Agrégation de mathématiques, Leçons pour l'oral
Cyril Lanquetuit 21 juin 2015
Table des matières
Avant-propos i
Remerciements ii
Introduction iii
I Algèbre et géométrie 1
1 Groupe opérant sur un ensemble, exemple et applications 3
1.1 Denitions et premiers exemples . . . 3
1.1.1 Actions de groupe . . . 3
1.1.2 Orbites . . . 3
1.1.3 Stabilisateur . . . 4
1.2 Equation aux classes, théorème de Sylow . . . 4
1.2.1 Théorème . . . 4
1.2.2 Equation aux classes . . . 4
1.2.3 Application . . . 4
1.2.4 Théorèmes de Sylow . . . 4
1.3 Application à la géométrie . . . 5
1.3.1 Sous groupe ni deO3+(R) . . . 5
1.3.2 Coniques dans le plan ane euclidien . . . 5
1.3.3 Angles . . . 5
1.3.4 Les 57 coloriages du cube (formule de Burnside) . . . 5
2 Exemples et applications des notions de sous groupe distingué et de groupe quotient 6 2.1 Théorie des groupes . . . 6
2.1.1 Groupe distingué . . . 6
2.1.2 Groupe quotient . . . 6
2.1.3 Simplicité . . . 6
2.2 Les théorèmes de Sylow . . . 6
2.3 Applications à l'algèbre et à la géométrie . . . 7
3 Groupes nis. Exemples et applications 8
3.1 Théorie des groupes . . . 8
3.1.1 Théorème de Lagrange . . . 8
3.1.2 Action d'un groupe ni . . . 8
3.1.3 Théorèmes de Sylow . . . 9
3.2 Groupes nis : structure et cardinal . . . 9
3.2.1 Produit semi-direct . . . 9
3.2.2 Petits cardinaux . . . 9
3.3 Z/pZet groupes abéliens . . . 10
3.3.1 Groupes cycliques . . . 10
3.3.2 Produit direct de groupes cycliques . . . 10
3.3.3 Décomposition cyclique d'un groupe abélien ni . . . 10
3.4 Groupes simples non abéliens . . . 11
3.4.1 Le groupe symétrique . . . 11
4 Groupe des permutations d'un ensemble ni. Applications 12 4.1 Le groupe symétrique . . . 12
4.1.1 Dénition . . . 12
4.1.2 Lemme . . . 12
4.1.3 Dénition . . . 12
4.1.4 Théorème . . . 12
4.1.5 Générateurs . . . 12
4.1.6 La signature . . . 13
4.1.7 Dénition . . . 13
4.1.8 Théorème . . . 13
4.2 Application aux polynômes . . . 13
4.2.1 Polynômes symétriques . . . 13
4.3 Application à l'algèbre linéaire . . . 13
4.3.1 Déterminant . . . 13
4.3.2 Théorème de Sylow . . . 13
4.4 Application à la géométrie . . . 14
4.4.1 Polyèdres réguliers et sous groupes nis deSO3(R) . . . 14
5 Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension ni E, sous groupes de Gl(E). Applications 15 5.1 Le groupe linéaire . . . 15
5.1.1 Dénition . . . 15
5.1.2 Générateurs . . . 15
5.2 Sous groupes . . . 16
5.2.1 Sous groupes abéliens nis . . . 16
5.2.2 Sous groupes nis . . . 16
5.2.3 Sous groupes compacts deGln(R) . . . 16
5.3 Application . . . 16
6 Représentation et caractère d'un groupe ni sur un Cespace vectoriel 18
6.1 Denition . . . 18
6.2 Exemple . . . 18
7 Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications 19 7.1 Les groupes abéliens de type ni . . . 19
7.1.1 Partie génératrice d'un groupe . . . 19
7.1.2 Groupes monogènes . . . 19
7.1.3 Groupes de type ni . . . 20
7.2 Les groupes non abéliens . . . 20
7.2.1 Dévissage d'un groupe . . . 20
7.2.2 Groupe symétrique . . . 20
7.2.3 Groupe d'isométries . . . 21
8 Anneaux Z/nZ. Applications 22 8.1 Structure algébrique . . . 22
8.1.1 Structure de groupe . . . 22
8.1.2 Structure d'anneau . . . 22
8.1.3 Structure de corps . . . 23
8.1.4 Etude de Z/pα Z . . . 23
8.2 Arithmétique . . . 23
8.2.1 Divisibilité . . . 23
8.2.2 Primalité . . . 24
8.2.3 Cryptographie . . . 24
8.3 Applications . . . 24
8.3.1 Réciprocité quadratique . . . 24
8.3.2 Polynômes . . . 24
8.3.3 Groupe linéaire . . . 25
9 Nombres premiers. Applications. 26 9.1 Arithmétique . . . 26
9.2 Les nombres premiers en algèbre . . . 26
9.2.1 Théorie des groupes . . . 26
9.2.2 Algèbre commutative . . . 27
9.3 Les nombres premiers en géométrie . . . 27
9.4 Un peu d'analyse . . . 27
9.5 Cryptographie . . . 28
10 Anneaux principaux. Applications 29 10.1 Arithmétique . . . 29
10.1.1 Les idéaux . . . 29
10.1.2 Dénition . . . 29
10.1.3 Propriétés arithmétiques . . . 30
10.1.4 Idéaux d'un anneau principal . . . 30
10.1.5 Anneaux euclidiens . . . 31
10.2 Modules de type ni sur un anneau principal . . . 31
10.2.1 Classication . . . 31
10.3 Application à l'algèbre linéaire, réduction d'endomorphismes . . . 32
11 Corps nis. Applications 33 11.1 Dénition et propriétés générales . . . 33
11.1.1 Dénition . . . 33
11.1.2 Propriétés algébriques générales . . . 33
11.2 Pôlynomes sur les corps nis . . . 34
11.2.1 Fonctions polynomiales . . . 34
11.2.2 Factorisation des polynômes . . . 34
11.2.3 Carrés dans Fq . . . 35
11.2.4 Polynômes cyclotomiques . . . 35
11.3 Coniques . . . 35
11.3.1 Dénition . . . 35
11.3.2 Théorème . . . 36
11.4 Gln(Fq) . . . 36
12 Groupe des nombres complexes de module 1. Sous groupe des racines de l'unité. Applications 37 12.1 Groupe Udes nombres complexes de module 1 . . . 37
12.1.1 Structure géométrique . . . 37
12.1.2 Structure algèbrique . . . 37
12.1.3 Angles . . . 37
12.2 Sous groupes Un des racinesni`emes de l'unité . . . 37
12.2.1 Dénitions . . . 37
12.2.2 Polynomes cyclotomiques . . . 38
12.2.3 Points constructibles . . . 38
12.2.4 Théorème de Wedderburn . . . 38
13 Anneaux des séries formelles. Applications 39 13.1 Suites et Séries dans C . . . 39
13.1.1 Critère de convergence . . . 39
13.1.2 Série alternée . . . 39
13.2 Séries entières . . . 39
13.2.1 Rayon de convergence . . . 39
13.2.2 Disque de convergence . . . 40
13.3 Séries de fonctions . . . 40
13.3.1 Convergences : L1,L2, Proba . . . 40
13.4 Séries de Fourier . . . 40
13.4.1 Coecients de Fourier . . . 40
13.4.2 Projection . . . 40
13.4.3 Inégalité de Bessel . . . 40
13.4.4 Noyau de Dirichlet . . . 41
13.4.5 Égalité de Parceval . . . 41
13.4.6 Equation de la chaleur . . . 41
13.5 Holomorphie . . . 41
14 Polynômes à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et appli- cations 42 14.1 Irreductibilité . . . 42
14.1.1 Critère d'irréductibilité d'Eisenstein . . . 42
14.1.2 Algorithme de décomposition de Berlekamp . . . 42
14.1.3 Polygones constructibles à la règle et au compas . . . 42
14.2 Fractions Rationnelles . . . 42
15 Algèbre des polynômes à n indéterminées (n ≥ 2). Polynômes symé- triques. Applications 43 15.1 Polynômes Symétriques Élémentaires . . . 43
15.2 Sommes de Newton . . . 43
15.3 Théorème de Chevalley-Warning . . . 43
16 Exemples d'utilisation de la notion de dimension d'un espace vectoriel 44 16.1 Dénition . . . 44
16.1.1 K espace vectoriel . . . 44
16.1.2 Combinaison linéaire . . . 44
16.1.3 Famille génératrice . . . 44
16.1.4 Famille libre . . . 44
16.1.5 Hyperplan . . . 44
16.1.6 Propriétés . . . 45
16.1.7 Base . . . 45
16.1.8 Théorème de la base incomplète . . . 45
16.1.9 Steinitz . . . 45
16.1.10 Dimension . . . 45
16.2 Utilisation . . . 45
16.2.1 Théorème du rang . . . 45
16.2.2 Espace dual . . . 45
16.2.3 Isomorphisme . . . 45
16.2.4 Théorème de Sylow . . . 46
16.2.5 Théorème d'inertie de Sylvester . . . 46
17 Exemples d'actions de groupe sur les espaces de matrices 47 17.1 Espaces de matrices . . . 47
17.2 Action de groupe sur Gln(K) : Théorème de Sylow . . . 47
18 Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera à la dimension nie).
Rang. Exemples et applications 48
18.1 Dénition . . . 48
18.1.1 K espace vectoriel, Combinaison linéaire . . . 48
18.1.2 Famille génératrice, libre, base . . . 48
18.1.3 Propriétés, Hyperplan, Base incomplète, Steinitz, Dimension . . . 48
18.2 Utilisation . . . 48
18.2.1 Théorème du rang, Espace dual, Isomorphisme . . . 48
18.2.2 Théorèmes de Sylow et d'inertie de Sylvester . . . 48
19 Déterminant. Exemples et applications 49 19.1 Déterminant, dénition . . . 49
19.1.1 Forme n-linéaire alternée . . . 49
19.1.2 Propriétés . . . 49
19.1.3 Calcul pratique de déterminant . . . 49
19.2 Exemples et applications . . . 49
19.2.1 Déterminant, Discriminant, Résultant . . . 49
19.2.2 Van der Monde . . . 50
19.2.3 Théorème d'inertie de Sylvester . . . 50
20 Polynômes d'endomorphime en dimension nie. Réduction d'un endo- morphisme en dimension nie. Applications 51 20.1 Polynôme d'endomorphime . . . 51
20.2 Réduction d'un endomorphisme . . . 52
II Analyse et probabilités 55 21 Espace de fonctions. Exemples et applications 57 21.1 Fonctions dénies sur un K-espace vectoriel . . . 57
21.1.1 Hann Banach Analytique . . . 57
21.1.2 Hann Banach Géométrique . . . 57
21.2 Fonctions continues de X dans Y, deux espaces mètriques . . . 58
21.2.1 Théorème de Stone Weierstra¡ . . . 58
21.2.2 Caractérisation de compact . . . 58
21.2.3 Théorème d'Ascoli . . . 58
21.3 Les espaces Lp, Lp, lp(Ω) où Ωest un ouvert deRn . . . 58
21.3.1 Théorème de convergence dominée de Lebesgue . . . 58
21.3.2 L2 . . . 58
21.3.3 Lp(Ω) . . . 58
22 Exemples de parties denses et applications 59 22.1 Parties denses . . . 59
22.1.1 Qdense dansR . . . 59
22.1.2 Gln(C) dense dansM n(C) . . . 59
22.2 Applications . . . 59
22.2.1 Polynômes trigonométriques dense dansL2 . . . 59
22.2.2 Cayley-Hamilton . . . 59
22.2.3 Théorème de Baire . . . 60
23 Utilisation de la notion de compacité 61 23.1 Compacité . . . 61
23.1.1 Théorème de Bolzano Weierstra¡. . . 61
23.1.2 Caractérisation de compact . . . 61
23.2 Utilisation . . . 61
23.2.1 Théorème de Heine . . . 61
23.2.2 Convergence sur tout compact du disque de convergence . . . 61
23.2.3 Théorème d'Ascoli . . . 61
24 Connexité, exemples et applications 62 24.1 Denition . . . 62
24.1.1 Caractérisation . . . 62
24.1.2 Connexité par arcs . . . 62
24.1.3 Fermeture du graph de x↦sin(1x) . . . 62
24.2 Application . . . 62
24.2.1 Hann Banach . . . 62
24.2.2 Gln(C) est connexe . . . 62
24.2.3 Cayley-Hamilton . . . 62
25 Espaces complets. Exemples et applications 63 25.1 Espaces complets . . . 63
25.1.1 Espace vectoriel de dimension nie . . . 63
25.1.2 Banach . . . 63
25.1.3 Hilbert . . . 63
25.1.4 EspacesLp . . . 63
25.2 Applications . . . 63
25.2.1 Théorème du point xe . . . 63
25.2.2 Cauchy-Lipschitz . . . 64
25.2.3 Théorème de Banach . . . 64
26 Théorèmes de point xe. Exemples et applications 65 26.1 Théorème du point xe . . . 65
26.2 Théorème de Sylow . . . 65
26.3 Théorème de Cauchy-Lipschitz . . . 65
26.4 Théorème de Brower . . . 66
27 Prolongement de fonctions. Exemples et applications 67
27.1 Hann Banach . . . 67
27.1.1 Analytique . . . 67
27.1.2 Géométrique . . . 67
27.2 x ↦sin(1x) . . . 67
28 Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples 68 28.1 L(E), norme et continuité . . . 68
28.1.1 Norme sur Mn(K) . . . 68
28.1.2 L(E). . . 68
28.1.3 ~.~ . . . 68
28.1.4 Lc(E) . . . 68
28.1.5 Propriétés équivalente àf ∈Lc(E) . . . 68
28.2 Exemples . . . 69
28.2.1 Déterminant . . . 69
28.2.2 Cayley-Hamilton . . . 69
28.2.3 Théorème du point xe . . . 69
29 Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications 70 29.1 Dénition . . . 70
29.1.1 Hilbert . . . 70
29.1.2 Base hilbertienne . . . 70
29.2 Application, Fourier . . . 70
29.2.1 Polynômes trigonométriques dansL2. . . 70
29.2.2 Coecients de Fourier . . . 70
29.2.3 Projection . . . 71
29.2.4 Inégalité de Bessel . . . 71
29.2.5 Noyau de Dirichlet . . . 71
29.2.6 Égalité de Parceval . . . 71
29.2.7 Equation de la chaleur . . . 71
30 Applications diérentiables dénies sur un ouvert de Rn 72 30.1 Théorème d'inversion locale . . . 72
30.2 Rolle & Accroissements nis . . . 72
30.2.1 Théorème de Rolle . . . 72
30.2.2 Théorème des accroissements nis . . . 72
30.2.3 Inégalité des accroissement nis . . . 72
30.3 Formules de Taylor . . . 72
30.3.1 Égalité de Taylor-Lagrange . . . 72
30.3.2 Inégalité de Taylor-Lagrange . . . 73
30.3.3 Taylor-Lagrange avec reste intégral . . . 73
30.3.4 Taylor-Young . . . 73
30.4 Cauchy-Lipschitz . . . 73
31 Etude métrique des courbes. Exemples 74
31.1 Disque & Sphère . . . 74
31.2 Liens, construction . . . 74
31.3 Astroïde . . . 74
31.4 Cardioïde . . . 75
31.5 Oeuf double . . . 75
32 Sous variétées de Rn. Exemples 76 32.1 Dénition . . . 76
32.2 Surfaces . . . 76
32.3 Courbure . . . 76
32.4 Exemples . . . 76
32.4.1 Cylindre . . . 76
32.4.2 Sphère . . . 76
32.4.3 Tore . . . 76
33 Applications des formules de Taylor 78 33.1 Rolle & Accroissements nis . . . 78
33.1.1 Théorème de Rolle . . . 78
33.1.2 Théorème des accroissements nis . . . 78
33.1.3 Inégalité des accroissement nis . . . 78
33.2 Formules de Taylor . . . 78
33.2.1 Égalité de Taylor-Lagrange . . . 78
33.2.2 Égalité de Taylor-Lagrange . . . 78
33.2.3 Inégalité de Taylor-Lagrange . . . 78
33.2.4 Taylor-Lagrange avec reste intégral . . . 79
33.2.5 Taylor-Young . . . 79
33.3 Applications . . . 79
33.3.1 Théorème Central Limite . . . 79
33.3.2 Méthode de Newton . . . 79
33.3.3 Zéros d'une fonction analytique . . . 79
34 Problèmes d'extremums 80 34.1 Théorème de Heine . . . 80
34.2 Théorème du maximum, fonction holomorphe . . . 80
34.3 D'Alembert Gauss, théorème fondamental de l'algèbre . . . 80
35 Equations diérentiellesX′=f(t, X). Exemples d'études qualitatives des solutions 81 35.1 Théorème de Cauchy-Lipschitz, existence et unicité d'une solution . . . . 81
35.2 Théorème de Cauchy-Peano, existence d'une solution −approchée . . . . 81
35.3 Equation diérentielle d'ordre n →Système d'ordre 1 . . . 82
35.4 Applications physiques . . . 82
35.4.1 Equation de la chaleur . . . 82
35.4.2 Oscillateur harmonique amorti . . . 82
35.4.3 Généralisation : résolution d'une équation du second ordre . . . 82
36 Equations diérentielles linéaires. Sytèmes d'équations diérentielles linéaires. Exemples et applications 83 36.1 Résolvante . . . 83
36.2 Wronskien . . . 83
36.3 Système proie prédateur, équations de Lotka-Voltera . . . 83
37 Convergence des suites numériques. Exemples et applications 84 37.1 Non convergence de nsin1(n) . . . 84
37.2 ∑& lim . . . 84
37.3 Permutation des termes d'une série . . . 84
37.4 Formule de Stierling . . . 84
37.5 Transcendence dee. . . 84
38 Comportement asymptotique de suite numériques. Rapidité de conver- gence. Exemples 85 38.1 Moyenne de Césaro . . . 85
38.2 Rapidité de convergence . . . 85
38.3 Série harmonique & Formule de Stierling . . . 85
38.4 Méthode de Newton . . . 85
38.5 Transcendence dee. . . 85
39 Comportement d'une suite réelle ou vectorielle dénie par une itération un+1=f(un). Exemples 86 39.1 Suite récurrente du type un+1 =f(un) où f∶I ⊂R→I fermé . . . 86
39.1.1 f monotone sur I . . . 86
39.1.2 f continue sur I . . . 86
39.1.3 Point xe . . . 86
39.1.4 Exemple . . . 87
39.2 Convergence d'une suite vectorielle dénie par une itération . . . 87
39.2.1 Théorème du point xe . . . 87
39.2.2 Propriété . . . 87
39.3 Suites récurrentes linéaires . . . 87
III Développements 89
1 R est non dénombrable 91
2 Si p≡1mod4 est premier impair, ∃(a, b) ∈N2, p=a2+b2 92
3 Si n≥5,An est simple 93
4 Formule de Stierling n!∼√
2πn(ne)n 94
5 ∑k12 = π62 95
6 Tout corps ni est commutatif 96
7 57 colorations d'un cube avec 3 couleurs 97
8 Un corps K contenant R en son centre est isomorphe à R,CouH 98
9 Action de P SL2(Z) sur le demi plan de Poincarré 99
10 Si G sous groupe de Gln(Z), ∣G∣ ≤3n2 100
11 Les sous groupes d'exposant ni de Gln(C) sont nis 101
12 Cayley-Hamilton 102
13 Théorème de Baire 103
14 Théorème de Banach 104
15 Inversion locale 105
16(nsin1(n))n∈N diverge 106
17 L'inverse d'une fonction analytique est analytique 107
18 D'Alembert-Gauss 108
19 Décomposition polaire 109
20 Endomorphisme normal ⇔ diagonalisable en base orthonormée 110
21 Dunford-Jordan 111
22 Formule d'Euler - Solides de Platon 112
23 Hahn Banach (analytique) 113
24 Hahn Banach (géométrique) 114
25 Un théorème d'Erd˜os - Chevalley-Warning 115
26 Bolzano-Weierstra¡ 116
27 Ascoli 117
28 Théorème du point xe 118
29 Stone-Weierstra¡ 119
30 Théorèmes de Sylow 120
31F∗q est cyclique à q-1 éléments 121
32 Critères de compacité 122
33 Théorème d'inertie de Sylvester 123
34 Les isométries du cube 124
35 Théorème de Cantor 125
36 Théorème de Brower 126
37 Cauchy-Lipschitz 127
38 Points constructibles 128
39 Transcendance de e 129
Avant-propos
Ce document est une tentative d'agrégation des présentations de leçons d'oral des élèves ayant suivi les cours de la préparation à l'agrégation de mathématique à l'Université Pierre et Marie Curie entre 2008 et 2010.
Les chapitre 1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,21 et 39 furent rédigés en 2011, l'écriture du ma- nuscrit reprise en 2014.
Remerciements
Aux professeurs, aux khôlleurs et correcteurs de la préparation, Dominique BERNARDI
Calcul formel
Pierre CHAROLLOIS Calcul formel
Sinnou DAVID Leçons algèbre
Sylvain DELATTRE Probabilités et statistiques
Cyril DEMARCHE Cours analyse
Pascal DINGOYAN Colles analyse
Edwige GODLEWSKI Calcul scientique
Sidi-Mahmoud KABER
Calcul scientique
Pierre-Vincent KOSE- LEFF
Calcul formel
Laurent LAZZARINI Colles analyse
Jean-Pierre MARCO Oral analyse - Travaux diri- gés
Laurent MAZLIAK Probabilités et statistiques - Webmaster
Thérèse MERLIER Concours blancs
Vincent MICHEL
Concours blancs
Joseph OESTERLE Cours analyse
Matthieu ROMAGNY Oral algèbre
Eric SAIAS Cours algèbre
Nicolas SEGUIN Calcul scientique
Nicolas VAUCHELET Calcul scientique
Leonardo ZAPPONI Colles algèbre
Ainsi qu'aux camarades de la préparation à l'agregation des années 2008 à 2010
bruce.ricard@etu.upmc.fr, caroline.lecouet@etu.upmc.fr, charles.savel@etu.upmc.fr, laurent.duoux@etu.upmc.fr, marie.bort@etu.upmc.fr, marion.soullier@etu.upmc.fr, raphaelle.donde@etu.upmc.fr, re-
nan.calmet@etu.upmc.fr, christelle.lusso@free.fr, claire.lequeux@free.fr, franck.r.achard@free.fr, arthurrenaudineau@gmail.com, guillaume0gallois@gmail.com, julien.aurouet@gmail.com,
quentinduret@gmail.com, sarah.cohard@gmail.com, amel1804@hotmail.fr, antoine787@hotmail.com, campoy91@hotmail.com, carvalhojesus@hotmail.com, gavriloalexandre@hotmail.fr, greyeu@hotmail.com, j-stan.godfrin@hotmail.fr, john-stan.smith@hotmail.fr, m_nathaniel@hotmail.fr, natha-
liebeudez@hotmail.fr, pedro-pierre@hotmail.fr, remybg@hotmail.com, stephaniedoret@hotmail.fr, thibault.jolimoy@neuf.fr, aurelia.lorne@orange.fr, alexis.armand@wanadoo.fr, chet.gerard@wanadoo.fr, gaelle.ploton@wanadoo.fr, melanie.sellin@wanadoo.fr, biardseverine@yahoo.fr, jb_marchand@yahoo.com, julien.martin2@yahoo.fr, lucile_bois@yahoo.fr, mariethirion1987@yahoo.fr
et à tous ceux que j'aurai ici oublié de mentionner et qui ont contribué de près ou de loin à nous préparer à ce concours si exigeant.
Introduction
Première partie
Algèbre et géométrie
1 | Groupe opérant sur un ensemble, exemple et applications
Soit G un groupe, E un ensemble et (g, x) ∈G×E.
1.1 Denitions et premiers exemples
1.1.1 Actions de groupe Dénition
On dit que G opère sur E si l'on se donne un application de G×E dans E, telle que i)∀(g, g′) ∈G2,∀x∈E, g⋅ (g′⋅x) = (gg′) ⋅x
ii) ∀x∈E, e⋅x=x
Soitfg∶E→E, x↦g⋅x. L'applicationφ∶G→SE, g→fg est un morphisme de groupe.
Inversement, si φ∶G→SE est un morphisme de groupe, en posant g⋅x=φ(g)(x) pour g∈G etx∈E, on fait opérer G sur E.
Exemples
a) Gln(R)opère surRn parg⋅x=g(x).
b) Sn opère surK[X1, X2, ..., Xn]parσ⋅P =P(Xσ(1), Xσ(2), ..., Xσ(n)).
c) un groupe G opère sur lui même par(g, x) ↦gx(translation à gauche) ;(g, x) ↦gxg−1 (conjugaison).
Vocabulaire
Sig↦fg est injective, l'action est dite dèle.
Si∀(x, x′) ∈E2,∃(!)g∈G tel queg⋅x=x′, l'action est dite (simplement) transitive.
1.1.2 Orbites Dénition
Si G opère sur E, la relation xRy↔ ∃g ∈G, y=g⋅x est une relation d'équivalence sur E.
La classe de x est appelée orbite de x sous l'action de G sur E et notéeG⋅x= {g⋅x/g∈G}.
Si G opère transitivement, il n'y a alors qu'une seule orbite, E est alors un espace homo- gène.
1.1.3 Stabilisateur Dénition
Soit G opérant sur E etX⊂E.
Les ensembles GX = {g ∈G/g⋅X =X} et FX = {g∈G/∀x∈X, g⋅x =x} sont des sous groupes de G appelés stabilisateur et xateur de X.FX est distingué dansGX.
1.2 Equation aux classes, théorème de Sylow
1.2.1 Théorème
Soit G opérant sur E etx∈E, les ensemblesG⋅x et GGx sont équipotent.
L'orbite G⋅x est ni si et seulement siGx est d'indice ni dans G, s'il en est ainsi on a Card(G⋅x) = (G∶Gx).
1.2.2 Equation aux classes
Soit G ni opérant sur E ni etG⋅x1, G⋅x2, ..., G⋅xq les orbites deux à deux distinctes de G dans E, alors Card(E) = ∑qi=1Card(G⋅xi)
1.2.3 Application
Soient p premier et G un p-groupe opérant sur un ensemble E et EG = {x∈E/∀g∈ G, g⋅x=x}l'ensemble des points xes de E sous l'action de G, alorsCard(E) ≡Card(EG) mod p.
1.2.4 Théorèmes de Sylow
Si G est un groupe de cardinal pα⋅mavec p premier ne divisant pas m alors G admet au moins un sous groupe de cardinal pα appelé p-Sylow. Tout p-groupe de G est inclus dans un p-Sylow de G.
Les p-Sylow sont tous conjugués et forment une orbite de G sous l'action de G par automorphisme intérieur.
Un p-Sylow est distingué si et seulement s'il est l'unique p-Sylow.
Le nombre de p-Sylow est congru a 1 mod p et divise G.
Le nombre de p-Sylow divise m.
1.3 Application à la géométrie
1.3.1 Sous groupe ni de O3+(R) Théorème
Un groupe ni est isomorphe à un sous groupe de 03+(R) si et seulement s'il est isomorphe àZ/nZoù n≥1,Dnoù n≥2,A4,S4 ou A5.
Exemple
Le groupe des isométries laissant le tétraèdre invariant est isomorphe à A4. 1.3.2 Coniques dans le plan ane euclidien
Dénition
On appelle conique tout sous ensemble d'un espace ane euclidien E de dimension 2 de la forme Γf = {m ∈ E/f(m) = 0} où f est un polynôme de degré 2. Classier les coniques c'est décrire les orbites de l'ensembleC des coniques sous l'action des isométries de O(E), cette action est dénie parg⋅f =f○g−1.
1.3.3 Angles
Soit E un espace euclidien orienté Proposition
0+(E)agit simplement transitivement sur la sphère unité de E, cela permet de dénir l'angle orienté de deux vecteurs (ou deux demi-droites).
Proposition
O+(E)
{±Id} agit simplement transitivement sur l'ensemble des droites de E, cela permet de dénir l'angle orienté de deux droite comme la classe d'équivalence des paires de droites qui s'échangent par une isométrie.
1.3.4 Les 57 coloriages du cube (formule de Burnside)
Il existe 57 façons diérentes de colorier les faces d'un cube avec trois couleurs.
En notant X l'ensemble des coloriages ordonnés du cube∣X∣ =36, G≃S4 le groupe des isométries laissant le cube globalement invariant,
∣XG∣ =∣G1∣∑g∈G∣F ixg∣ =241 (36+3⋅34+6⋅33+8⋅32+6⋅33) =57
2 | Exemples et applications des no- tions de sous groupe distingué et de groupe quotient
2.1 Théorie des groupes
2.1.1 Groupe distingué Dénition
Un sous groupe H de G (H < G) est dit distingué dans G si et seulement si ∀g ∈ G, g⋅H=H⋅g, on note alorsH⊲G
2.1.2 Groupe quotient
Si H est un sous groupe de G, on peut construire un groupe quotient HG de loi com- patible avec celle de G si et seulement si H⊲G, le groupe quotient HG représente donc l'ensemble des classes d'équivalence pour la relationx≡y si et seulement six⋅H=y⋅H qui est la même si l'on considère les classe à droite puisque H est distingué.
2.1.3 Simplicité
Un groupe dont les seuls sous groupes distingués sont {1} et lui même est dit simple.
Théorème
An est simple pour n≥5.
2.2 Les théorèmes de Sylow
Dénition
On appelle p-groupe de Sylow ou p-Sylow tout groupe H d'un groupe G de cardinal pα⋅m où pfflm tel que ∣H∣ =pα.
Téorème
Si p est un entier premier divisant le cardinal d'un groupe G, alors G admet au moins un p-Sylow.
Corollaire
Si G est un groupe de cardinal pα⋅m avec p ffl m, p premier, alors G possède des sous-groupes d'ordre pq pour tout q≤α.
Théorème
Si G est un groupe de cardinalpα⋅mavec p premier, pfflm, alors Tout p-groupe de G est inclus dans un p-Sylow de G
Les p-Sylow sont tous conjugués et forment une orbite de G sous l'action de G par automorphisme intérieur
Un p-Sylow est distingué si et seulement si il est l'unique p-Sylow Le nombre de p-Sylow est congru à 1 mod p et divise |G|
Le nombre de p-Sylow divise m.
2.3 Applications à l'algèbre et à la géométrie
Un groupe d'ordre 63 ne peut pas être simple
Le nombre de 7-Sylow d'un groupe G d'ordre 63, divise 637 = 9 et est congru à 1 modulo 7, il y a donc un unique p-Sylow qui est donc distingué dans G qui n'est pas simple.
Dénition
Si G est non abélien, on appelle groupe dérivé du groupe G le groupe des commutateur de G on le note D(G) =< {ghg−1h−1,(g, h) ∈G2} >
Dénition
Un groupe G est résoluble si et seulement s'il existe{e} =G0⊂G1⊂...⊂Gn=G, tels que∀1≤i≤n−1gi sous groupe de gi+1 et GGi+1i soit abélien.
Un groupe est résoluble si et seulement si∃k∈Ntel que Dk(G) = {e} Dénition
Les groupes qui n'ont pour seuls sous groupe distingués {1} et eux même sont dit simples.
Théorème
Pour n≥5, le groupe alternéAn est simple.
Proposition
Les groupes simples ne sont pas résolubles.
Propositions
Le complexe z est constructible si et seulement si il existe une suite nie de corps L0 = Q ⊂ L1 ⊂ ... ⊂ Ln et [Li+1 ∶ Li] = 2 avec z ∈ Ln . [Q[exp(2iπn )] ∶ Q] = φ(n) l'indicatrice d'Euler.
Si le polygone régulier à n côté est constructible à la règle et au compas alors n est le produit d'une puissance de 2 et d'un nombre de Fermat 22m+1premier.
3 | Groupes nis. Exemples et ap- plications
3.1 Théorie des groupes
3.1.1 Théorème de Lagrange Dénition
Un groupe G est dit ni s'il n'a qu'un nombre ni d'éléments. On note alors |G|
l'ordre de G.
Dénition
Six∈G, on appelle ordre de x, l'ordre du sous groupe <x> engendré par x.
Théorème de Lagrange
L'ordre de tout sous groupe H de G divise l'ordre de G.
3.1.2 Action d'un groupe ni Equation aux classes
Si un groupe ni G agit sur un ensemble ni X, 01,02, ...,0n sont les orbites pour cette action tel que ∀1≤i≤n,0i=<xi >, alors ∣X∣ = ∑ni=1∣Oi∣ = ∑ni=1 ∣G∣
∣Gxi∣ où Gxi = {g∈ G/g⋅x=x}est le stabilisateur de xi
Lemme de Cauchy
Si G est un groupe d'ordre m et p premier tel que p|m alors G admet au moins un élément d'ordre p
Formule de Burside
Si G agit sur un ensemble ni X, en notant F ix(g) = {x ∈ X/g⋅x = x}, ∣XG∣ =
∣G1∣∑g∈g∣F ix(g)∣
Application
Il existe 57 façns de colorier un cube avec trois couleur,
∣XG∣ =∣G1∣∑g∈g∣F ix(g)∣ =241(36+3∗34+6∗33+8∗32+6∗33) =57
3.1.3 Théorèmes de Sylow
Si G est un groupe d'ordre m⋅pα avec p premier ne divisant pas m, alors il existe au moins un sous goupe de G d'ordrepα appelé p-Sylow.
Tout p-groupe de G est inclus dans un p-Sylow de G.
Les p-Sylow sont tous conjugués et forment une orbite de G sous l'action de G par automorphisme intérieur.
Un p-Sylow est distingué si et seulement s'il est l'unique p-Sylow.
Le nombre de p-Sylow est congru a 1 mod p et divise G.
Le nombre de p-Sylow divise m.
3.2 Groupes nis : structure et cardinal
3.2.1 Produit semi-direct
Soient N et H deux groupes et Aut(N) le groupe des automorphisme intérieur de N, φ∶→Aut(N)un automorphisme qui dénnit une opération de H sur N parh⋅n=φ(h)(n), on dénit sur lensemble N×H une loi par (n, h)(n′, h′) = (n(h⋅n′), hh′), alors N ×H muni de cette loi est un groupe.
Dénition
On appelle ce groupe produit semi-direct de N par H et on note N⋊φH ouN ⋊H. Critère de décomposition en produit semi-direct
Si on a deux groupe N et H de G avec
a) N sous groupe distingué de G b) N∩H=1
c) G = H N alorsG≃N⋊H
Dénition
Pour tout n ≥ 2, on appelle groupe diédrale de degré n, noté Dn, l'ensemble des isométries du plans qui conservent globalement un polygône régulier à n côtés.
proposition
On a l'isomorphismeDn≃Z/2Z⋊Z/nZ 3.2.2 Petits cardinaux
Soit G un groupe de cardinal m, Si m est premier,G≃Z/mZ, Si m = 4,G≃Z/4Zou Z/2Z×Z/2Z
Si m = 9,G≃Z/9Zou Z/3Z×Z/3Z Si m = 6,G≃Z/6Z,Z/2Z×Z/3Zou D3
Si m = 10,G≃Z/10Z,Z/2Z×Z/5Zou D5
Si m = 8,G≃Z/8Z,Z/2Z×Z/4Z,(Z/2Z)3,D4 ou H8 (groupe des quaternions)
3.3 Z/ p Z et groupes abéliens
Dénition
On dit qu'un groupe G ≠ {1} est simple si {1} et G sont ses seuls sous groupes distingués.
Proposition
Les seuls groupes simples abéliens sont les groupes cycliques d'ordre premier.
3.3.1 Groupes cycliques Proposition
Un groupe cyclique d'ordre m est isomorphe à Z/mZ.
Théorème
Si G = <x> est un groupe cyclique d'ordre m, pour tout diviseur d de m, il existe un unique sous groupe de G d'ordre d : le sous groupe engendré parxmd.
Proposition
Tout sous groupe ni du groupe multiplicatif d'un corps commutatif est cyclique.
3.3.2 Produit direct de groupes cycliques Exemple
Le groupe de Klein Z/2Z.
Théorème chinois
Si m et n sont deux entiers positifs non nuls,Z/mnZetZ/mZ×Z/nZsont isomorphes si et seulement si m et n son premiers entre eux.
Corollaire
Si m1, m2, ..., mn(n ≥ 2) sont des entiers positifs non nuls, alors Z/m1m2...mnZ et Z/m1Z×Z/m2Z×...×Z/mnZ sont isomorphes si et seulement si les mi sont premiers entre eux deux à deux.
3.3.3 Décomposition cyclique d'un groupe abélien ni Proposition
Si G est un groupe d'ordrem≥2, il existe des entiersq1≥2, q2, ..., qnuniques tels que
∀1≤i≤n−1, qi∣qi+1 et G soit isomorphe à Z/q1Z×Z/q2Z×...×Z/qnZ×.
Dénition
La suite (q1, q2, ..., qn) qui caractérise G à isomorphisme près est appelée suite des invariant de G.
Corollaire
Si G est un groupe d'ordrem=pα11pα22...pαnn,
Pour tout diviseur d de m, il existe un sous groupe de G d'ordre d.
Pour chacun des diviseurspαii, il existe un sous groupeHid'ordrepαii etHi= {x∈G/∃α∈ Ntel que l'ordre de x soit pα}, et l'on a G≃H1×H2×...×Hn.
Dénition
Les sous groupes H1, H2, ..., Hn sont appelés composantes primaires du groupe G.
∣G∣ =p2
Si p est premier et G un groupe d'ordrep2, alors G est isomorphe àZ/p2ZouZ/pZ× Z/pZ.
3.4 Groupes simples non abéliens
3.4.1 Le groupe symétrique Dénition
Pour tout entiern≥1, on appelle groupe symétriqueSn, le groupe des permutations de l'ensemble {1, 2, ..., n}.
Proposition
Sn est un groupe ni d'ordre n !, non abélien pour n>2. Proposition
Tout groupe ni d'ordre n est isomorphe à un sous groupe du groupe symétriqueSn. Dénition
On appelle signature d'une permutation σ∈Sn, le nombre (σ) =Π1≤i<j≤nσ(i)−σ(j) i−j =
±1.
On dit que σ est paire si(σ) =1, impaire si(σ) = −1. Dénition
Le noyau de l'application∶Sn→ {±1} s'appelle le groupe alterné An. Proposition
Pour tout entier n≥3,An est engendré par les 3-cycles.
Théorème
An est simple pour n≥5. Théorème
Les sous groupes nis de S03(R) sont cycliques, diédraux ou isomorphe àA4,S4 ou A5.
4 | Groupe des permutations d'un ensemble ni. Applications
4.1 Le groupe symétrique
4.1.1 Dénition
Le groupe symétrique Snest le groupe des permutations de l'ensemble {1, 2, ..., n}.
4.1.2 Lemme
Le cardinal du groupe symétrique Sn est n !.
4.1.3 Dénition
Les orbite des éléments de {1, 2, ..., n} sous l'action deSnsont appelés ses cycles, la longeur l d'un cycle correspond au cardinal de l'orbite associée, on parle alors de l-cycle.
L'ensemble des1≤i≤n, appartenant à l'un des cycles de σ∈Sn est appelé support de σ.
4.1.4 Théorème
Toute permutationσ∈Snadmet une décomposition unique (à l'ordre près) en produit de cycles à supports disjoints.
Dénition
Les permutation n'échangant que deux éléments de {1, 2, ..., n} sont les cycles de longueurs 2 et sont appelés transpositions.
4.1.5 Générateurs
Les transpositions engendrent Sn.
Les transpositions (i,i+1) pour 1≤i≤n−1engendrent Sn. Les transpositions (1,i) pour 2≤i≤n−1 engendrent Sn. La transposition (1,2) et le cycle (1, 2, ..., n) engendre Sn.
On ne peut pas trouver un génrateur unique,Sn n'est pas monogène.
4.1.6 La signature
On appelle signature d'une permutation σ∈Sn, le nombre(σ) =Π1≤i<j≤nσ(i)−i−σj(j)=
±1.
Si σ est le produit de n transpotitions, (σ) = (−1)n, si (σ) = 1, σ est dite paire, si (σ) = −1,σ est dite impaire.
4.1.7 Dénition
Le noyau de la signature, c'est à dire l'ensemble des permutations paires est appelé groupe alterné d'ordre n et est notéAn.
Proposition
Pour n≥3,iAnest engendré par les 3-cycles.
4.1.8 Théorème
Pour n≥5,An est simple, c'est à dire que ses seuls sous groupes distingués sont 1 et An.
4.2 Application aux polynômes
4.2.1 Polynômes symétriques
Soit K un corps, les polynômes symétriques deK[X1, X2, ..., Xn] sont les polynômes P tel que pour toute permutationσ∈Sn,P(X1, X2, ..., Xn) =P(Xσ(1), Xσ(2), ..., Xσ(n)).
Théorème
La sous algèbre des polynômes symétriques a coecient entier est engendrée pa les n pollynomes symétriques élémentaires :
σ1=X1+...+Xn,∀2≤k≤n−1, σk= ∑1≤i1≤...≤ik≤nXi1...Xik,σn=X1...Xn.
4.3 Application à l'algèbre linéaire
4.3.1 Déterminant
On utilise le groupe des permutation pour dénir le déterminant d'une matrice carrée de taille n :det(A) = ∑σ∈Sn(σ)Πni=1aσ(i),i. D'autre part en développant selon la ligne j, det(A) = ∑ni=1(−1)i+jdet(Ai,j) oùAi,j est la matrice obtenue à partir de A en suprimant la ligne i et la colone j.
4.3.2 Théorème de Sylow
Si G est un groupe de cardinal pα⋅mavec p premier ne divisant pas m alors G admet au moins un sous groupe de cardinalpα appelé p-Sylow.
4.4 Application à la géométrie
4.4.1 Polyèdres réguliers et sous groupes nis de SO3(R) Théorème
Les seuls sous-groupes nis deS03(R)sont isomorphes àZ/nZoùn≥1,Dn oùn≥2, A4,S4 ou A5.
Application
A un polyedre régulier de l'espace est associé le sous groupe deSO3(R)qui le stabilise, il est donc ni et l'étude précédente permet de montrer qu'il n'y a que cinq possibilités.
5 | Groupe linéaire d'un espace vec- toriel de dimension ni E, sous groupes de Gl(E). Applications
5.1 Le groupe linéaire
5.1.1 Dénition Dénition de Gl(E)
Soient K un corps commutatif et E u K-espace vectoriel de dimension ni, le groupe linéaire Gl(E) est le groupe des K-automorphismes de E, c'est à dire des applications K-linéaires bijectives de E dans E. Une application linéaire bijective est déterminée par une matrice deGln(K), l'ensemble des matrices inversibles à coecients dans K.
Théorème
Un critère pour déterminer qu'une matrice appartient à Gln(K) est la non nulité de son déterminant. Le noyau du déterminant est appelé groupe spécial linéaire et noté Sln(E)ou Sln(K).
Proposition
Si p est premier,α∈N∗ etq=pα,Fq désignant le corps à q éléments, alors
∣Gln(Fq)∣ = (qn−1)(q−q)...(qn−qn−1)et
∣Sln(Fq)∣ = (qn−1)(q−q)...(qn−qn−2)qn−1 5.1.2 Générateurs
Les matrices de la forme
⎛⎜⎜
⎜⎜⎜⎜
⎜⎜⎜⎜
⎝ 1
... 0
1 λ
1
0 ...
1
⎞⎟⎟
⎟⎟⎟⎟
⎟⎟⎟⎟
⎠
où λ∈K sont des dilatations.
Les matrices de la forme
⎛⎜⎜
⎜⎜⎜⎜
⎜⎜⎜⎜
⎝ 1
1
... 0
λ ...
0 ...
1 1
⎞⎟⎟
⎟⎟⎟⎟
⎟⎟⎟⎟
⎠
oùλ∈K sont des transvections.
Théorème
Les transvections engendrentSln(K). Les transvections et les dilatations engendrent Gln(K).
Corolaire
Le centre de Gln(K)est formé des homothéties.
5.2 Sous groupes
5.2.1 Sous groupes abéliens nis
Leurs éléments sont co-diagonalisables. Les valeurs propres des éléments d'un sous groupe abélien ni de GL(E) sont des racines de l'unité.
5.2.2 Sous groupes nis Théorème de Burnside
Les sous groupes de GLn(C) d'exposant ni sont nis.
Théorème de Cayley
Les sous groupes nis d'un groupe ni G sont isomorphes a un sous groupe du groupe des permutation de G
5.2.3 Sous groupes compacts de Gln(R) Théorème
Tout sous groupe compact est conjugué à un sous groupe de On(R). En particulier On(R) est un sous groupe maximal deGln(R)
5.3 Application
Proposition
Pour deux matrices A et B deMn(R)les polynômes caractéristiques de AB et de BA sont égaux
Théorèmes de Sylow
Si G est un groupe d'ordre m⋅pα avec p premier ne divisant pas m, alors il existe au moins un sous goupe de G d'ordrepα appelé p-Sylow.
Tout p-groupe de G est inclus dans un p-Sylow de G.
Les p-Sylow sont tous conjugués et forment une orbite de G sous l'action de G par automorphisme intérieur.
Un p-Sylow est distingué si et seulement s'il est l'unique p-Sylow.
Le nombre de p-Sylow est congru a 1 mod p et divise G.
Le nombre de p-Sylow divise m.
6 | Représentation et caractère d'un groupe ni sur un C espace vec- toriel
6.1 Denition
Un caractère sur un groupe G est un morphisme de G dans le groupe multiplicatif (C∗,⋅)du corps des complexes
6.2 Exemple
Le détérminant est un caractère de Gln(C) dansC∗
7 | Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications
7.1 Les groupes abéliens de type ni
7.1.1 Partie génératrice d'un groupe Dénition 1
Si G est un groupe et S une partie non vide de G, on appelle alors groupe engendré par S le plus petit sous groupe contenant S, on le note <S>.
<S> est l'intersection de tous les sous groupe de G contenant S.
Dénition 2
Si <S> = G on dit alors que S est une partie génératrice du groupe G.
Proposition 3
<S> = {x1x2...xn/n∈N,∀1<i<n, xi−1∈S} 7.1.2 Groupes monogènes
Dénition 4
Un groupe G est monogène s'il existe x dans G tel que <S> = G. Un groupe monogène ni est dit cyclique.
Théorème 5
Soit G =un groupe monogène, si G est inni alors G est isomorphe à Z muni de la loi + et ses 2 générateurs sont x et x−1. si G est de cardinal n alors G est isomorphe à Z/nZ muni de la loi + et ses générateurs sont lesxk tels que pgcd(k,n)=1.
Proposition 6
Le nombre de générateur d'un groupe cyclique d'ordre n est φ(n) =n∗Π(1−1/pi) (indicatrice d'Euler) où n = Πpiαi est la décomposition de n en produit de facteurs premiers.
Théorème d'Euler
Sia∈Z/nZ, alorsaφ(n)=1 mod n.
Exemple 8
Les générateurs de Z/nZsont les éléments de Z/nZ∗.
Les générateurs de l'ensemble des racines nième de l'unité sont les racines primitives de
l'unité : lesexp2iπnk tels que pgcd(k,n)=1.
7.1.3 Groupes de type ni Dénition 9
Un groupe est de type ni s'il admet une partie génératrice nie.
Théorème 10
Les sous groupes de type ni sont isomorphes à Zk×Z/a1Z×Z/a2Z...Z/anZ avec
∀1<i<n−1ai∣ai+1.
7.2 Les groupes non abéliens
7.2.1 Dévissage d'un groupe Dénition 11
On appelle groupe dérivé du groupe G le groupe engendré par les commutateurs de G, on le note D(G)=<ghg−1h−1,(g, h) ∈G2>.
Dénition 12
Un groupe G est résoluble ssi ∃e=G0⊂G1⊂...⊂Gn=G, tels que ∀1<i<n−1, Gi
soit un sous groupe deGi+1 et GGi+1i soit abélien.
Un groupe G est résoluble ssi ∃k∈N tel queDk(G) =e. Dénition 13
Un sous groupe H de G est distingué ssi ∀x∈G, xH =Hx. Un groupe G est simple si ses seuls sous groupes distingués sont G et e.
Proposition 14
Les groupes simples non abélien ne sont pas résolubles.
Théorème 15 : Théorème de Frobénius
Tout corps contenant les réels dans son centre et de dimension ni surRest isomorphe àR,C ouH(les quaternions).
7.2.2 Groupe symétrique Proposition 16
D(Sn) =An D(An) =An
Proposition 17
Sn est engendré par les transpositions.
Proposition 18
Anest engendré par les 3-cycles.
Théorème 19
Anest simple si n > 4.
Proposition 20
Sn n'est pas résoluble pour n > 4.
7.2.3 Groupe d'isométries Proposition 21
Si E est un espace vectoriel de dimension nie n, alors D(GL(E))=SL(E) sauf si n=2 K=F2. D(SL(E))=SL(E) sauf si n=2 et K=F2 ouF3.
Dans les 2 dénitions suivantes H est un hyperplan de E un espace vectoriel de di- mension nie, u un endomorphisme de GL(G) tel que u restreint à H soit l'identité Dénition 22
Dans les 4 cas équivalent suivant, on dit que u est une dilatation 1)det(u) =λ(u∉SL(E))
2)u admet une valeur propreλ≠1(u diagonalisable) 3)D=Im (u - Id) ⊄H
4)Dans une base B idoine MB(u) =
⎛⎜⎜
⎜⎝
1 0 ... 0 0 ... 0 ...
... 0 1 0 0 ... 0 λ
⎞⎟⎟
⎟⎠
, où λ≠1
Dénition 23
Dans les 4 cas équivalent suivants, on dit que u est une transvection 1)det(u)=1 (u∈SL(E))
2)u n'est pas diagonalisable 3)D=Im(u−Id) ⊂H
4)Dans une base B idoine MB(u) =
⎛⎜⎜
⎜⎝
1 0 ... 0 0 ... 0 ...
... 0 1 1 0 ... 0 1
⎞⎟⎟
⎟⎠ Proposition 24
SL(E) engendré par les transvections.
GL(E) engendré par les transvections et les dilatations.
Proposition 25
SO3(R) est simple engendré par les renversements orthogonaux.
Proposition 26 S= (0 −1
1 0)etT = (1 1
0 1) engendrent SL2(Z).
8 | Anneaux Z / n Z. Applications
8.1 Structure algébrique
8.1.1 Structure de groupe Dénition
Soit n∈N∗, on notenZ= {nk/k∈Z}, si x et y sont des entiers tels quex−y∈nZon dit que x et y sont congru modulo n, cette relation notée x ≡y mod n est une relation d'équivalence, on note x¯la classe de x.
Proposition
Pour tout diviseur d de n, il existe un unique sous groupe d'ordre d deZ/nZ.
Proposition
Soient a et n deux entiers, a et n sont premiers entre eux si et seulement si¯aengendre (Z/nZ,+).
8.1.2 Structure d'anneau
L'ensemble Z/nZest un anneau si on le muni des opérationsx¯+y¯=x¯+y etx¯y¯=xy¯ où x¯ety¯sont dansZ/nZet¯1 est l'unité.
Proposition
Les élément deZ/nZsont soit inversibles soit diviseurs de zéro.
Proposition
Les idéaux de Z/nZsont les sous groupe de (Z/nZ,+).
Les idéaux maximaux sont les idéaux premiers.
Dénition
On noteZ/nZ∗le groupe des inversibles deZ/nZet on noteφ(n)l'indicatrice d'Euler qui correspond au cardinal de cet ensemble.
Proposition
Les éléments inversibles sont les générateurs de (Z/nZ,+) Théorème chinois
Si m et n sont deux entier premiers entre eux les anneaux Z/nmZ et Z/nZ×Z/mZ sont isomorphes.
Théorème fondammental de l'arithmétique
Tout entier naturel n > 1 s'écrit de manière unique sous la forme n=Πri=1piαi où les pi sont des nombres premiers distincts et lesαi des entiers non nuls.
Corollaire
Les anneaux Z/nZetZ/p1α1Z×...×Z/prαrZ sont isomorphes.
On en déduit que les groupesZ/nZ∗ et(Z/p1α1Z)∗×...× (Z/prαrZ)∗ sont isomorphes.
Proposition
Le groupe de automorphisme intérieur de Z/nZ est isomorphe à (Z/nZ)∗ et a pour cardinalφ(n).
8.1.3 Structure de corps Théorème
Si q est premier, (Fq,×) est cyclique à q-1 élément 8.1.4 Etude de Z/pα
Z Proposition
Les sous groupes de Z/pαZoù p est premier etα∈N∗ sont ses idéaux et on a (0) ⊂ (pα−1) ⊂...⊂ (p) ⊂Z/pαZ.
Les élément deZ/pαZsont soit inversibles soit dans (p).
Proposition
Sin=Πri=1piαi est la décomposition de n en produit de facteurs premiers, φ(n) =Πri=1(piαi−piαi−1).
Proposition
Si p est premier,(Z/pZ∗,×) est cyclique donc isomorphe à(Z/(p−1)Z,+)
8.2 Arithmétique
8.2.1 Divisibilité Propostion
Soit n∈Nd'écriture décimalean...a1a0
modulo 2 et 5, n est congru à son chire des unitéa0
modulo 3 et 9, n est congru à a0+a1+...+an modulo 11, n est congru àa0−a1+...+ (−1)nan
modulo 7, n est congru àa0+3a1+2a2−a3−3a4−2a5+a6...
modulo 13, n est congru àa0−3a1−4a2−a3+3a4+4a5+a6+...
Exemple
135135 est divisible par 5, 9 et par 7, 11, 13 comme tout nombre de la formeαβγαβγ Théorème d'Euler
Soit k un entier premier avec n∈N/{0,1}, alors kφ(n)≡1 mod n où φ(n) est l'indi- catrice d'Euler de n : le nombre d'entiers premiers à n inférieur à n.
8.2.2 Primalité
Théorème de Chevalley Warning
Si(Fα)α∈A∈Fq[X1, X2, ..., Xn],∑α∈Adeg(Fα) <n,V = {x∈Fqn/∀α∈A, F(x) =0}, alorsq∣Card(V).
Un théorème d'Erd˜os
Si p est premier, (ai)1≤i≤2p−1 ∈Z2p−1, alors il existeS ⊂v1,2p−1w tel que |S| = p et p∣ ∑i∈Sai
8.2.3 Cryptographie
La diculté de factoriser les entier peut être utilisée pour créer des cryptosystème, RSA en est l'exemple le plus connu :
Soit p et q deux entiers premiers (environ 2048 bits chacun aujourd'hui pour que le chirement soit sÃr), n=pq, e premier avec φ(n) = (p−1)(q−1) et d l'inverse de e moduloφ(n) (obtenu par l'algorithme d'Euclide étendu).
Clé publique : (n,e), Clé privée : (n,d)
L'entier n est supposé non factorisable sans connaître p et q, d n'est donc pas calculable.
Pour envoyé un message m<n à Bob, Alice chire son message par me mod n, Bob le déchire en utilisant d :med=mkφ(n)+1=m mod n.
8.3 Applications
8.3.1 Réciprocité quadratique Dénition
On dit que a est un résidu quadratique modulo p s'il existe x∈Z tel quea≡x2 mod p
Proposition
∣{x2/x∈F∗p}∣ =p−21
-1 est un résidu quadratique modulo p si et seulement sip≡1mod 4 Symbole de Legendre
Si p > 2 est premier, ∀x∈Z/pZ,(xp) =xp−12 mod p vaut 0 si x = 0, 1 si x est un carré modulo p, -1 sinon.
En particulier(1p) =1,(−p1) = (−1)p−12 et(2p) = (−1)p28−1 Loi de réciprocité quadratique
Si p et q sont deux entiers premiers impairs distincts, (pq)(pq) = (−1)(p−12 )(q−12 ) 8.3.2 Polynômes
Critère d'Eisenstein
Soit K le corps des fractions d'un annneau factoriel A, si P(X) =anXn+...+a0 avec
∀1≤i≤n, ai ∈A et p irréductible dans A tel que pfflan, ∀0≤i≤n−1, p∣ai etp2 ffla0, alors P est irréductible dans K[X]
8.3.3 Groupe linéaire Proposition
Si p est premier,α∈N∗ etq=pα,Fq désignant le corps à q éléments, alors
∣Gln(Fq)∣ = (qn−1)(q−q)...(qn−qn−1)et
∣Sln(Fq)∣ = (qn−1)(q−q)...(qn−qn−2)qn−1
9 | Nombres premiers. Applications.
9.1 Arithmétique
Dénition
Un nombre entier est dit premier si et seulement s'il n'admet que deux diviseur : 1 et lui même.
Proposition
Il y a une innité de nomres premiers.
Factorialité de Z
Soient n∈NetPl'ensemble des nombres premiers, alors
∃k∈N,∃(p1, p2, ..., pk) ∈Pk distincts, ∃(α1, α2, ..., αk) ∈N∗k tels quen=Πki=1piαi
Cette décomposition en produit de facteurs premiers est unique à l'ordre près.
Proposition
Si m et n sont deux entiers qui s'écrivent respectivementp1α1p2α2...pkαk etp1β1p2β2...pkβk, alors
pgcd(m, n) =p1min(α1,β1)p2min(α2,β2)...pkmin(αk,βk)etppcm(m, n) =p1max(α1,β1)p2max(α2,β2)...pkmax(αk,βk) Lemme d'Euclide
Soit p un nombre premier divisant un produit bc d'entiers naturels, alors p divise a ou p divise b.
Petit théorème de Fermat
Soient p un entier premier et a un entier premier avec p, alors ap−1≡1mod p
9.2 Les nombres premiers en algèbre
9.2.1 Théorie des groupes Proposition
Les propositions suivantes sont équivalents (i) p∈Nest premier
(ii)(Z/pZ,+,×) est intègre (iii) (Z/pZ,+,×) est un corps Proposition
Soient p < q deux nombres premiers et G un groupe d'ordre pq, on connait parfaite- ment la structure de G :
Si q ≡ 1 mod p, si G est abélien, G = Z/pqZ, sinon G = Z/qZ⋊θZ/pZ où θ ∶Z/pZ → Aut(Z/qZ) est tel queθ(1)soit d'ordre p. Sinon G=Z/pqZ.
Proposition
Soient p un nombre premier impair et G un groupe d'ordre 2p, si G est abélien alors G=Z/2pZ, sinon G est le groupe diédralDp
Théorèmes de Sylow
Tout groupe ni admet au moins un p- groupe de Sylow. Si G est un groupe de cardinalm⋅pα avec p premier ne divisant pas m alors G admet au moins un sous groupe de cardinalpα appelé p-Sylow. Tout p-groupe de G est inclus dans un p-Sylow de G.
Les p-Sylow sont tous conjugués et forment une orbite de G sous l'action de G par automorphisme intérieur.
Un p-Sylow est distingué si et seulement s'il est l'unique p-Sylow.
Le nombre de p-Sylow est congru a 1 mod p et divise G.
Le nombre de p-Sylow divise m.
9.2.2 Algèbre commutative Théorème des restes chinois
Si pour 1≤i≤n, les pi sont des entiers premiers distincts, les anneauxZ/Πni=1piαiZ etΠni=1Z/piαiZsont isomorphes.
Frobenius
Soit K un corps commutatif de caractéristique p > 0, alors l'application F ∶K →K
x↦xp
appelé endomorphisme de Frobenius est unFp-automorphisme de corps.
9.3 Les nombres premiers en géométrie
Théorème
SoitE⊂Run sous corps,x∈Rest constructible s'il existe une suite de sous corps de Rtels queE=E0 ⊂E1⊂...⊂En avec x∈En et∀1≤i≤n−1,[Ei∶Ei+1] =2.
Théorème
Un polygone régulier à n cotés est constructible si et seulement si n est produit d'une puissance de 2 et de nombres de Fermat distincts de la forme 22k+1
9.4 Un peu d'analyse
Proposition
∑p∈P 1 p = +∞
Théorème des nombres premiers
Si pour n entier naturel, on notπ(n) le nombre d'entier premiers inférieurs ou égaux à n, alorsπ(n) ∼ logn(n)
