DIFFUSION MOLÉCULAIRE 1) Diffusion de molécules sous l'action d'un gradient de concentration.
Un récipient contient un liquide homogène, de masse volumique µ, dans lequel on ajoute des macromolécules insolubles de masse volumique µ0µ0µ.
En admettant que ces macromolécules sont sphériques, on se propose de calculer leur rayon moyen R et leur masse m à partir des résultats de l'expérience suivante.
La solution, maintenue homogène jusqu'à la date t = 0, est abandonnée à elle-même à partir de cet instant.
Sous l'action des forces de pesanteur, les macromolécules se déplacent verticalement vers le fond du récipient en subissant de la part du fluide deux autres forces:
•une force de frottement de type visqueux F= −f v f constante positive,v vitesse des molécules •une force verticale, ascendante, d'intensité égale au poids du liquide déplacé (poussée d'Archimède).
a. Etablir l'équation différentielle du mouvement d'une macromolécule.
On prendra l'axe z'Oz vertical ascendant, l'origine O coïncidant avec le fond du récipient.
b. Montrer que ces particules atteignent une vitesse limite vℓ que l'on exprimera en fonction de m, f, µ, µ0et g (intensité du champ de pesanteur).
c. La vitesse limite étant atteinte très rapidement, donner l'expression du débit molaire surfacique JE d'entraînement des macromolécules à la cote z où leur concentration est c(z).
JE correspond au nombre de macromolécules traversant une surface unité horizontale pendant l'unité de temps.
d. La sédimentation ayant entraîné une inhomogénéité de la solution, le phénomène de diffusion dans le sens ascendant apparaît, le débit molaire surfacique de diffusion JD étant donné par la loi de Fick.
Déterminer, en régime permanent, l'expression de c(z).
e. Des mesures optiques montrent que, à 25°C, cz=0 =2 cz=2 cm. En déduire la masse molaire des macromolécules et leur rayon R.
Données : g=9,8 m s−2; µ=0,80 µ0=1000 kg m−3; N nombre d ' Avogadro =6,02 1023 D=k T
f où k est la constante de Boltzmann : k=1,38 10−23 J K−1. 2) Diffusion des molécules à travers une membrane.
La diffusion de molécules à travers une membrane est utilisée dans divers domaines, en médecine par exemple.
On utilise le dispositif représenté sur la figure.
Les deux compartiments, séparés par une membrane verticale poreuse, contiennent la même solution moléculaire mais à des concentrations molaires différentes c1 et c2c1c2.
Leurs volumes constants sont respectivement V1 et V2. La membrane, de surface S, d'épaisseur e, comporte par unité de surface n pores cylindriques d'axe horizontal normal à la paroi.
Tous les pores sont supposés identiques et dans chacun d'eux s'établit un flux macroscopique de molécules de débit molaire surfacique JD, tendant à égaliser les concentrations et indépendant de y et z.
A la date t, les concentrations maintenues uniformes dans les volumes V1 et V2sont respectivement c1tet c2t
et on note ∆c=c1t−c2t.
a. En admettant que dans un pore la concentration est une fonction affine de x, montrer que le débit molaire surfacique Jm des molécules à travers la membrane est de la forme: Jm=K∆ci i vecteur unitaire de Ox.
Exprimer K, perméabilité de la membrane, en fonction de n, e, D et r (rayon d'un pore).
b. Calculer r avec : K=10−6m s−1 ; e=10 µm ; D=10−9 m2s−1 ; n=106 pores par cm2. c. Etablir l'équation différentielle donnant ∆ct.
d. Intégrer cette équation. On notera 1
τ=K S
V11V12
.Calculer la durée nécessaire pour que ∆c devienne égale au dixième de sa valeur initiale si V1=2 litres, V2=1 litre et S=200 cm2.
x V1
c1 z
V2 c2 e
