Variations et extremums

(1)

Variations et extremums www.mathGM.fr Les savoir-faire Variations d’une fonction Variations de fonctions de référence Extrema

Variations et extremums

www.mathGM.fr

Lycée Louise Michel (Gisors)

(2)

Les savoir-faire

070. Faire le lien entre la représentation graphique et le tableau de variations.

071. Utiliser un tableau de variations.

072. Déterminer les extremums d’une fonction.

073. Connaître et utiliser les variations des fonctions de référence.

(3)

Fonction croissante

Définition : fonction croissante

On dit qu’une fonctionf est croissante sur un intervalle, si et seulement si,pour tousnombres réelsaetbappartenant à cet intervalle on a :

Si on noteC_f la courbe re- présentative de la fonction f,C_f « monte ».

1 2

0 a b 1

f(a) f(b)

C_f

f est croissante sur[0 ; 1].

(4)

Fonction croissante

Sia < balorsf(a)6f(b)

1 2

0 a b 1

f(a) f(b)

C_f

(5)

Fonction croissante

Sia < balorsf(a)6f(b)

On dit qu’une fonction croissante conserve l’ordre, c’est-à-dire que les nombres et leurs images sont rangés dans le même ordre.

1 2

0 a b 1

f(a) f(b)

C_f

(6)

Fonction décroissante

Définition : fonction décroissante

On dit qu’une fonctionf est décroissante sur un intervalle, si et seulement si,pour tousnombres réelsaetbappartenant à cet intervalle on a :

Si on noteC_f la courbe re- présentative de la fonction f,C_f « descend ».

1 2

0 a b 1

f(b) f(a)

C_f

f est décroissante sur[0 ; 1].

(7)

Fonction décroissante

Sia < balorsf(a)>f(b)

1 2

0 a b 1

f(b) f(a)

C_f

(8)

Fonction décroissante

Sia < balorsf(a)>f(b)

On dit qu’une fonction dé- croissante change l’ordre, c’est-à-dire que les nombres et leurs images sont rangés dans un ordre inverse.

1 2

0 a b 1

f(b) f(a)

C_f

(9)

Fonction constante

Définition : fonction constante

On dit qu’une fonctionf est constante sur un intervalle, si et seulement si,pour tousnombres réelsaetbappartenant à cet intervalle on a :

1 2

0 a b 1

f(a) =f(b) C_f

f est constante sur[0 ; 1]

(10)

Fonction constante

Définition : fonction constante

On dit qu’une fonctionf est constante sur un intervalle, si et seulement si,pour tousnombres réelsaetbappartenant à cet intervalle on a :

Sia < balorsf(a) =f(b)

1 2

0 a b 1

f(a) =f(b) C_f

f est constante sur[0 ; 1]

(11)

Remarques

Si l’inégalitéa < bimplique l’inégalité stricte f(a)< f(b), on dit que la fonctionf eststrictement croissante sur l’intervalle.

(12)

Remarques

Si l’inégalitéa < bimplique l’inégalité stricte f(a)> f(b), on dit que la fonctionf eststrictement décroissante sur l’intervalle.

(13)

Remarques

On dit qu’une fonctionf estmonotone sur un intervalle si elle est soit croissante, soit décroissante sur cet intervalle.

(14)

Remarques

On dit qu’une fonctionf estmonotone sur un intervalle si elle est soit croissante, soit décroissante sur cet intervalle.

Un tableau de variation est un tableau qui résume de façon schématique les variations de la fonction.

(15)

Tableau de variations

−2 2 4 6

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

−5 0

x

f(x)

−5 −2 3 5

4 4

−1

6 6

0 0

antécédents

images

fest strictement décroissante sur l’intervalle[−5 ; −2]

fest strictement croissante sur l’intervalle[−2 ; 3]

(16)

Les fonctions affines

Soitf une fonction affine définie surRparf(x) =mx+p.

•Sim >0 alorsf est strictement croissante surR.

•Sim <0 alorsf est strictement décroissante surR.

•Sim= 0 alorsf est une fonction constante surR.

(17)

La fonction carré

Vidéo

•La fonction carré est croissante sur[0 ; +∞[;

•La fonction carré est décroissante sur sur ]− ∞; 0].

x

x²

−∞ 0 +∞

0

0 ¹

2 3 4 5 6 7 8

1 2

−1

−2 0

Exemple

On a représenté graphiquement la fonction carréf dans un repère.

1. Comparer graphiquementf(0,5)etf(1,5). Même question avec f(−1,5)etf(−1).

2. Vérifier par calcul le résultat de la question1. Vidéo

(18)

La fonction inverse

Vidéo

•La fonction inverse est strictement décroissante sur ]− ∞; 0[.

•La fonction inverse est strictement décroissante sur]0 ; +∞[.

x 1 x

−∞ 0 +∞

−1

−2

−3 1 2 3

1 2

−1

−2 0

(19)

La fonction racine carrée

Vidéo

La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 ; +∞[.

x

√x

0 +∞

0

0 ⁰ ^I

J

y=√ x

(20)

La fonction cube

Vidéo

La fonction cube est strictement croissante surR.

x

x³

−∞ +∞

−1

−2

−3 1 2 3

−1 0 1

(21)

Maximum

2 3 4

O I

J

Cf

x f(x)

a f(a)

f(a)est la plus grande valeur de la fonctionfsur l’intervalle.

C’est l’ordonnée du point le plus haut de la courbeCf.

(22)

Maximum

Définition : maximum

Dire que la fonctionf admet un maximum enasur un intervalle signifie que, pour tout nombre réelxappartenant à cet intervalle on af(x)6f(a).

Le maximum def sur cet intervalle est alors égal àf(a).

Il est atteint enx=a.

2 3 4

O I

J

Cf

x f(x)

a f(a)

f(a)est la plus grande valeur de la fonctionfsur l’intervalle.

C’est l’ordonnée du point le plus haut de la courbeCf.

(23)

Minimum

2 3 4

O I

J

Cf

x f(x)

a f(a)

f(a)est la plus petite valeur de la fonctionf sur l’intervalle.

C’est l’ordonnée du point le plus bas de la courbeCf.

(24)

Minimum

Définition : minimum

Dire que la fonctionf admet un minimum enasur un intervalle signifie que, pour tout nombre réelxappartenant à cet intervalle on af(x)>f(a).

Le minimum de f sur cet intervalle est alors égal à f(a).

Il est atteint enx=a.

2 3 4

O I

J

Cf

x f(x)

a f(a)

f(a)est la plus petite valeur de la fonctionf sur l’intervalle.

C’est l’ordonnée du point le plus bas de la courbeCf.

(25)

Remarques

Lorsque le maximum (ou minimum) existe, celui-ci est unique ; cependant, il peut être atteint pour plusieurs valeurs dex.

(26)

Remarques

Lorsque le maximum (ou minimum) existe, celui-ci est unique ; cependant, il peut être atteint pour plusieurs valeurs dex.

Maximum et minimum constituent les extrema de la fonction.