalit ˜c Ac de Ky Fan pour toutn∈ N^∗ :

Fn: ∀(a1,· · · , an)∈

0,1 2

ⁿ ,

Qn i=1ai

Qn

i=1(1−a_i) ≤

Pn i=1ai

Pn

i=1(1−a_i) ⁿ

1. Preuve deF2.

a. Poura, b, a⁰, b⁰ r ˜A cels, d ˜A cvelopper et factoriser (a+b)²a⁰b⁰−ab(a⁰+ b⁰)².

Que devient cette relation sia⁰= 1−aetb⁰ = 1−b? b. MontrerF2.

2. Soitn∈N^∗avecn≥2.

a. Montrer queFn⇒ F2n.

b. Montrer queFn+1⇒ Fn. Poura₁,· · ·, a_nfix ˜A cs, on pourra consid ˜A crer

S_n n .

c. MontrerFn.

3. Dans cette question (a1,· · ·, an)∈]0,+∞[ⁿ. On note A=

1 2ai

, i∈J1, nK

. a. Soitλ >0. Traduire la proposition

∀i∈J1, nK, λa_i≤1 2

par une in ˜A cgalit ˜A cfaisant intervenir maxAou minA.

b. Rappeler la d Ã cfinition de la moyenne arithm Ã ctique et de la moyenne g Ã com Ã ctrique dea₁,· · ·, a_n. En utilisant l’in Ã cgalit Ã cde Ky Fan ( Ã l’exlusion de toute autre m Ã cthode), montrer une in Ã cgalit Ã c entre ces deux moyennes.

Probl ˜ A¨me

Dans ce probl Ã¨me,I d Ã csigne un intervalle ouvert deR. Uneinvolution de Iest une fonctionϕd Ã cfinie dansIdeR, Ã valeurs dansI, d Ã crivable Ã tous les ordres et telle queϕ◦ϕ= IdI.

Ce probl Ã¨me porte sur des involutions et les fonctions v Ã crifiant une certaine relation fonctionnelle attach Ã ce Ã cette involution.

On consid Ã¨re une Ã cquation fonctionnelleFϕet une Ã cquation diff Ã crentielle Eϕ

f solution deFϕ⇔

(f d ˜A crivable deI dansC f⁰ =f◦ϕ

f solution deEϕ⇔

(f deux fois d ˜A crivable deIdansC f⁰⁰−ϕ⁰f = 0 (fonction nulle)

Partie 1 : premier exemple.

Dans cette partiea∈R,ϕest d ˜A cfinie dansI=Rpar ϕ(x) =a−x

1. D ˜A cterminer l’ensemble des solutions deEϕ.

2. Montrer qu’il existe un unique r ˜A celcA d ˜˜ A cterminer tel queϕ(c) =c.

3. Calculer la solution (not ˜A cefc) deEϕ qui v ˜A crifie fc(c) =f_c⁰(c) = 1

V Ã crifier que fc est Ã valeurs r Ã celles, qu’elle s’exprime avec un cos et qu’elle est solution deFϕ.

Partie 2 : deuxi ˜A¨me exemple.

Dans cette partie,a >0,I= ]0,+∞[ etϕest d ˜A cfinie dans Ipar : ϕ(x) =a

x

1. Montrer queϕadmet un unique point fixec A pr ˜˜ A cciser.

2. D Ã cterminer un r Ã cela >0 tel que la fonction racine carr Ã ce soit une solution deFϕ. V Ã crifier que la fonction racine carr Ã ce est alors solution deEϕ.

3. Dans cette questiona= ¹₄.

a. Soitf1 etf2 deux solutions de Eϕ etW =f1f₂⁰−f₁⁰f2. Montrer queW est constante.

2 S1404E

(3)

b. Soitf1une solution deEϕqui ne s’annule pas. Montrer que siyv ˜A crifie f1y⁰−f₁⁰y= 1

alors elle est solution deEϕ.

c. D ˜A cterminer l’ensemble des solutions deEϕ.

4. Soit f une fonction deux fois d ˜A crivable dans ]0,+∞[. On lui associe la fonctionzd ˜A cfinie dansRpar :

z◦ln =f

Montrer quef est solution deEϕ si et seulement siz⁰⁰−z⁰+az= 0.

5. On d ˜A cfinit la puissance complexe d’un r ˜A cel strictement positif par :

∀x∈]0,+∞[,∀u∈C: x^u=e^u^ln(x)

Pour ufix Ã c, exprimer la d Ã criv Ã ce de la fonctionx7→xû comme une puissance dex.

6. Dans cette question, a 6= ¹₄. On note u1 et u2 des nombres complexes v ˜A crifiant

u₁+u₂= 1, u₁u₂=a On notefc la fonction d ˜A cfinie dansI par

fc(x) = u2−c u₂−u₁

x c

u1

+ c−u1

u₂−u₁ x

c u2

a. Montrer queu16=u2. Que se passe-t-il si 0< a < ¹₄ ou sia > ¹₄? b. Pr ˜A cciser, ˜A l’aide deu1et u2, les solutions deEϕ.

c. Montrer quef_cest l’unique solutionydeE_ϕqui v ˜A crifiey(c) =y⁰(c) = 1.

d. Montrer quefc est solution deFϕ.

Parties 3 : existence d’une solution de F_ϕ.

Dans cette partie, vous pourrez utiliser le th Ã cor Ã¨me des valeurs interm Ã cdiaires vu en terminale et rappel Ã cen d Ã cbut d’ann Ã ce. On admet que l’ Ã cquation diff Ã crentielleEϕv Ã crifie la propri Ã ct Ã csur les conditions de Cauchy :

∀a∈I,∀(v, v⁰)∈C²: il existe une unique solutiony deE_ϕ telle que

y(a) =v, y⁰(a) =v⁰

Soitϕune involution d ˜A cfinie dans un intervalle ouvertI, on d ˜A cfinitAet B par :

A={a∈I tels queϕ(a)< a}, B ={b∈Itels que b < ϕ(b)}

1. Point fixe pour une involution.

a. Montrer queAest non vide si et seulement siB est non vide.

b. Que se passe-t-il siAet B sont vides ?

c. Montrer que siAetBsont non vides alors il existec∈Itel queϕ(c) =c (point fixe deϕ)).

d. On supposeϕstrictement monotone. Montrer que – ϕstrictement croissante entra ˜AneR ϕ= IdI.

– ϕstrictement d ˜A ccroissante entra ˜Ane l’unicit ˜R A cdu point fixe.

2. Sif une solution deFϕ, montrer quef est deux fois d ˜A crivable et solution deEϕ.

3. Soitcun point fixe de ϕet yc la solution deEϕ telle queyc(c) =y⁰_c(c) = 1.

a. Montrer que, pour tous lestdansI : y_c⁰(t) = 1 +

Z t

c

ϕ⁰(u)y_c(u)du

b. Effectuer le changement de variablev=ϕ(u) dans l’int ˜A cgrale Z ϕ(t)

c

ϕ⁰(u)yc(u)du

c. Soitzla primitive dey_c◦ϕdansI telle quez(c) = 1. Montrer que y⁰_c(ϕ(t)) =z(t)

En d ˜A cduirez⁰⁰=ϕ⁰zpuisz=yc. 4. Montrer queFϕadmet une solution.

Partie 4 : involutions conjugu ˜A ces.

1. On consid Ã¨re deux intervalles ouverts I et J ainsi qu’une involutionϕde I et une bijectionhdeJ dansId Ã crivable Ã tous les ordres.

On d ˜A cfinitψdansJ par :

ψ=h⁻¹◦ϕ◦h

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a. Montrer queψest une involution deJ.

b. Soitf une solution deF_ϕ dansI. On d ˜A cfinitg dansJ parg=f◦h.

Montrer que

g⁰=h⁰×g◦ψ 2. Soitα∈]0, π[ fix ˜A c.

a. Pourθ∈]0, π[, calculer l’int ˜A cgrale Z θ

0

dt 1 + cosαcost en utilisant le changement de variableu= tan^t₂.

b. Montrer que l’applicationψα d ˜A cfinie dansJ = ]0, π[ par ψα(θ) =π−sinα

Z θ

0

dt 1 + cosαcost est une involution deJ.

3. Trouver une involutionϕ_α sur un intervalleIA d ˜˜ A cterminer ainsi qu’une bijectionhdeJ = ]0, π[ dansI tels que

ψα=h⁻¹◦ϕα◦h

On chercheraϕα parmi les exemples d Ã cj Ã pr Ã csent Ã cs.

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