[ Corrigé du baccalauréat STL Biochimie–Génie biologique \ Métropole juin 2007
EXERCICE1 9 points
Partie A
1. On sait que les solutions de l’équation différentielle sont de la forme :y=Ke−0,002t,K∈R.
2. Sif(t)=Ke−0,002t, f(0)=0, 1⇐⇒ Ke−0,002×0=0, 1⇐⇒ K=0, 1.
On a doncf(t)=0, 1e−0,002t.
3. a. On trace la droite d’équationy=0, 05 qui coupe la courbe représentative de la fonctionf en un point dont on trouve l’abscisse en le projetant sur l’axe des abscisses. On lit à peu près 345 min soit 5 h 45 min.
b. 12 h égalent 720 min. On trace la droite d’équationx=720 qui coupe la courbe représen- tative de la fonctionf en un point dont on trouve l’ordonnée en le projetant sur l’axe des ordonnées. On lit à peu près 0,025.
Partie B
1. a. Comme lim
t→+∞
−0, 002t= −∞, lim
t→+∞e−0,002t=0, donc lim
t→+∞0, 1.
b. Le résultat précédent signifie que la droite d’équationy=0, 1 est asymptote à la courbeC au voisinage de plus l’infini.
2. gest dérivable sur [0 ;+∞[ et sur cet intervalle : g′(t)= −0, 1×(−0, 002)e−0,002t=0,0002e−0,002t
3. Les deux facteurs deg′(t) sont supérieurs à zéro, doncg′(t)>0 sur [0 ;+∞[. La fonctiongest donc croissante sur cet intervalle deg(0)=0, 1−0, 1=0 à 0,1.
4. Une équation de la tangente à la courbeC au point d’abscisse 0 est de la forme :y=g(0)+ g′(0)(t−0).
Commeg(0)=0 etg′(0)=0,0002, une équation de la tangente à la courbeC au point d’abs- cisse 0 esty=0,0002t.
EXERCICE2 11 points
Partie A 1.
Avec électricité Sans électricité Total
Elèves en zone rurale 245 735 980
Elèves en zone urbaine 399 21 420
Total 644 756 1 400
2. p(A)= 420 1400= 42
140= 6 20= 3
10=0, 3 ou d’après l’énoncé 1− 70 100= 30
100=0, 3.
p(B)= 756 1400=27
50=0, 54.
3. Sur 756 élèves sans électricité, 735 habitent en zone rurale. La probabilité est donc égale à 735
756≈0, 97.
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Partie B
1. Recopier et compléter le tableau suivant :
ti 0 4 8 12 16 20 24
yi=ln (Ni) 9,90 9,47 8,56 8,22 8,00 7,10 6,66
2. Voir à la fin.
3. On trouve G(12 ; 8,27).
4. L’équation est de la forme :y= −0, 13t+b.
G(12 ; 8,27)∈D⇐⇒ 8, 27= −0, 13×12+b ⇐⇒8, 27= −1, 56+b ⇐⇒ b=9, 83.
L’équation est donc :y= −0, 13t+9, 83.
5. Il reste donc 1 % foyers sans électricité soit 0, 01×20000=200=N. Doncy=lnN=ln 200=
−0, 13t+9, 83 ⇐⇒0, 13t=9, 83−ln 200⇐⇒t=9, 83−ln 200
0, 13 ≈34, 84.
Il faudra donc environ 35 heures pour que 99 % des abonnés concernés retrouvent l’électricité.
0 4 8 12 16 20 24
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ten heures lnN
b b b b b b b
+
G
D
Métropole 2 juin 2007
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Annexe I
O 0, 1
tempsten min
yenmol·L−1
60 ≈345
≈0, 025
Métropole 3 juin 2007
