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L’´ecrire sous la forme Kerf ={αA+βB |α, β ∈R}, o`uA, B ∈E sont deux polynˆomes `a d´eterminer

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Academic year: 2021

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(1)

UNIVERSIT´E LILLE 1 M22-MIMP

2013-2014 Groupe 12

Interrogation du 1er avril 2014 (sans poisson !)

Soit E = R3[X] l’espace vectoriel des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a trois. On rappelle que (1, X, X2, X3) est une base de E. On pose

f(a3X3+a2X2+a1X+a0) = (a3−a1)X3+ (a2−a0)X

1. Montrer que f est une application lin´eaire deE dans E.

2. D´eterminer Kerf. L’´ecrire sous la forme Kerf ={αA+βB |α, β ∈R}, o`uA, B ∈E sont deux polynˆomes `a d´eterminer.

3.∗ Trouver une base de Kerf. Quelle est sa dimension ?

4. Montrer que Imf ⊂ Vect(X, X3). Trouver deux polynˆomes Q, R ∈ E tels que f(Q) =X etf(R) = X3, et en d´eduire Imf.

5. SoitG= Vect(Q, R) o`uQetRsont les polynˆomes trouv´es `a la question pr´ec´edente.

Si P = a3X3+a2X2+a1X +a0, on pose P1 = (a2−a0)Q+ (a3 −a1)R : v´erifier que P1 ∈G et que P2 = (P −P1)∈Kerf.

6. A l’aide de 5., montrer que G⊕Kerf =E.

Références

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