L’INSTITUTFOURIER DE ANNALES

A L

E S

E D L ’IN IT ST T U

F O U R

ANNALES

DE

L’INSTITUT FOURIER

Laurent LAFFORGUE

Du transfert automorphe de Langlands aux formules de Poisson non linéaires

Tome 66, n^o3 (2016), p. 899-1012.

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Article mis en ligne dans le cadre du

DU TRANSFERT AUTOMORPHE DE LANGLANDS AUX FORMULES DE POISSON NON LINÉAIRES

par Laurent LAFFORGUE

Résumé. — On montre dans le cas des corps de fonctions que le transfert automorphe des groupes réductifs vers les groupes linéaires – qui est maintenant connu dans ce cas – permet de définir sur les groupes réductifs en chaque place des opérateurs de transformation de Fourier qui vérifient une formule de Poisson adélique globale, généralisant les formules de Poisson adéliques linéaires de Tate et Godement-Jacquet.

Abstract. — We prove in the case of function fields that the automorphic transfer from reductive groups to linear groups – which is by now known in that case – allows to define on reductive groups at each place Fourier transform operators which verify a global adelic Poisson formula, generalising the linear adelic Poisson formulas of Tate and Godement-Jacquet.

Introduction

Dans cet article, on se place sur un corps de fonctions F muni de son anneau des adèlesA.

Considérant un groupe réductif connexe (pas nécessairement déployé ni même quasi-déployé)GsurF et le groupe réductif complexeGb dual deG muni de l’action naturelle du groupe de Galois ΓF deF, on s’intéresse aux représentations de transfert continues

ρ:GboΓF →GLr(C).

On montre que le transfert automorphe de G à GLr via ρ permet de définir un espace de fonctions surG(A), appelées lesρ-fonctions, muni d’un automorphisme deρ-transformation de Fourierf 7→ fbpuis d’établir une

Mots-clés :corps de fonctions, adèles, groupes réductifs, transfert automorphe de Lan- glands, transformation de Fourier, formule de Poisson.

Classification math. :11R58, 11R56, 20G25, 20G30, 11F70, 43A30, 11M06.

formule de Poisson associée : celle-ci consiste à construire une fonctionnelle linéaire de l’espace des ρ-fonctions qui coïncide avec f 7→ P

γ∈G(F)f(γ) sur les ρ-fonctions à support compact et qui est laissée invariante par la ρ-transformation de Fourier.

La possibilité de définir un tel espace de fonctions muni d’une transfor- mation de Fourier associé à ρ et une fonctionnelle linéaire de cet espace qui étendef 7→P

γ∈G(F)f(γ) et satisfasse la formule de Poisson avait été conjecturée par A. Braverman et D. Kazhdan (voir [1]).

Comme le transfert automorphe deGà GL_rvia une telle représentation de transfertρest maintenant connu sur les corps de fonctionsF (grâce à [5]

et [9]), la formule de Poisson surG(A) associée à toute telle représentation ρest un théorème.

Le présent article complète les parties de la prépublication [6] (dont il corrige une erreur) et de l’article [8] consacrées à déduire des “formules de Poisson non linéaires” du transfert automorphe des groupes réductifsG vers les groupes linéaires GL_r.

On a aussi montré dans la prépublication [6] que, en sens inverse, les

“formules de Poisson non linéaires” sur les groupes réductifs sur un corps de fonctions permettent de construire des “noyaux du transfert” et donc de réaliser le transfert automorphe des groupes réductifs vers les groupes linéaires.

On montrera dans un article en préparation que cette implication en sens inverse vaut aussi sur les corps de nombres.

Décrivons maintenant le contenu de l’article.

Les sections 1 à 4 sont constituées de rappels.

La section 1 commence par rappeler la structure algébrique de l’ensemble {π}^G_x des représentations lisses admissibles irréductibles d’un groupe réduc- tifG(F_x) sur le corps localiséF_xdeF en une placex. Elle est caractérisée par le fait que les fonctions tracesπ7→Trπ(hx) des élémentshxde l’algèbre H^G_x des fonctions localement constantes à support compact surG(F_x) sont des polynômes. Puis, introduisant la mesure de Planchereldπ, la section 1 caractérise les élémentsh_x∈ H_x^G par leur décomposition spectrale

hx(•) = Z

dπ·hx,π(•)

dont les coefficientshx,π(•) doivent être des polynômes enπ.

La section 2, pour laquelle on renvoie au livre de référence [10], rappelle le théorème de décomposition spectrale de Langlands appliqué aux fonctions

G(F)\G(A)3g₁, g₂7→ X

γ∈G(F)

h(g₁⁻¹γ g₂)

associées à des éléments h de l’algèbre H^G des fonctions localement constantes à support compact surG(A).

La section 3 rappelle la transformation de Fourier linéaire des fonctions sur GLr(Fx), appelées fonctions de Schwartz, qui se prolongent en des fonc- tions localement constantes à support compact surM_r(F_x). Ces fonctions sont caractérisées par leur décomposition spectrale

fx(•) =|det(•)|^−r2 · Z

dπ·fx,π(•)·Lx

π^∨, q⁻

1

x2

dont les coefficients doivent être des fractions rationnelles enπadmettant un certain dénominateur commun polynomialLx

π^∨, q⁻

1

x2

−1

qui ne dé- pend que de π. La transformée de Fourier fbx d’une telle fonction fx est donnée spectralement comme

fb_x(•) =|det(•)|^−r2 · Z

dπ·f_x,π((•)⁻¹)·L_x π, qx⁻¹²

·ε_x

π, ψ_x, qx⁻¹²

où les valeurs propresεx

π, ψx, q⁻

1

x2

sont des polynômes inversibles enπ.

La section 4 rappelle la transformation de Fourier globale f 7→ fbdes fonctions de Schwartz sur GLr(A),→Mr(A) et la formule de Poisson

X

γ∈M_r(F)

f(γ) = X

γ∈M_r(F)

fb(γ)

puis sa décomposition spectrale due à Tate dans le casr= 1 (voir [11]), et à Godement et Jacquet dans le casr >2 (voir [3]). Cette décomposition spectrale s’exprime par le fait que, pour toute représentation automorphe π=N

x π_x de GL_r(A), la série formelle L(π, Z) =Y

x

Lx

πx, Z^deg(x)

est une fraction rationnelle et satisfait l’équation fonctionnelle L

π^∨, 1

q Z

=L(π, Z)·ε(π, ψ, Z) avec

ε(π, ψ, Z) =Y

x

εx

πx, ψx, Z^deg(x) .

La section 5 donne de la fonctionnelle de Poisson f 7→ X

γ∈Mr(F)

f(γ)

une expression purement multiplicative, c’est-à-dire qui s’exprime unique- ment en termes de GLr(A) et de son sous-groupe discret GLr(F). On choi- sit pour cela n’importe quelle place x₀ de F en laquelle f admette une factorisation

f =fx₀⊗f^x0

par un facteur non ramifié fx₀ : GLr(Ox₀)\GLr(Fx₀)/GLr(Ox₀) →C, et on écritfx₀ comme la somme d’une série

f_x0 = X

N,N⁰∈N

f_x^N,N0

0

de fonctionsf_x^N,N0

0 qui ne dépendent que de la décomposition spectrale de fx₀ et qui sont à support compact ainsi que leurs transformées de Fourier.

On montre alors, en se fondant sur les propriétés globales des fonctions L(π, Z) des représentations automorphes π, que la série formelle

X

N,N⁰∈N

Z^N+N0· X

γ∈GLr(F)

f_x^N,N0

0 ⊗f^x0 (γ)

est une fraction rationnelle dont la “valeur régularisée” enZ= 1 est égale à S(f) = X

γ∈GLr(F)

f(γ) + X

γ∈GLr(F)

fb(γ)− X

γ∈Mr(F)

f(γ) et vérifie donc la formule de Poisson

S(f) =S(fb).

La section 6 s’appuie sur les caractérisations spectrales de la section 3 pour proposer une définition spectrale très générale d’un espace de ρ- fonctions surG(Fx) muni d’un automorphisme deρ-transformation de Fou- rier, en supposant donnés des dénominateurs

Lx(ρ, π, Z), π∈ {π}^G_x,

qui sont les inverses de polynômes enπetZ, et des valeurs propres εx(ρ, π, Z), π∈ {π}^G_x ,

qui sont des polynômes inversibles enπetZ^±1.

Ayant choisi un caractère detρ:G→Gm, lesρ-fonctions surG(Fx) sont définies par leur décomposition spectrale

fx(•) =|detρ(•)|⁻¹² · Z

dπ·fx,π(•)·Lx

ρ, π^∨, q⁻

1

x2

dont les coefficients doivent être des fractions rationnelles enπadmettant Lx

ρ, π^∨, q⁻

1

x2

pour dénominateur commun, et leurs ρ-transformées de Fourier sont définies spectralement par

fb_x(•) =|det_ρ(•)|⁻¹² · Z

dπ·f_x,π((•)⁻¹)·L_x

ρ, π, qx⁻¹²

·ε_x

ρ, π, qx⁻¹²

. La section 7 définit l’espace des ρ-fonctions sur G(A) et son automor- phisme de ρ-transformation de Fourier en formant simplement le produit sur toutes les places deF des espaces de ρ-fonctions locales munis de leur automorphisme de ρ-transformation de Fourier locale. On écrit toute ρ- fonction locale non ramifiée

f_x0 :G(O_x0)\G(F_x0)/G(O_x0)→C comme la somme d’une série

f_x0 = X

N,N⁰∈N

f_x^N,N0

0

de fonctionsf_x^N,N₀ ⁰ qui ne dépendent que de la décomposition spectrale de fx₀et qui sont à support compact dansG(Fx₀) ainsi que leurρ-transformée de Fourier. On dit alors que la formule de Poisson est satisfaite si, pour toute ρ-fonctionf surG(A) factorisée en

f =fx0⊗f^x0, la série formelle

X

N,N⁰∈N

Z^N+N0· X

γ∈G(F)

f_x^N,N₀ ⁰ ⊗f^x0 (γ)

est une fraction rationnelle dont la “valeur régularisée”S(f) enZ = 1 ne dépend pas du choix de la placex0 et vérifie

S(f) =S(fb).

La section 8 considère le cas oùG=T est un tore et où la représentation de transfert ρ =ρ_T : TboΓ_F → GL_r(C) envoie Tb dans le tore diagonal (C^×)^r et fait agir ΓF sur C^r par permutation de ses r vecteurs de base.

Cela permet de définir en toute placexdeF des facteurs Lx(ρT, χ, Z) et εx(ρT, χ, Z), χ∈ {π}^T_x,

puis de montrer que l’espace des ρ_T-fonctions sur T(A) muni de sa ρ_T- transformation de Fourier satisfait la formule de Poisson au sens de la section précédente. Dans ce cas, les séries

X

N,N⁰∈N

X

γ∈G(F)

f_x^N,N₀ ⁰⊗f^x0 (γ)

sont même absolument convergentes et égales àS(f).

La section 9 considère le cas d’un groupe réductifGquasi-déployé surF, donc muni d’une paire de Borel (T, B =T ·N_B), dont le tore maximalT est muni d’une représentation de transfertρT :TboΓF →GLr(C) comme à la section 8. On suppose donnée en chaque placex∈ |F|une famille de facteurs

L_x(ρ, π, Z) et ε_x(ρ, π, Z), π∈ {π}^G_x , qui coïncident avec les

L_x(ρ_T, χ, Z) et ε_x(ρ_T, χ, Z), χ∈ {π}^T_x,

en les représentationsπ∈ {π}^G_x induites par des caractèresχ∈ {π}^T_x. On montre alors que laρT-formule de Poisson pour lesρT-fonctions surT(A) induit pour lesρ-fonctions surG(A) une forme faible de formule de Poisson obtenue après moyennisation par l’opérateur

Z

N_B(F)\N_B(A)

du .

Enfin, la section 10 considère un groupe réductif G sur F et une re- présentation de transfert ρ: GboΓF → GLr(C), sous la seule hypothèse d’existence d’un caractère

detG:G→G^m

dont le cocaractère central dualdet[_G :C^× →Gb agisse sur C^r par z7→z.

On montre que le transfert automorphe de G à GLr via ρ (connu grâce à [5] et [9]) permet de définir en toute placexdeF des facteurs

L_x(ρ, π, Z) et ε_x(ρ, π, Z), π∈ {π}^G_x ,

puis d’établir que l’espace associé des ρ-fonctions sur G(A) muni de la ρ-transformation de Fourier satisfait la formule de Poisson au sens de la section 7.

De plus, la fonctionnelle f 7→ X

γ∈G(F)

f(γ) + X

γ∈G(F)

fb(γ)−S(f),

qui satisfait elle-même la formule de Poisson, coïncide avec l’évaluation f 7→ X

γ∈G(F)

f(γ) en toutes lesρ-fonctions produitsf =N

x∈|F|fx dont au moins un facteur local non ramifiéfx est supporté par une partie compacte deG(Fx).

1. Décomposition spectrale locale en une place ultramétrique : rappels

Dans cette section, on considère un groupe réductifGsur un corps local ultramétriqueFx.

On noteO_xl’anneau des entiers deF_x,q_xle cardinal fini du corps résiduel κx deFx et

| • |x:Fx→q^Z_x∪ {0}

la norme ultramétrique par laquelleF_x^×agit sur les mesures additives deFx. On suppose queGest connexe mais pas nécessairement déployé ni même quasi-déployé surFx.

Définition 1.1. — Une représentation complexe π de G(Fx)est dite

“lisse admissible” si

• pour tout sous-groupe ouvert compactKdeG(Fx), πK ={v∈π|K·v=v}

est de dimension finie surC,

• πest la réunion filtrante de ses sous-espacesπK.

Le groupe topologique localement compact G(F_x) est unimodulaire et peut être muni d’une mesure bi-invariantedgx. Soient alors H^G_x l’algèbre de convolution des fonctions localement constantes à support compact

hx:G(Fx)→C

et, pour tout K ⊂ G(Fx), H_x,K^G sa sous-algèbre des fonctions à support compact

K\G(Fx)/K→C.

Pour toute représentation lisse admissible π de G(F_x), chaque π_K est une représentation de dimension finie de H^G_x,K, et π = lim

−→πK peut être vue comme une représentation deH_x^G= lim

−→H^G_x,K.

Notons{π}^G_x l’ensemble des classes d’isomorphie de représentations lisses admissibles irréductibles de G(Fx) et, pour tout K ⊂ G(Fx), {π}^G_x,K le sous-ensemble desπtelles queπ_K 6= 0.

On a :

Lemme 1.2. — Pour tout sous-groupe ouvert compactK ⊂ G(Fx) et toute représentation irréductibleπ∈ {π}^G_x,K, la représentation de dimen- sion finieπ_K 6= 0deH^G_x,K est irréductible.

Réciproquement, toute représentation de dimension finie irréductible de H^G_x,K provient d’une représentation irréductible π ∈ {π}^G_x,K, unique à unique isomorphisme près.

Il résulte de ce lemme que les fonctionnelles linéaires H^G_x,K 3hx7→Trπ(hx) = Trπ_K(hx)

associées aux représentationsπ∈{π}^G_x,Ksont linéairement indépendantes les unes des autres. En particulier, elles caractérisent les élémentsπ∈ {π}^G_x,K.

Pour toutK⊂G(Fx), on noteraA^G_x,K l’algèbre de fonctions {π}^G_x,K →C

engendrée par les fonctions traces

{π}^G_x,K 3π7→Tr_π(h_x) associées aux élémentshx∈ H_x,K^G .

On a :

Théorème 1.3.

(i) Pour toutK⊂G(F_x), l’algèbreA^G_x,K est un produit fini d’algèbres de type fini et intègres surC. Autrement dit,SpecA^G_x,K est réunion disjointe finie de variétés algébriques affines intègres surC. (ii) Chaque{π}^G_x,K s’identifie à un ouvert de Zariski du spectre maximal

deA^G_x,K.

(iii) La réunion filtrante{π}^G_x = lim

−→{π}^G_x,K s’écrit comme une réunion disjointe de variétés algébriques intègres surC, de telle façon que chaque{π}^G_x,K est une réunion finie de composantes connexes.

On notera [π] le schéma intègre de type fini surCqui est la composante connexe de n’importe quelleπ∈ {π}^G_x, etA^G_[π] l’algèbre de fonctions [π]→ Cimage desA^G_x,K.

Soit Λ^G_x le groupe des caractères continus G(Fx)→C^×

qui sont triviaux sur tout sous-groupe compact deG(Fx). Comme le plus grand quotient abélienG^ab=G/G^derdeGest un tore, queG^ab(F_x) admet un plus grand sous-groupe compact et que son quotient par celui-ci est un réseau (isomorphe à une puissance finie deZ), le groupe Λ^G_x est un tore complexe (isomorphe à une puissance finie deC^×) et son sous-groupe Im Λ^G_x des caractères unitaires est un tore réel compact (isomorphe à la puissance correspondante du cercle unité).

Le tore complexe Λ^G_x s’identifie à une composante connexe de{π}^G_x. D’autre part, il agit par le produit tensoriel

(χ, π)7→π⊗χ

sur chaque composante connexe de{π}^G_x.

On dit qu’une représentation lisse admissible irréductible π∈ {π}^G_x est

“discrète” si sa composante connexe [π] se réduit à son orbite Λ^G_x ·πsous l’action du tore Λ^G_x. On peut montrer que toute représentation discrèteπ est unitaire à multiplication près par un caractère de Λ^G_x.

Si P est un sous-groupe parabolique de Gdéfini sur Fx et M un sous- groupe de Levi deP, le tore Λ^M_x contient en particulier le caractère modu- laire

|δP(•)|x:M(F_x)→q_x^Z⊂C^×

par lequel M(Fx) agit sur les mesures invariantes du radical unipotent N_P(F_x) deP(F_x).

Si πest une représentation lisse admissible deM(Fx), on note Ind^G_P(π) ou Ind^G_P(M, π)

la représentation lisse admissible deG(F_x) induite de π⊗ |δP(•)|^1/2_x

considérée comme une représentation deP(F_x). La représentation Ind^G_P(π) admet une suite de composition finie par des représentations lisses admis- sibles irréductibles s’il en est ainsi deπ. De même, la présence du facteur

|δP(•)|^1/2x dans la définition assure que Ind^G_P(π) est unitaire siπest unitaire et, dans ce cas, Ind^G_P(π) est irréductible si et seulement siπest irréductible.

La proposition suivante précise la structure algébrique des composantes connexes [π] desπ∈ {π}^G_x :

Proposition 1.4.

(i) PourP, Metπ∈ {π}^M_x comme ci-dessus, la suite de composition de la représentationInd^G_P(π)ne dépend que de la classe de conjugaison de(M, π)parG(Fx).

En particulier, elle ne dépend pas de P et elle est invariante par l’action sur{π}^M_x du groupe fini

W_M^G ={g∈G(F_x)|g·M·g⁻¹=M}/M(F_x).

(ii) Réciproquement, pour toute π∈ {π}^G_x, il existe P, M comme ci- dessus et une représentation discrète π0 ∈ {π}^M_x telle que π ∼= Ind^G_P(π0). La paire(M, π0)est unique à conjugaison près parG(Fx) et peut être appelée le support discret deπ.

SiFixe (M, π0)désigne le stabilisateur deπ0dans le groupeΛ^M_x o W_M^G, on a

A^G_[π]= A^M_[π

0]

^{Fixe (M,π}0)

,

si bien que[π]s’identifie à un ouvert de Zariski du quotient de[π₀] par l’action du groupe finiFixe (M, π0).

(iii) Une représentation π ∈ {π}^G_x est unitaire si son support discret (M, π0)est unitaire.

Alors la sous-variété algébrique réelle Im [π]⊂[π]

des représentations unitaires contient le quotient de Im [π0] = Im Λ^M_x ·π0

par l’action du groupe finiFixe (M, π0).

Pour toute représentation lisse admissible π de G(Fx), on appelle “re- présentation contragrédiente de π” et on note π^∨ la représentation lisse admissible deG(F_x) constituée des formes linéaires

v^∨:π7→C

qui sont invariantes par un sous-groupe ouvert compact deG(Fx). On vé- rifie que pour toute paire (P, M) comme plus haut, le foncteur

π7→Ind^G_P(π)

commute avec la formation des représentations contragrédientes.

Pour toute représentation lisse admissibleπdeG(Fx), on appelle “coef- ficients matriciels deπ” les fonctions surG(Fx) de la forme

G(Fx)3g7→ hv^∨, g·vi=hg⁻¹·v^∨, vi, v∈π , v^∨∈π^∨,

ou, plus généralement, les combinaisons linéaires de telles fonctions. On note qu’une fonctiong7→ϕ(g) est un coefficient matriciel deπsi et seule- ment si la fonctiong7→ϕ(g⁻¹) est un coefficient matriciel deπ^∨.

Toute représentation irréductibleπ∈ {π}^G_x possède un caractère central χπ :ZG(Fx)→C^×

par lequel le centreZG(Fx) deG(Fx) agit sur l’espace deπ, si bien que les coefficients matricielsϕdeπvérifient tous

ϕ(z·g) =χπ(z)·ϕ(g), ∀z∈ZG(Fx), ∀g∈G(Fx).

Une telle représentation π est dite “supercuspidale” si ses coefficients matriciels sont à support compact moduloZG(Fx). Elle est dite “de carré intégrable” si ses coefficients matriciels sont de carré intégrable modulo ZG(Fx).

Les représentations supercuspidales sont de carré intégrable mais il existe en général des représentations de carré intégrable qui ne sont pas super- cuspidales.

De même, on montre que les représentations de carré intégrable sont discrètes mais il existe en général des représentations discrètes qui ne sont pas de carré intégrable.

On a cependant :

Proposition 1.5. — Pour toute représentationπ∈ {π}^G_x, il existe un sous-groupe paraboliqueP deGdéfini sur Fx, un sous-groupe de LeviM de P et une représentation supercuspidale π₀ de M(Fx) telle que π soit isomorphe à l’un des sous-quotients irréductibles deInd^G_P(π0).

La paire (M, π0) est unique à conjugaison près par G(Fx)et peut être appelée le support supercuspidal deπ.

Si G est quasi-déployé sur Fx, c’est-à-dire possède une paire de Borel (Tx, Bx) définie sur Fx, on peut appeler “de type torique” les représenta- tions irréductiblesπ∈ {π}^G_x dont le support supercuspidal est constitué de Tx et d’un caractèreχ:Tx(Fx)→C^×. Le caractèreχ de support est alors uniquement déterminé modulo l’action du groupe de Weyl F_x-rationnel W_x^G constitué des éléments du groupe de WeylW^G deGfixés par l’action du groupe de Galois Γ_Fx deF_x.

On rappelle queGest dit “non ramifié” surFxs’il est quasi-déployé sur Fx et si l’action de ΓF_x sur la donnée radicielle deGou, ce qui revient au même, sur le groupe réductif complexeGb dual deG, se factorise à travers son quotient non ramifié Γ^nr_F

x engendré topologiquement par l’élément de Frobenius σx. Dans ce cas, G s’étend canoniquement en un schéma en groupes réductifs au-dessus de Spec (O_x) et on peut introduire le sous- groupe G(Ox) de G(Fx) ; c’est un sous-groupe compact ouvert maximal.

On appelle alors “sphériques” les fonctions sur G(Fx) bi-invariantes par G(O_x) et, normalisant la mesure de Haar dg_x de G(F_x) par la condition vol (G(Ox)) = 1, on note H^G_x,∅ = H_x,G(O^G

x) l’algèbre de convolution des fonctions sphériques à support compact. Enfin, on appelle “non ramifiées”

les représentations éléments de {π}^G_x,∅ = {π}^G_x,G(O

x) qui admettent des vecteurs non nuls invariants parG(Ox).

On a le théorème de Satake :

Théorème 1.6. — Supposons queGest non ramifié surFxet considé- rons une paire de Borel(Tx, Bx)deGdéfinie sur Fx. Alors :

(i) L’algèbre sphériqueH^G_x,∅ admet un isomorphisme naturel S^G_x :H^G_x,∅−→^∼ (H^T_x,∅^x)^WxG

vers l’algèbre des fonctions sphériques surT_x(F_x)invariantes par le groupe de WeylFx-rationnelW_x^G.

En particulier, H^G_x,∅ est commutative et s’identifie à l’algèbre A^G_x,∅=A^G_x,G(O

x) des fonctions traces des fonctions sphériques.

(ii) Se donner une représentation non ramifiéeπ∈ {π}^G_x,∅équivaut à se donner un caractère

(H^T_x,∅^x)^WxG →C

ou, ce qui revient au même, un caractère non ramifié zπ:Tx(Fx)/Tx(Ox)→C

uniquement déterminé modulo l’action deW_x^G.

Dans cette correspondance,(T_x, z_π)est le support supercuspidal deπ. Il est son support discret, soitπ∼= Ind^G_Bx(zπ), si et seulement si z_π appartient à un ouvert de Zariski du tore complexe [z_π] = Λ^T_x^x qui contient le sous-tore réel compact Im Λ^T_x^x des caractères unitaires.

(iii) NotantGbxla fibre du produit semi-direct GboΓ^nr_F

x

au-dessus de l’élément de Frobeniusσ_x ∈ Γ^nr_F

x, munie de l’action par conjugaison de G, l’isomorphisme de Satakeb S^G_x de (i) s’écrit aussi comme un isomorphisme

S^G_x :H_x,∅^G →C[Gb_x]^Gb

vers l’algèbre des fonctions polynomiales surGb_xqui sont invariantes par conjugaison parG.b

Remarque. — Il résulte de (ii) que les représentations non ramifiées π∈ {π}^G_x,∅ sont “de type torique”.

Revenons à un groupe réductif arbitraireGsurFx.

On note Im{π}^G_x la sous-variété algébrique réelle des représentationsπ∈ {π}^G_x qui sont unitaires. Pour tout sous-groupe ouvert compactK⊂G(F_x), la sous-variété algébrique réelle Im{π}^G_x,K des représentations unitaires de {π}^G_x,K est une réunion finie de composantes connexes de Im{π}^G_x. Pour touteπ∈Im{π}^G_x, et si (M, π₀) désigne son support discret, sa composante connexe Im [π] contient le quotient de

Im [π0] = Im Λ^M_x ·π0

par l’action du groupe finiW_M^G. On a le théorème de Plancherel :

Théorème 1.7.

(i) Il existe sur Im{π}^G_x une unique mesure dπ, appelée mesure de Plancherel, telle que, pour toutK⊂G(F_x)et touteh_x∈ H^G_x,K, on ait

hx(1) = Z

Im{π}^G_x,K

dπ·Trπ(hx).

(ii) La mesure de Plancherel dπ est supportée par les représentations unitairesπ∈ {π}^G_x qui sont “tempérées” au sens que leur support discret(M, π0)est “de carré intégrable” et unitaire.

(iii) Siπ∈Im{π}^G_x est une représentation tempérée de support discret (M, π₀), la restriction de la mesure de Plancherel dπ à

Im [π0]/W_M^G ⊂Im [π]

est de la forme

dπ=R_π0(•)·d π₀ où :

• d π0 désigne une mesure sur Im [π0] = Im Λ^M_x ·π0 invariante parIm Λ^M_x et donc aussi parW_M^G,

• R_π0(•) est une fonction rationnelle sur [π₀] = Λ^M_x ·π₀ qui est invariante par W_M^G et dont les pôles sont simples et ne rencontrent pas Im [π₀],

• la variété complexe[π]s’identifie à l’ouvert de Zariski de[π0]/W_M^G complémentaire des pôles de la fraction rationnelleR_π0(•).

Disons qu’une fonction sur une composante connexe [π1] de {π}^G_x est

“polynomiale” si elle est élément de l’algèbre engendrée par les fonctions tracesπ7→Trπ(hx),hx∈ H^G_x.

Si π₀ ∈ {π}^M_x est une représentation supercuspidale d’un sous-groupe de Levi M de G et [π1] ⊂ {π}^G_x est l’unique classe des représentations dont le support discret est contenu dans [π0], [π1] s’identifie à un ouvert de Zariski de [π₀]/W_M^G et toute fonction polynomiale sur [π₁] se prolonge à [π0]/W_M^G tout entier. Si [π2] ⊂ {π}^G_x est n’importe quelle autre classe de représentations dont le support supercuspidal est contenu dans [π₀], l’application de passage à ce support définit une immersion localement fermée de [π₂] dans [π₀]/W_M^G. Cela permet de parler des spécialisations en les points de [π2] des fonctions polynomiales sur [π1].

En remplaçant les fonctions hx par leurs translatées h^g_x = hx(•g) ou

gh_x=h_x(g•), on démontre à partir du théorème ci-dessus :

Théorème 1.8. — Pour tout K ⊂G(F_x)et si dπ désigne toujours la mesure de Plancherel surIm{π}^G_x, on a :

(i) Toute fonctionh_x∈ H^G_x,K s’écrit sous la forme hx(g) =

Z

Im{π}^G_x,K

dπ·hx,π(g), ∀g∈G(Fx), où :

• pour toutg∈G(Fx),

π7→hx,π(g)

est une fonction polynomiale sur{π}^G_x,K,

• pour touteπ∈ {π}^G_x,K, la fonction surG(F_x) g7→hx,π(g)

est élément de l’espace π^∨_Kπ_K des “coefficients matriciels”

deπbi-invariants parK,

• si π2 ∈ {π}^G_x,K, (M, π0)est le support supercuspidal de π2 et [π₁] ⊂ {π}^G_x,K est l’unique classe des représentations dont le support discret est contenu dans[π0], la fonction

G(Fx)3g7→hx,π₂(g)

est l’image de la famille des spécialisations enπ₂ des fonctions polynomiales

[π₁]3π7→hx,π(g), g∈G(Fx),

par l’opérateur linéaire de restriction de l’action de H_x^G au sous-quotientπ2 deInd^G_P(π0).

(ii) Cette décomposition spectrale de toute fonction h_x ∈ H^G_x,K est unique, et on a nécessairement

hx,π(g) = Trπ(h^g_x) = Trπ(^ghx), ∀π , ∀g . (iii) Réciproquement, pour toute famille de fonctions

g7→hx,π(g), π∈ {π}^G_x,K, qui vérifie les conditions de (i), l’intégrale

g7→

Z

Im{π}^G_x,K

dπ·hx,π(g)

définit un élément deH_x,K^G , c’est-à-dire une fonction bi-invariante hx:K\G(Fx)/K →C

dont le support est compact.

On déduit de ce théorème :

Corollaire 1.9. — Considérons un sous-groupe ouvert compactK⊂ G(Fx)et une fonction polynomiale

{π}^G_x,K 3π7→γ(π)

dont les valeursγ(π)ne dépendent que du support supercuspidal de π.

Alors, pour toute fonctionhx∈ H^G_x,K décomposée spectralement sous la forme

hx(g) = Z

Im{π}^G_x,K

dπ·hx,π(g), g∈G(Fx), l’intégrale

g7→

Z

Im{π}^G_x,K

dπ·γ(π)·hx,π(g), g∈G(Fx), définit un élément deH_x,K^G , autrement dit a un support compact.

2. Décomposition spectrale globale : rappels

Dans cette section, on considère un groupe réductif Gsur un corps de fonctionsF dont le sous-corps des constantes est un corps finiFq à qélé- ments.

On note |F|l’ensemble des places deF,Fx le corps local ultramétrique complété deF en chaque place x∈ |F|, O_x son anneau des entiers, q_x = q^deg(x) le cardinal du corps résiduelκxdeOx, et

| • |x:Fx→q^Z_x∪ {0}

la norme ultramétrique par laquelleF_x^× agit sur les mesures additives de Fx. Enfin, on note

A= Ya

x∈|F|

Fx

l’anneau topologique des adèles deF, O_A= Y

x∈|F|

Ox

son sous-anneau des entiers, et

| • |= Y

x∈|F|

| • |x:A^×→q^Z la norme produit qui vérifie

|γ|= 1, ∀γ∈F^×.

Comme dans la section précédente, le groupe réductif G est supposé connexe mais pas nécessairement déployé ni même quasi-déployé sur le corps de baseF. On choisit une paire (T, B) constituée d’un sous-toreT de G, défini surF et maximal pour cette propriété, et d’un sous-groupe para- boliqueBcontenantT deG, défini surF et minimal pour cette propriété.

Le centralisateur deT dansG est un sous-groupe de LeviMB de B. Les sous-groupes paraboliquesP [resp. de LeviM] deGdéfinis surF et conte- nant B [resp. M_B] sont appelés standard. On sait que tout sous-groupe parabolique deG défini sur F est conjugué par G(F) à un unique sous- groupe parabolique standard, et que tout sous-groupe parabolique standard P possède un unique sous-groupe de Levi standardMP.

Le goupe réductif G devient quasi-déployé et même non ramifié sur le corps localiséFxen presque toute placex∈ |F|; autrement dit, l’ensemble SG des placesx∈ |F| en lesquelles Gest ramifié est fini. En toute place x∈ |F| −S_G, on choisit une paire de Borel (T_x, B_x) deGdéfinie surF_xet telle queT ⊂Tx,Bx ⊂B. Le groupe GsurFx muni de la paire de Borel (T_x, B_x) se prolonge canoniquement en un schéma en groupes réductifs sur Ox, si bien que l’on dispose du sous-groupe ouvert compact maximal

K_x,∅=G(Ox)⊂G(Fx). Il vérifie la propriété d’Iwasawa

G(Fx) =Bx(Fx)·G(Ox) et a fortiori

G(Fx) =B(Fx)·K_x,∅.

En les places restantes x ∈ S_G, il est également possible de choisir un sous-groupe ouvert compact maximal

K_x,∅ ⊂G(Fx) tel que

G(Fx) =B(Fx)·K_x,∅.

En toute place x∈ |F|, on munit G(Fx) de la mesure de Haar dgx qui attribue le volume 1 à K_x,∅, et on note H^G_x l’algèbre de convolution des fonctions localement constantes à support compact surG(F_x). De même, on note

H^G= O

x∈|F|

H^G_x

l’algèbre de convolution des fonctions localement constantes à support compact sur le groupe topologique G(A) muni de la mesure produit dg=N

x∈|F|dg_x.

Pour tout sous-groupe ouvert compact produit K= Y

x∈|F|

Kx

deG(A), dont les facteurs Kx⊂G(Fx) sont nécessairement égaux à K_x,∅

en presque toute placex∈ |F|, on note H^G_K = O

x∈|F|

H^G_x,Kx

la sous-algèbre de convolution des fonctions à support compact dansG(A) bi-invariantes parK.

Comme dans le cas local, une représentation complexe π de G(A) est dite “lisse admissible” si

• pour toutK⊂G(A) comme ci-dessus πK ={v∈π|K·v=v}

est de dimension finie surC,

• πest la réunion filtrante de ses sous-espacesπK.

Alors chaque π_K est une représentation de dimension finie de H^G_K, et π= lim

−→πK peut être vue comme une représentation deH^G = lim

−→H^G_K. Les représentations lisses admissibles irréductibles sont les produits

π= O

x∈|F|

πx

de représentations lisses admissibles irréductibles πx des groupes locaux G(F_x) qui sont non ramifiées en presque toute place x∈ |F| −S_G. Elles possèdent des caractères centraux

χ_π= O

x∈|F|

χ_πx :Z_G(A)→C^× par lesquels le centreZ_G(A) =Q`

x∈|F|Z_G(F_x) deG(A) agit sur les espacesπ.

Le sous-groupeG(F) du groupe topologiqueG(A) est discret. Cela per- met de considérer l’espace topologique quotientG(F)\G(A) muni de l’ac- tion à droite deG(A), puis l’espace des fonctions automorphes lisses (c’est- à-dire invariantes à droite par un sous-groupe ouvert compact deG(A))

G(F)\G(A)→C,

muni de l’action de G(A) par translation à droite ou, ce qui revient au même, de l’action deH^G par convolution à droite. On rappelle :

Définition 2.1.

(i) Une représentation lisse admissible irréductibleπdeG(A)est dite

“automorphe” si elle admet une réalisation dans l’espace des fonc- tions automorphes lisses

G(F)\G(A)→C.

(ii) Une représentation automorpheπ de G(A) est dite “cuspidale” si elle admet une réalisation dans le sous-espace des fonctions auto- morphes lisses

ϕ:G(F)\G(A)→C

qui sont “cuspidales” au sens que, pour tout sous-groupe parabo- lique non-trivialP deGdéfini surF, de radical unipotentNP, on a

Z

N_P(F)\N_P(A)

du_P ·ϕ(u_P ·g) = 0, ∀g∈G(A),

oùdu_P désigne une mesure invariante par N_P(A) sur le quotient compactNP(F)\NP(A).

(iii) Une représentation automorpheπdeG(A), de caractère centralχ_π : ZG(F)\ZG(A)→C^×, est dite “de carré intégrable” si elle apparaît comme facteur direct de l’espace L²_χπ(G(F)\G(A)) des fonctions automorphes lisses

ϕ:G(F)\G(A)→C^× telles que

ϕ(z·g) =χ_π(z)·ϕ(g), ∀z∈Z_G(A), ∀g∈G(A), et qui sont de carré intégrable moduloZG(A).

Remarques.

(i) On notera{π}^G_aut[resp.{π}^G_cusp, resp.{π}^G_int] l’ensemble des classes d’isomorphie de représentations automorphes [resp. cuspidales, resp.

de carré intégrable] deG(A), et Im{π}^G_aut, Im{π}^G_cusp, Im{π}^G_intles sous-ensembles des représentations unitaires.

(ii) On montre que toute fonction automorphe lisse cuspidaleG(F)\G(A)

→Cest à support compact modulo Z_G(A). Il en résulte que toute représentation automorphe cuspidale est de carré intégrable.

(iii) Une représentation automorphe de carré intégrableπest unitaire si et seulement si son caractère centralχπ est unitaire.

On note Λ^Gle groupe des caractères deG(A) qui sont triviaux surG(F) et sur tout sous-groupe ouvert compact deG(A). Le plus grand quotient abélienG^ab=G/G^derdeGest un tore surF, et Λ^G s’identifie au groupe des caractères deG^ab(F)\G^ab(A) qui sont triviaux sur son plus grand sous- groupe ouvert compact. Or le quotient de G^ab(F)\G^ab(A) par ce sous- groupe est un réseau, isomorphe à une puissance finie deZ. Donc Λ^G a la structure d’un tore complexe, isomorphe à une puissance finie de C^×, et son sous-groupe Im Λ^G des caractères unitaires a la structure d’une sous- variété réelle compacte, isomorphe à la puissance correspondante du cercle unité.

Les caractères λ∈Λ^G agissent sur{π}^G_aut et ses sous-ensembles{π}^G_cusp, {π}^G_int par

(λ, π)7→π⊗λ=πλ.

Si P est un sous-groupe parabolique de Gdéfini sur F, de radical uni- potentN_P et de sous-groupe de LeviM_P, on note

δ_P :P→P/N_P ∼=M_P →Gm

le caractère modulaire par lequelP ouMP agissent sur la puissance exté- rieure maximale de l’espace LieNP.

Si de plusπ est une représentation lisse admissible deM_P(A), on note Ind^G_P(π)

la représentation lisse admissible deG(A) induite par π⊗ |δ_P(•)|^1/2

considérée comme une représentation de P(A). Si π admet une suite de composition finie par des représentations lisses admissibles irréductibles, il en est de même de Ind^G_P(π). La présence du facteur |δ_P(•)|^1/2 dans la définition assure que Ind^G_P(π) est unitaire siπest unitaire et, dans ce cas, Ind^G_P(π) est irréductible siπest irréductible.

La théorie des séries d’Eisenstein a permis à Langlands de démontrer : Théorème 2.2.

(i) Pour tout sous-groupe paraboliqueP =MP ·NP deG défini sur F et pour toute représentation automorphe π de MP(A), l’un au moins des sous-quotients irréductibles de la représentationInd^G_P(π) est une représentation automorphe deG(A).

(ii) Pour toute représentation automorpheπdeG(A), il existe un sous- groupe parabolique standard P = MP ·NP de G et une repré- sentation automorphe cuspidaleπ₀ de M_P(A) telle que π soit un sous-quotient de la représentationInd^G_P(π0). La paire(MP, π0)est