Mécaniciens 3ème semestre

EPF-LAUSANNE Laboratoire d'électromécanique et de machines électriques (LEME)

Mécaniciens 3ème semestre

EXERCICE No 22

Deux bobines, de résistances négligeables, parcourues par des courants i₁ et i₂, sont couplées magnétiquement. Soit L₁₁ et L₂₂ les inductances propres et L₁₂ l'inductance mutuelle.

Le facteur de couplage k = L₁₂ / L₁₁ L₂₂ définit la qualité de couplage (k = ± 1 pour un couplage parfait, k = 0 en l'absence de couplage).

• Exprimer les flux totalisés couplés avec chaque bobine.

• Calculer l'inductance résultante lorsque les deux bobines sont connectées en série et en parallèle.

• Que vaut cette inductance lorsque L₁₁ = L₂₂ = L pour les valeurs extrêmes de k ?

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CORRIGE DE L'EXERCICE No 22

• Soit L₁₁ et L₂₂ les inductances propres et L₁₂ = L₂₁ l'inductance mutuelle. Les flux totalisés couplés avec chaque bobine sont donnés par :

1 = L₁₁ i₁ + L₁₂ i₂

2 = L₂₂ i₂ + L₂₁ i₁ = L₂₂ i₂ + L₁₂ i₁

A) Cas de deux bobines connectées en série

• Du fait de la mise en série des bobines, on a : i₁ = i₂ = i

u_rés = u₁ + u₂ = R₁ i₁ + d₁

dt + R₂ i₂ + d₂ dt = R₁ + R₂ i + d

dt ₁ + ₂

= R₁ + R₂ i + L₁₁ + L₂₂ + 2 L₁₂di dt = R₁ + R₂ i + L_rés di

dt

L'inductance résultante est ainsi donnée par : L_rés = L₁₁ + L₂₂ + 2 L₁₂

• Sachant que L₁₁ = L₂₂ = L a) pour un couplage parfait :

k = 1 1 = L¹²

L²  L₁₂ = L ce qui donne L_rés = 4 L

k = - 1 L₁₂ = - L  L_rés = 2 L - 2 L = 0 b) en l'absence de couplage

k = 0 L₁₂ = 0 et L_rés = 2 L

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B) Cas de deux bobines connectées en parallèle

• Du fait de la mise en parallèle des bobines, on a (R₁ et R₂ étant négligeables) : u_rés = u₁ = u₂ = d₁

dt = d₂

dt = d_rés dt = d

dt L_rés i avec :

i = i₁ + i₂ On a aussi :

rés = 1 = 2 = L₁₁ i₁ + L₁₂ i₂ = L₂₂ i₂ + L₁₂ i₁ = L_rés i Or :

L₁₁ i₁ + L₁₂ i₂ = L₂₂ i₂ + L₁₂ i₁ i₁ = L₂₂- L₁₂

L₁₁ - L₁₂ i₂ D'autre part, on a :

rés = 2 = L₂₂ i₂ + L₁₂ i₁ = L_rés i₁ + i₂

En remplaçant i₁ par sa valeur en fonction de i₂ dans cette expression, il vient : L₂₂ + L₁₂ L₂₂ - L₁₂

L₁₁ - L₁₂ i₂ = L_rés L₂₂ - L₁₂

L₁₁ - L₁₂ + 1 i₂ D'où :

L_rés = L¹¹ L₂₂ - L₁₂² L11 + L22 - 2 L12

• Quand les deux bobines sont identiques (L₁₁ = L₂₂ = L), on a que : L_rés = L² - L₁₂²

2 L - 2 L₁₂ = L + L¹² 2 a) pour un couplage parfait :

• k = 1 L₁₂ = L  L_rés = 2 L 2 = L • k = - 1 L₁₂ = - L  L_rés = 0 b) en l'absence de couplage :

k = 0 L₁₂ = 0  L_rés = L 2