LYCEE O. C. M'SAKEN DEVOIR DE CONTROLE n° 1 Date

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LYCEE O. C. M'SAKEN DEVOIR DE CONTROLE n° 1

Date : 03/ 11 / 2010  MATHEMATIQUES  Durée : 2 heures Exercice 1 (3points)

Répondre par : Vrai ou Faux à chacune des questions suivantes. Aucune justification n’est demandée.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O, u, v ).

1) L’ensemble des points M(Z xiy) vérifiant Z1 Zi est la droite d’équation : yx. 2) Soit nIN, si le nombre complexe



¹^ⁱ ³



ⁿ est un réel alors n est de la forme 6k, où kIN. 3) Soit les points A i( )et B( 3).

L’affixe du point C tel que le triangle ABC est rectangle et isocèle en C et direct est : 2 1i

 .

4) L’ensemble de points M Z( = x +iy) vérifiant arg ³ [2 ] 3

Z

Z i p p

æ + ö÷

ç ÷º -

ç ÷

çè - ø est contenu dans la droite d’équation yx.

Exercice 2 (4,5 points)

Soit f la fonction définie sur IR par :



















2 4

2) sin(

1 9 )

(

2

x x x x

f

si si

0 0



 x x

1) a- Calculer



 x

x f( ) lim .

b- Montrer que, pour tout x0, on a :

2 4

) 1 ( 2 4

1



 

 





x x

f

x . En déduire



 x

x f( )

lim .

2) Soit la fonction gdéfinie par : 4 2. )

( x

x x

g   

a- Calculer

0

) ( lim

x

x g .

b- En déduire que lim ( ) 2

0

 

 x

x

f . La fonction f est-elle continue en 0 ?

3) Montrer que l’équation f(x)2 admet au moins une solution  dans l’intervalle ] π 4 ; π

2 [.

4) La courbe (C)ci-contre est la représentation graphique d’une fonction hcontinue sur IR.

La droite d’équation y 0 es une asymptote à(C)au voisinage de  et de .

Calculer les limites suivantes :



 x

x hof( )

lim ;



 x

x foh( )

lim et



 x

x hof( )

lim .

Exercice 3 (4,5 points)

Soit (U_n) la suite réelle définie par : U₁2 et

 

*

1 2

1 1 ,

2 1

n n

n

U U n

U



    

  .

1) Montrer que pour tout n de ^* , on a : 1U_n 2.

4^ème Maths2

(2)

2) a- Vérifier que : 



















 



  2

2 1

) 1 ( 2

) 1 ( 2 ) 1

1 (

n n n

n n

U U U

U

U et montrer que (U_n) est décroissante.

b- En déduire que (U_n) est convergente et déterminer sa limite.

3) a- Montrer que pour tout ^* n+1

 

de , on a : 0<U 1 1 1

2 ⁿ

n   U  .

b- En déduire que pour tout

1

*

n

1 2 de , on a : 0 U 1

n

  

     . c- Retrouver alors lim _n

n U

 . Exercice 4 (5 points)

1) Soit l’équation ( E ) : Z²2Z  1 eⁱ²^ 0, ^^

 

^0,^ ^.

a- Résoudre ( E ) dans £ .

b-Ecrire les solutions de (E) sous forme exponentielle. Donner ces solutions lorsque  ^π 3 . 2) Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct (O, u, v ).

on considère les points ^M¹



¹^^eⁱ^



^, ^M²



¹^^eⁱ^



^,^^

^{ }

^0,^ ^.

a- Vérifier que M ₂ est l’image de M₁ par une symétrie centrale que l’on précisera . b- * Déterminer et construire l’ensemble de points M₁ lorsque q décrit

 

^0,^ ^.

* En déduire l’ensemble décrit par M ₂.

3) Résoudre dans £ l’équation ( E’) : Z⁴ 2Z² 1 eⁱ²³ 0



    . Exercice 5 (3 points)

Pour tout nIN^on pose U_n 

n 1 3

1 2 1 1

1   





 ⁿ

k 1 k

1 et V_n  n U_n

. 1) Calculer U₁, U₂ et U₃.

2) a- Montrer que pour tout entier k1 on a :

1 2

1



k  k1 k  k 2

1 .

b- En déduire que : U_n 1  2 n − 2  Un1 puis 2 n1 − 2  Un  2 n − 1.

c- Etudier alors les des suites (U_n) et (V_n).

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



 

 

 









 

 



Bonne chance

^{ }