TD2 : Séries numériques

Lycée Chrestien de Troyes, mathématiques, PC

TD 2 Séries numériques PC

N°1 : (somme télescopiques)

Montrer que les séries suivantes sont convergentes et calculer leurs sommes : 1.



_{n 1}n n



¹1



^2.

 

^22

1 1

1 2

sin cos cos

n n

n n

n







N°2 : (comparaison) Etudier la nature des séries suivantes dont le terme général est :

1. 2

1

n sin

u  n n 2. 1/2

sin2n

un  3. ^{ }

lnn2

n n

u  4. uⁿ^sin1n^{ln 1}

 

¹n N°3 : (CSSA) Justifier la convergence de la série ^{ }₃¹

2 1

n

n





 . Déterminer n tel que Sn soit une valeur approchée de S à 10^2 près (S étant la somme de la série).

En déduire un encadrement de S de longueur 10^-2. N°4 : (Comparaison série intégrale)

1. Montrer que série

 

2

1 ln ^b

n n n



, où b > 1 est convergente.

2. Encadrer son reste Rn d’ordre n.

3. En déduire un équivalent d’ordre n.

N°5 (Développement asymptotique)

Etudier la convergence de de la série ^{ }_{ }¹

1 1

ln 1

n

n n n





  

 

 



N°6 Etudier la convergence des séries suivantes définies par le terme générale :

1.

2

n 2n

n u n

 

 

 

 2.

 

¹

ln

n

wn

n n

 



3. ^sin

 

;

n 2n

v n



  (Calculer la somme) 4. x_n n sin¹ ; n

 

 

N°7 a et b deux réels : montrer que la série de Bertrand

 

^{ln b}

a

1

n n



est convergente si, et seulement si ou et a 1 a 1 b 1



 

N°8 Soit f une application de ⁺ dans ⁺, continue par morceaux positive et décroissante.

Montrer que la série de terme général un = ⁿ

n 1f ( t )dt f ( n )

 



est convergente.

N°9 Montre :  x

,

n x

n 0

e x

n!







 ;    

2 p 1 p p 0

sin x 1 x

2 p 1 !

 



 





^; _{   }

^{p 2 p}

p 0

cos x 1 x

2 p !









 Indication : une des formules de Taylor.