[ Corrigé du baccalauréat STL Polynésie septembre 2007 \ Biochimie–Génie biologique

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[ Corrigé du baccalauréat STL Polynésie septembre 2007 \ Biochimie–Génie biologique

Calculatrice autorisée

Durée de l’épreuve : 2 heures Coefficient : 2

EXERCICE1 9 points

1.

ti(en min) 0 10 15 20 25 30

Températureyi(en ˚C) 70 50 43,5 38 34 31,1

zi=ln¡ yi−20¢

3,91 3,40 3,16 2,89 2,64 2,41

2.

0 5 10 15 20 25

0 1 2 3 4

t(min) z

b b b b b b

3. Pour déterminer un ajustement affine dezent, on considère la droite D passant par le premier point et le dernier point du nuage.

a. Voir la figure.

b. Une équation de D estz=at+b. Les coordonnées du premier et du dernier point vérifient l’équation soit :







3, 91 = 0a+b 2, 41 = 30a+b

⇒(par différence)−1, 5=30a ⇐⇒ a= −1, 5

30 = −0, 05 etb=3, 91.

Une équation de D est :z= −0, 05t+3, 91

4. On a doncz=ln(y−20)= −0, 05t+3, 91 ⇐⇒ (par croissance de la fonction exponentielle) y−20=e⁻^0,05t⁺^3,91 ⇐⇒ y=20+e⁻^0,05t⁺^3,91.

5. Siy=21,z=ln(y−20)=ln 1=0.

Il faut donc résoudre : 0= −0, 05t+3, 91 ⇐⇒0, 05t=3, 91 ⇐⇒t=78, 2 (min) soit environ 1 h 18 min 12 s.

EXERCICE2 11 points

1. On sait que lim

t→+∞e⁻^t= lim

t→+∞e⁻^0,5t=0, donc lim

t→+∞Q(t)=0.

Ce résultat signifie graphiquement que l’axe des abscisses d’équationy=0 est asymptote à la représentation graphique de la fonctionQ.

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Biochimie A. P. M. E. P.

2. Qest dérivable sur [0 ;+∞[ et sur cet intervalle : Q^′(t)=5¡

−0, 5e⁻^0,5t−(−1)e⁻^t¢

=5¡

−0, 5e⁻^0,5t+e⁻^t¢

= 5¡

−0, 5e⁻^0,5t+e⁻^0,5te⁻^0,5t¢

=5e⁻^0,5t¡

−0, 5+e⁻^0,5t¢ .

3. On sait que 5e⁻^0,5t>0 quel que soit le réelt, donc le signe deQ^′(t) est celui de la parenthèse

−0, 5+e⁻^0,5t.

Or−0, 5+e⁻^0,5t>0 ⇐⇒ e⁻^0,5t>0, 5 ⇐⇒ −0, 5t>ln 0, 5 ⇐⇒ −ln 0, 5>0, 5t ⇐⇒ −2ln 0, 5>

t ⇐⇒ t< −2ln 0, 5.

En fait−2ln 0, 5= −2ln¹₂= −2(−ln 2)=2ln 2.

Conclusion : sur [0 ; 2ln 2], la dérivée est positive donc la fonctionQest croissante.

De la même façon on obtient que la fonctionQest décroissante sur l’intervalle [2ln 2 ;+∞[.

On a donc un maximumQ(2ln 2)=5¡

e⁻^{ln 2}−e⁻^{2 ln 2}¢

=5 µ 1

e^{ln 2}− 1 e^{2 ln 2}

¶

=

5 µ1

2−1 4

¶

=5×1 4=5

4=1, 25.

D’où le tableau de variations :

t 0 2ln 2 +∞

Q^′(t) + 0 −

Q(t) 0

5 4

0 4.

t 0 0,5 1 1,5 2 3 4 6 8

Q(t) 0 0,86 1,19 1,25 1,16 0,87 0,59 0,24 0,09

5. Voir à la fin.

6. On trace la droite d’équationy=0, 8 qui coupe la courbe représentative deQen deux points dont on trouve l’abscisse en les projetant sur l’axe des abscisses. On lit à peu près : 0,45 et 3,2 soit : le médicament est efficace entre 27 min et 3 h 12 min.

Polynésie 2 septembre 2007

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Biochimie A. P. M. E. P.

0 1 2 3 4 5 6 7

0 0,5 1,0

t(h) Q(t) (mg)

2ln 2≈1, 38 0,8

Polynésie 3 septembre 2007