Mécaniciens 3ème semestre
EXERCICE No 11
Aux bornes de chaque circuit, on impose une tension sinusoïdale : )
sin(
2
4 t
u= ⋅ ⋅ ω⋅ [V]
Pour chacun des circuits, on demande de:
- calculer l'impédance Z (littéralement et numériquement) sous la forme A + j B ou sous la forme Z ejϕ;
- dessiner le diagramme complexe des courants et des tensions.
Application numérique pour:
R = 4 Ω L = 25,5 mH C = 640 µF f = 50 Hz
Pour chaque diagramme, préciser les échelles utilisées.
C R L C R
L
R
C
L
R
C L
R C
L
C
R L
C L
R
1 2
3 4
5 6
7
L'impédance équivalente est donnée par :
] [ 03 . 3 ) 4
1 ) (
( 1
2
1= + ⋅ − = + − = + j⋅ Ω
C LC R j
L C j R
Z ω
ω ω ω
] [ 02 .
5 37.21
1= ej o Ω
Z
Circuit 1
La valeur efficace complexe du courant :
] [ 48 . 0 634 . 0 796
. 02 0
. 5
4 37.21
21 . 37 0
1
A j
e e e Z
I U o o
o
j j
j = ⋅ = − ⋅
⋅
= ⋅
= −
Les valeurs efficaces complexes des tensions aux bornes de différents éléments valent : ]
[ 96
. 3 15 . 3 39 .
1 I 2 j e 127.21 V
C
UC = j ⋅ =− − = ⋅ −j o ω
] [ 18
. 3 92 . 1 53 .
2 j e 37.21 V
I R
UR = ⋅ = − = ⋅ −j o ] [ 38
. 6 08 . 5 85 .
3 j e 52.79 V
I jL
UL = ω⋅ = + = ⋅ j o
Le diagramme complexe des courants et tensions est donné par la figure suivante :
] [ 65
. 4 ] [ 37 . 3 2 . 3 1 )
( 2 2 2 46.5
2 2
2 2
2 2
2 − = − ⋅ Ω = ⋅ Ω
⋅ +
⋅
⋅ ⋅
⋅ + +
⋅
= ⋅ j e−j⋅ o
C L R
R j L
L R
R Z L
ω ω ω
ω ω
Circuit 2
La valeur efficace complexe du courant :
] [ 62 . 0 59 . 0 859
. 65 0
. 4
4 46.5
5 . 46 0
2
A j
e e e Z
I U o o
o
j j
j = ⋅ = + ⋅
⋅
= ⋅
= − ⋅
Les valeurs efficaces complexes des tensions aux bornes de différents éléments valent : ]
[ 27
. 4 94 . 2 1 .
1 I 3 j e 43.49 V
C
UC = j ⋅ = − = ⋅ −j o ω
] [ 07
. 3 94 . 2 89 .
0 j e 73.04 V
U U
UR = − C = + = ⋅ j o
] [ 07
. 3 94 . 2 89 .
0 j e73.04 V
U
UL = R = + = ⋅ j o
Les valeurs efficaces complexes des courants de différents éléments valent : ]
[ 76
. 0 73 . 0 22 .
0 j e 73.04 A
R
IR =UR = + = ⋅ j o
] [ 38
. 0 11 . 0 367 .
0 j e 16.96 A
jL
IL= UL = − = ⋅ −j o ω
Le diagramme complexe des courants et tensions est donné par la figure suivante :
] [ 11 . 13 1 4
3 2 = − ⋅ Ω
−
⋅
⋅ ⋅
−
= j
C L j L R
Z ωω
Circuit 3
La valeur efficace complexe du courant : ] [ 279 . 0 085 . 0 291
.
0 73.04
3
A j
Z e
I= U = ⋅ j o = + ⋅
Les valeurs efficaces complexes des tensions aux bornes de différents éléments valent : ]
[ 16
. 1 116 . 1 34 .
0 j e 73.04 V
I R
UR = ⋅ = + = ⋅ j o
] [ 826
. 3 116 . 1 65 .
3 j e 16.96 V
U U
UC = − R = − = ⋅ −j o ] [ 826
. 3 116 . 1 65 .
3 j e 16.96 V
U
UL= C = − = ⋅ −j o
Les valeurs efficaces complexes des courants de différents éléments valent : ]
[ 76
. 0 735 . 0 224 .
0 j e73.04 A
U jC
IC= ω⋅ C = + = ⋅ j o ] [ 47
. 0 456 . 0 139 .
0 j e 106.96 A
jL
IL= UL =− − = ⋅ −j o ω
Le diagramme complexe des courants et tensions est donné par la figure suivante :
] [ 05 . 6 42 . 2 1 )
1 (
1 2 2 2
2 2
2
4 2 = + ⋅ Ω
⋅
⋅ +
⋅
− ⋅
⋅
⋅ +
⋅
= +
⋅
⋅
⋅ + +
⋅
= j
C R
C L R
C j R
R C
R j L R
j
Z ω ω ω
ω ω ω
] [ 52
.
6 68.15
4= ⋅ej o Ω
Z
Circuit 4
La valeur efficace complexe du courant : ] [ 569 . 0 228 . 0 613
.
0 68.15
4
A j
Z e
I= U = ⋅ −j o = − ⋅
Les valeurs efficaces complexes des tensions aux bornes de différents éléments valent : ]
[ 91
. 4 827 . 1 557 .
4 j e 21.85 V
I jL
UL= ω⋅ = + = ⋅ j o
] [ 91
. 1 827 . 1 557 .
0 j e 106.96 V
U U
UC = − L=− − = ⋅ −j o ] [ 91
. 1 827 . 1 557 .
0 j e 106.96 V
U
UR = C =− − = ⋅ −j o
Les valeurs efficaces complexes des courants de différents éléments valent : ]
[ 477
. 0 456 . 0 139 .
0 j e 106.96 A
R
IR =UR =− − = ⋅ −j o ] [ 384
. 0 112 . 0 367 .
0 j e 16.96 A
U jC
IC= ω⋅ C = − = ⋅ −j o
Le diagramme complexe des courants et tensions est donné par la figure suivante :
] [ 116 . 1 66 . 2 3
) (
) / (
/
/
2 2 2 2 2 4 2 2 2
2 3 2 2 2
2
5 = − Ω
− + +
−
⋅
= −
−
⋅
= + j
LC R R C L R L
L R C L R j L R C
R L R j C L
C Z RL
ω ω
ωω ω ω
ω ω
Circuit 5
La valeur efficace complexe du courant : ] [ 305 . 0 1 045
.
1 16.96
5
A j
Z e
I= U = ⋅ j o = + ⋅
Les valeurs efficaces complexes des tensions aux bornes de différents éléments valent : ]
[ 4 V U
U U
UC = L = R = = ⋅
Les valeurs efficaces complexes des courants de différents éléments valent : ]
[
1 A
R IR =UR = ⋅
] [ 804 . 0 804 .
0 e 90 A
j U jC
IC= ω⋅ C = = ⋅ j o ] [ 499
. 0 499 .
0 e 90 A
jL j
IL = UL =− = ⋅ −j o⋅ ω
Le diagramme complexe des courants et tensions est donné par la figure suivante :
6.
] [ 952 . 7 922 . 2 3
1
) (
) (
) (
) (
2 2
2 4 2 2 2
2 3 2
6 = − ⋅ Ω
− + +
− +
⋅
= − +
+
−
+
⋅
= − j
LC C
L C
R
L C L C R j R jL
C R j
jL C R
j
Z ω ωω ω ωω
ω ω ω ω
Circuit 6
La valeur efficace complexe du courant : ] [ 404 . 0 199 . 0 451
.
0 63.74
6
A j
Z e
I= U = ⋅ j o = + ⋅
La valeur efficace complexe de la tension aux bornes du condensateur vaut:
] [ 4 V U
UC = = ⋅
Les valeurs efficaces complexes des courants de différents éléments valent : ]
[ 804 . 0 804 .
0 e 90 A
j U jC
IC= ω⋅ C = = ⋅ j o
] [ 446
. 0 399 . 0 199 .
0 j e 63.46 A
jL R
IRL U = − = ⋅ j o ⋅
= + −
ω
Les valeurs efficaces complexes des tensions aux bornes de différents éléments valent : ]
[ 784
. 1 596 . 1 796 .
0 j e 63.46 V
I R
UR = ⋅ RL= − = ⋅ −j o ] [ 579
. 3 596 . 1 204 .
3 j e26.54 V
I jL
UL = ω⋅ RL= + = ⋅ j o
Le diagramme complexe des courants et tensions est donné par la figure suivante :
] [ 926 . 1 463 . 2 1
1
1 ) (
1 ) (
1 ) (
1 ) (
2 2 2 2 2
2 2
7 = + ⋅ Ω
− +
+
−
⋅ +
−
= ⋅
−
⋅ +
−
= ⋅ j
C L L C
R
L C R C j
L R
L C j R
L C jR Z
ω ω
ω ω ω ω
ω ω ω ω
Circuit 7
La valeur efficace complexe du courant : ] [ 316 . 1 1 653
.
1 52.78
7
A j
Z e
I= U = ⋅ −j o = − ⋅
La valeur efficace complexe de la tension aux bornes de la résistance vaut:
] [ 4 V U UR = = ⋅
Les valeurs efficaces complexes des courants de différents éléments valent : ]
[ 1 A R
IR =UR = ⋅
] [ 316
. 1 316 .
1 e 90 A
j C
R j
ICL U =− = ⋅ j o⋅
= − −
Les valeurs efficaces complexes des tensions aux bornes de différents éléments valent : ω
] [ 549 .
10 V
I jL
UL= ω⋅ CL = ⋅ ] [ 549 . 1 6
V jC I
UC = ⋅ CL =− ⋅ ω
Le diagramme complexe des courants et tensions est donné par la figure suivante :
